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経済学
数学
尾山 大輔
2014 年 5 月 23 日
演習 1
以下 証明
．
1. {Ci ⊂ Rn | i ∈ I}
任意 凸集合族
2. C1 , C2 , C3 , · · · ⊂ Rn
合
．
，
∩
i∈I
C1 ⊂ C2 ⊂ C3 ⊂ · · ·
Ci
凸集合
．
∪
， ∞
i=1 Ci
凸集合族
凸集
3. x1 , . . . , xm ∈ Rn , λ1 , . . . , λm ≥ 0, λ1 + · · · + λm = 1 対
λ1 x1 + · · · + λm xm
n
x1 , . . . , xm 凸結合
．C ⊂ R
凸集合
，C 内 要素 凸結合 C 含
．
4. C1 , C2 ⊂ Rn
．
5. C ⊂ Rn
，tC = {tx | x ∈ C}
凸集合
6. C1 ⊂ Rn , C2 ⊂ Rm
7. X ⊂ Rn
，C1 + C2 = {x1 + x2 | x1 ∈ C1 , x2 ∈ C2 }
凸集合
凸集合
非空凸集合
(epigraph)
凸集合
，C1 × C2 ⊂ Rn+m
．f : X → R
凸集合
．
凸集合
凸関数
．
必要十分条件 ，f
epi f = {(x, w) ∈ Rn × R | x ∈ X, w ≥ f (x)}
(Rn+1
) 凸集合
．
f : Rn → [−∞, ∞] 凸関数
集合 X ⊂ Rn 定義
凸関数 f
n
R 全体 定義
凸関数
8. f : Rn → [−∞, ∞]
凸関数
epi f 凸集合
， x ∈ Rn \ X 対
．
， 定義
f (x) = ∞
必要十分条件
f (x) < a, f (x′ ) < a′ =⇒ f ((1 − λ)x + λx′ ) < (1 − λ)a + λa′
成
立
f (λ1 x1 + · · · + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + · · · + λm f (xm )
立
(0 ≤ λ ≤ 1)
．
9. [Jensen 不等式] f : Rn → (−∞, ∞] 凸関数
x1 , . . . , xm ∈ Rn 対
λ1 , . . . , λm ≥ 0, λ1 + · · · + λm = 1
成
．凸部分
定義
．
1
必要十分条件
，任意
10. f : Rn → [−∞, ∞]
凸集合
．
11. 関数 x 7→ ∥x∥
，{x ∈ Rn | f (x) < c}
凸関数
凸関数
．
12. x0 ∈ Rn , r > 0 対
∥x − x0 ∥ ≤ r} 凸集合
，Br (x0 ) = {x ∈ Rn | ∥x − x0 ∥ < r}
．
13. f : Rn → [−∞, ∞] 凸関数
．任意 z ∈ Rn 対
f (x + λz) − f (x)
λ
14. C ⊂ Rn , C =
̸ ∅

0
δ(x|C) =
∞
． x ∈ Rn
¯r (x0 ) = {x ∈ Rn |
B
−∞ < f (x) < ∞
満
(λ > 0)
増加関数 (非減少関数)
λ
{x ∈ Rn | f (x) ≤ c}
対
．
，
x∈C
x∈
/C
定義
関数 δ(·|C) : Rn → (−∞, ∞]
C 指標関数 (indicator function)
C 凸集合
δ(·|C) 凸関数
．
，C 閉集合
epi δ(·|C)
) 閉集合
．
15. C ⊂ Rn , C ̸= ∅
対
．
(Rn+1
，
δ ∗ (p|C) = sup p · x
x∈C
定義
δ ∗ (·|C)
関数 δ ∗ (·|C) : Rn → (−∞, ∞]
C 支持関数 (support function)
1 次同次 凸関数
．
，epi δ ∗ (·|C)
(Rn+1
) 閉集合
16. f : Rn → (−∞, ∞] (
f ̸≡ ∞)
対
．
．
，
f ∗ (p) = sup p · x − f (x)
x∈Rn
定義
凸関数
δ ∗ (·|C)
関数 f ∗ : Rn → (−∞, ∞]
f 共役関数 (conjugate function)
∗
n+1
．
，epi f
(R
) 閉集合
．
δ(·|C)
共役関数
(実 ，f 凸関数
分離定理 必要．)
epi f
．f ∗
．
閉集合
，f
2
f∗
共役関数
．
証明
17. X ⊂ Rn 非空集合，A ⊂ Rm
，関数 v : A → (−∞, ∞]
．f : X × A → (−∞, ∞]
非空凸集合
対
v(α) = sup f (x, α)
x∈X
定義
．
．各 x ∈ X
f (x, ·) : A → (−∞, ∞]
対
18. X ⊂ Rn
A ⊂ Rm
v : A → (−∞, ∞]
凸関数
，v
．f : X × A → (−∞, ∞]
非空凸集合
対
凸関数
，関数
v(α) = sup f (x, α)
x∈X
定義
凹関数
．f
凹関数
，v
−g 凸関数
凹関数
，関数 g : Rℓ → [−∞, ∞]
(hypograph)
．
．g
hyp g = {(x, w) ∈ Rℓ × R | w ≤ f (x)}
凸集合
， 言
同
19. X ⊂ Rn 非空凸集合, I ⊂ R
．関数 v : I → (−∞, ∞]
．
非空開区間
，f : X × I → (−∞, ∞]
凹関数
v(α) = sup f (x, α)
x∈X
定義
．
• α
¯ ∈ I, v(¯
α) < ∞, v(¯
α) = f (¯
x, α
¯)
• f (¯
x, ·)
仮定
．
v ′ (¯
α) =
成
微分可能
α=α
¯
，v
微分可能 ，
α=α
¯
∂f
(¯
x, α
¯)
∂α
立 ．
20. X ⊂ Rn 非空凸集合
λ ∈ [0, 1] 対
．f : X → R
準凸関数
，
x, x′ ∈ X ，
f ((1 − λ)x + λx′ ) ≤ max{f (x), f (x′ )}
成
f
立
．
準凸関数
必要十分条件
c∈R
，
対
{x ∈ X | f (x) ≤ c}
凸集合
集合
．
同値
c∈R
，
．
3
対
{x ∈ X | f (x) < c}
凸
f : X → [−∞, ∞]
凸集合
x ∈ Rn \ X 対
．
準凸関数
， 定義
f (x) = ∞
c∈R 対
{x ∈ X | f (x) ≤ c}
n
．凸部分集合 X ⊂ R
定義
準凸関数 f
，
n
定義
R 全体 定義
準凸関数
21. X ⊂ Rn 非空集合，A ⊂ Rm
対
，関数 v : A → [−∞, ∞]
非空凸集合
．f : X → R, g : X × A → R
v(α) = sup{f (x) | g(x, α) ≤ 0}
．
，sup ∅ = −∞
数
，v 準凸関数
．
−g 準凸関数
．
凸集合
，
，
， 言
同
定義
．各 x ∈ X 対
g(x, ·) : A → R 準凹関
ℓ
，関数 g : R → [−∞, ∞] 準凹関数
，
c∈R 対
{x ∈ Rℓ | f (x) ≥ c}
c∈R 対
{x ∈ Rℓ | f (x) > c} 凸集合
．
4