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はりのたわみ
• いま，中立軸からyの距離にある応力
度をσxとすると
• M＝Σ（σx dA）× y
• として示される。
• yの距離の伸びを⊿dx とすると
•
σx＝E・⊿dx/dx
• となり，三角形の相似から
• ρ／dx＝y／⊿dx ∴⊿dx/dx＝y／ρ
• となるので，σx＝E・y／ρである．
ρ は曲率半径
I
• したがって，最初の式（モーメント）は
次のようになる．
M = ∑(
dy
A点からxの位置における接線は
=tanθ
dx
で表される.また
ρ ⋅ dθ = dS = (dx) 2 + (dy ) 2 = dx 1 + (
したがって，曲率は
dy 2
)
dx
dθ
1
×
dy 2 dx
1+ ( )
dx
dθ
dy
ここで の値は
= tan θの式をxで微分すると
dx
dx
1
ρ
=
dθ
(1 + tan θ ) ×
dx
dx 2
d2y
d2y
2
dθ
この式より = dx 2 =
dx 1 + tan θ
EI
1
幾何学的条件から
ρ
∴
=−
d2y
dx 2
E
ρ
∑ dA × y 2 =
I
EI
ρ
d2y
1
ρ
1
＝
⎛ dy ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ dx ⎠
2
×
dx
dx 2
=
2
2
⎛ dy ⎞
⎛ dy ⎞
1+ ⎜ ⎟
{ 1 + ⎜ dx ⎟
dx
⎝ ⎠
⎝ ⎠
下向きにたわむときを正としたほう
が都合がよいから，符号も考慮して
曲率半径は次のように表される。
1
=−
d2y
2
}3/ 2
きわめて小さい（negligible small）
d2y
dx 2
dx 2
2
⎛ dy ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ dx ⎠
M
→ =
M=
ρ
ρ EI
1
dA) × y =
d2y
はりのたわみの微分方程式
力学的条件から
ρ
曲率半径は
ρ
2
Ey
は断面2次モーメント
E は弾性係数（ヤング率）
d2y
はりのたわみの微分方程式
力学的条件と幾何学的条件より
d2y
M
=
−
EI
dx 2
M はモーメント
E は弾性係数（ヤング率）
I
は断面2次モーメント
dx 2
=−
M
EI
1
d2y
P.２２
例題８
M＝－P・(l－x)だから
dx 2
=−
M
EI
x
B点を原点とした場合
y
P(l − x)
=
2
EI
dx
d2y
(1)
⎛
x2 ⎞
P ⎛ lx 2 x3 ⎞
− ⎟ + c1x + c2
⎜ lx −
⎟ + c1 ) dx＝ ⎜
⎜
⎟
2 ⎠
EI ⎜⎝ 2
6 ⎟⎠
⎝
はりの境界条件θＡ＝0，yＡ＝0より，c1＝0，c2＝0
(
θ=
P
EI
P
EI
x
dx 4
=
(1)
q
を順次積分する
EI
d3y
dx3
d2y
=
q
q
x + c1 → c1 = − l (∵ x = lのときせん断力0 )
EI
EI
=
(
d2y
dx 2
∴ y =
d 2x
d nx
d n −1x
dt n
dt n −1
→ yB
=
ql 4
8 EI
1 q(l − x)2
EI
2
(
q
6l 2 x 2 − 4lx3 + x 4
24 EI
)
2階線形微分方程式
予習：線形微分方程式
ここに，xはtの関数である．
=
)
x = 0,θ = 0 → c1 = 0
)
以下のように未知関数とその導関数について
1次式になっている方程式を線形微分方程式と
tの関数または定数係数
いう．
（1）
x（n）＋a1(t)x（n－1）＋……＋an(t)x＝f(t)
x
dy
q 2
x3
=
(l x − lx 2 + ) + c1
dx 2 EI
3
2 2
3
⎛
q l x
lx
x4 ⎞
y=
−
+
⎜
⎟ + c1x + c2
2 EI ⎜⎝ 2
3 12 ⎟⎠
x = 0, y = 0 → c2 = 0
y
q 2
q 2
x + c1x + c2 → c2 =
l (∵ x = lのときモーメント0 )
2 EI
2 EI
q 3
q
q 2
x −
lx 2 +
l x + c3 → x = 0のときたわみ角0 → c3 = 0
6 EI
2 EI
2 EI
q
q
q
y =
x4 −
lx3 +
l 2 x 2 + c4 → x = 0のときたわみ0 → c4 = 0
24 EI
6 EI
4 EI
q
∴ y =
x 4 − 4lx3 + 6l 2 x 2
24 EI
dx 2
dy
=
dx
1 qx 2
EI 2
=
(
⎛
x2 ⎞
P ⎛ lx 2 x3 ⎞
− ⎟
⎜ lx −
⎟, y =
⎜
⎜
⎟
⎜ 2
2
EI
6 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
問５
d4y
2
dx
dy
q
x 3 + c1
=
dx 6 EI
y
q
y=
x 4 + c1 x + c 2
24 EI
q 3
x = l , θ = 0 → c1 = −
l
6 EI
3q 4
x = l , y = 0 → c2 =
l
24 EI
q
x 4 − 4 l 3 x + 3l 4
∴ y =
24 EI
積分して
P (l − x )
P ⎛
x2 ⎞
dx =
θ＝∫
⎜ lx −
⎟ + c1
⎜
2 ⎟⎠
EI
EI ⎝
さらに積分して
y＝∫
d2y
dt 2
d 2x
dt
2
d 2x
dt 2
+ a1 (t )
dx
+ a2 (t ) x = f (t ) x′′ + a1 (t ) x′ + a2 (t ) x = f (t )
dt
+b
dx
+ cx = f (t )
dt
+b
dx
+ cx = 0
dt
x′′ + bx′ + cx = f (t )
表現を変えただけで同じもの
x′′ + bx′ + cx = 0
ここに，xはtの関数である．
2