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パソコンで知る高校数学
「三平方の定理」をめぐる証明について
パソコンで
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「三平方の
三平方の定理」
定理」a 2 + b 2 = c 2 をめぐる証明
をめぐる証明について
証明について
by H.Nagano
1.相似を用いた証明(1980年代までの教科書でよく扱われた)
右図の△ABCにおいて
C
△ABC Q△ACDQ△CBDであるから
b
a
AB:BC = CB:BD よってBC ・ BC = AB ・ BD
AB:AC = AC:AD よってAC ・ AC = AB ・ AD
2式を加え合わせて
A
BC ・ BC + AC ・ AC=AB ・ BD+ AB ・ AD
c
D
B
=AB ・ 0 AD + DB1 =AB ・ AB
AB = c , BC = a , CA = bとおくと
a 2 + b 2 = c 2
類似形式が何通りかある。
2.図形を移動する その1(Bretschneider,Simpson らの方法)
高校の新課程「数学基礎」でも多く取り上げられている方法 (白い領域の面積が同じ)
3.図形を移動する その2(Hauff らの方法) (移動前後の面積が同じ)
1
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「三平方の定理」をめぐる証明について
4.図形を移動する その3
ユークリッドの方法
(BC300 年ごろ アテネの数学者)
2 つの小正方形を大正方形に移動
5.図形を移動する その4
ブラバール Bravalle の方法
正方形を移動
6.図形を移動する その5
正方形を分割移動
・多数の組み合わせがある。
・右は一例、他の分割も
考えてみよう。
2
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7.図形を移動する その6
レオナルド・ダビンチ
(1452-1519)の方法
(画家・建築家・数学者…ルネサンス期の巨匠)
図の上半分を左右反転
「モナリザ」
8.面積を 2 通りに計算して比較する その1
ガーフィールド Garfield (1831-1881)の方法
(大学教官、上院議員を歴任の後に
第 20 代アメリカ大統領に就任)
9.面積を 2 通りに計算して比較する その2
バスカラ Bhaskara(インド 12 世紀ごろ)の方法
正方形の面積を
2通りに表して比較
3
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10.
10.面積を 2 通りに計算して比較する その3
内接円を用いて面積を計算
・直角三角形の場合は3辺の長さから
内接円半径を簡単に求めることができる。
・面積を 2 通りに表して比較
11.
11.面積を比較する その4
アインシュタイン Einstein (1879-1955)の方法
・「相対性理論」で知られる物理学者
・「光電効果の理論」
「ブラウン運動の理論」
とあわせ 3 本の論文を 1905 年に発表
光電効果の理論でノーベル物理学賞を受賞
ブラウン運動の理論で分子の存在を間接的に証明
右の証明は小学生の頃のものと伝えられている。
12.
12.相似図形を比較する
(いわゆる「方べきの定理」を利用。
左は円の内と外にある相似三角形を利用、右は円内の相似三角形を利用する。
本質的には両者は同じものといえる)
その1
その2
4
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「三平方の定理」をめぐる証明について
13.
13.補足1 昭和の中頃の参考書から
昭和 26 年出版の新制中学校用参考書に下記の記述がある。
三平方の定理に関して触れた頁である。この頁の下部の図を拡大すると次のようになる。
拡大図の下の図形は2で紹介した方法と同じと思われる。
問題は上半分の図で、古代中国の書物の一部らしいが、
この参考書には掲載図の具体的解説はない。
「図は紀元前 40 年頃に木版で印刷された
中国の書物『周髀算経』にあるもので
ピタゴラスの定理を証明したものである」
とのみ記されている。
この図からどのようにして三平方の定理が
導き出されるのだろうか。
ギリシャ数学に匹敵する学問体系を築き上げた
古代中国の学者に思いをはせながら、
証明方法を考えてみてください。
14.
14.補足2
三平方の定理の三次元拡張
S 2=S 12+S 22+S 32
今春の大学入試でも京都府立大で
出題されている。過去にも名古屋大、
広島大、東京大などで類題が出された。
いずれも誘導文つきで、予備知識なしで
取り組めるよう配慮されている。
5
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「三平方の定理」をめぐる証明について
15.
15.まとめ
◆三平方の定理の証明方法は数百通りを数えるといわれている。上に上げた例は視覚的に捉えや
すいものを扱った。このほかの方法も書物・インタネットなどで多数紹介されている。証明方法
の発見者のプロフィールにも様々なものがあり過去から現在に至るまで多くの人をひきつけた定
理であるといえる。
◆2 次元の直角三角形以外への拡張が数学Ⅰで学んだ余弦定理
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab ・ cos C
である。
◆3 次元への拡張が 14.補足で示したものである。多次元へ拡張した定理も発表されている。
◆二乗より大きい次数のときの「フェルマー予想」あるいは「フェルマーの大定理」
(1637 年)
nが3以上の整数のとき
a n + b n = c nを満たす整数a , b , cは存在しない。
は、つい先ごろ、1994 年にイギリス人数学者で米国プリンストン大のワイルズによって正しいこ
とが証明され、300 年来の難問が解決した
この定理は、壮大な山脈のように連なる整数分野の山すそのほんの一性質でしかなく、その先に
まだ発見されていない多くのものがあるといわれている。
◆「ピタゴラスの定理」の名の由来の古代ギリシャのピタゴラス(BC500 年ごろ)がどのように
して三平方の定理を証明したのか。実は不明である。
「証明した」ということはいわれているが資
料が残されていないためどのような方法であったのかは推測するしかない。現存する最古の証明
は4.ユークリッドの方法でしかない。
ただし、ピタゴラスの時代は無理数の存在が許容されていなかったといわれていて、定理の意
味する内容も少々異なったものであったと考えられる。
以上
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