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三 体核 力 へのアプローチ
Part 2
核力研究(実験)
三体核力
東北大学大学院理学研究科
関口仁子
1
2014年2月20-22日 北海道スクール 於 北海道大学
二体核力の研究(実験)
二核子系
✦
重陽子
✦
核子ー核子散乱
重陽子
• pn 束縛系
+
• (J , T ) = (1 , 0)
• 束縛エネルギー : 2.22456612(48) MeV
• 電気四重極モーメント: Q = 0
• 磁気モーメント: µd = 0.85741(8)µN
µp + µn = µd
Bd (MeV)
Matter radius rd (fm)
Q (fm2 )
PD (%)
CD-Bonn
2.224575
1.966
0.270
4.85
Argonne v18
2.224575
1.967
0.270
5.76
Nijmegen I
2.224575
0.272
5.664
}
3S 以外に
1
3D
1
状態が混合
テンソル力
(非中心力)
Ihaho N3 LO(500)
2.224575
1.975
0.275
4.51
Exp.
2.22456612(48)
1.975(3)
0.2859(3)
—
重陽子の波動関数
d
u(r) 3
w(r) 3
=
| S1 +
| D1
r
r
u(r)
S-wave
w(r)
CD Bonn
Nijmegen I
Argonne v18
Juelich (χEFT)
Idaho (χEFT)
D-wave
R. Machleidt, D.R. Entem, Phys. Rep. 503, 1 (2011)を参照
e-d 散乱と重陽子の形状因子
e-d 弾性散乱： e( ; k) + d(e; p)
４元の運動量移行：
q2 =
Q2 =
e( ; k ) + d(e; p )
2
(1
cos )
電子の散乱角度：
d
微分断面積 d
=
M ott
A(Q2 ) + B(Q2 ) tan2
2
2 2
8 2 2 2
2
A(Q ) =
+ GM (Q ) +
GQ (Q )
3
9
構造関数
4
2
2
2
= (Q2 /2md )2
B(Q ) =
(1 + )GM (Q )
3
2
G2C (Q2 )
GC (Q ) : 電気形状因子
GM (Q2 ): 磁気形状因子
2
GQ (Q ) : 四重極形状因子
2
GC (0) = 1
GM (0) = (md /m)µd
GQ (0) = m2d Qd に規格化
重陽子の形状因子
Charge From Factor
Quadrupole From Factor
• NN(AV18, Nijmegen, Bonn) による記述
• 実験：e+d 弾性散乱
J. Carlson and R. Schiavilla, Rev. Mod. Phys. 70, 743 (1998)
R. Schiavilla,V.R. Pandharipande
Phys. Rev. C65, 064009 (2002)
M. Gar¸con and J.W. Van Orden, arXiv:nucl-th/0102049
から
核子ー核子散乱
• pp, nn, pn 系 (nn散乱のデータは極めて少ない)
✦
✦
観測量
✦
微分断面積：大きさをみる
✦
スピン観測量：スピン依存性をみる
散乱振幅
9
10
np
pp
2000
pp
np
dσ/dΩ
AN
Aij
Dij
Kij
N/Mijk
σtot
Ndata
1500
1000
dσ/dΩ
AN
Aij
Dij
Kij
N/Mijk
σtot
500
0
0
500
1000
1500
2000
Tp (MeV)
2500
3000 0
10
500
1000
1500
2000
Tn (MeV)
2500
3000
pp
2000
np
1950-59
1960-69
1970-79
1980-89
1990-99
2000-
Ndata
1500
1950-59
1960-69
1970-79
1980-89
1990-99
2000-
1000
500
0
0
500
1000
1500
2000
Tp (MeV)
2500
3000 0
11
500
1000
1500
2000
Tn (MeV)
2500
3000
核子ー核子散乱（続き）
ポテンシャルV(r)による核子ー核子散乱の波動関数の漸近解は
(+)
k (r)
但し
1
exp(ikr)
exp(ikz) +
3/2
r
(2 )
r
U (r) = 2mV (r)/
(2 )3
4
exp( ik · r )U (r )
(+)
k (r
)dr
散乱振幅
2
ボルン近似下での散乱振幅
f( ) =
q=k
(2 )3/2
4
exp( (k
k) · r ) U (r )dr
x
散乱波
k とおくと、
f( ) =
(2 )
4
3/2
(r,θ,φ)
入射波
exp( q · r ) U (r )dr
ポテンシャルのフーリエ変換
12
y
標的
z
Function (r)
point
(r)/4
exponential
(a3 /8 ) exp( ar)
Gaussian
(a2 /2 )3/2 exp( a2 r2 /2)
homogeneous
3/4 R3 for r R
sphere
0 for r > R
13
From Factor F (q 2 )
1
constant
(1 + q2 /a2 2 ) 2
dipole
exp( q2 /2a2 / 2 )
Gaussian
3 3 (sin
cos ) oscillating
with = |q|R/
核子ー核子散乱（続き）
微分断面積と散乱振幅
d
d
= |f ( )|2
散乱振幅の部分波分解
1
f( ) =
k
(2l + 1) ei l sin( l )Pl (cos )
l=0
x
位相差解析(Phase Shift Analysis) で、
散乱波
実験と理論(核力ポテンシャル)を結びつける。
(r,θ,φ)
（具体的には、実験にあうパラメーターを決める）
入射波
y
14
標的
z
R. MACHLEIDT
PHYSICAL REVIEW C 63 024001
FIG. 6. pp phase parameters in partial waves with J 4. The solid line represents the predictions by the CD-Bonn potential. The solid
dots and open circles are the results from the Nijmegen multienergy pp phase shift analysis 46 and the VPI single-energy pp analysis
SM99 49 , respectively.
15
核子ー核子散乱（続き）
np散乱と交換力
p
n
dσ/dΩ
dσ/dΩ
θlab.∼90°
θc.m.
180°
θc.m.
180°
中性子が前方散乱
陽子が前方散乱
非交換力
交換力
16
スピンと偏極
(minimum)
スピンとは？
量子力学：系 or 粒子の固有角運動量
• 磁石を内蔵している系 or 粒子
N
∼
∼
S
•スピンの向きを
える(偏極)
通常：無秩序な状態
偏極した状態
スピンの向きを
18
える
スピンとは？
量子力学：系 or 粒子の固有角運動量
• 磁石を内蔵している系 or 粒子
古典力学：自転、回転
N
∼
∼
S
•スピンの向きを
える(偏極)
通常：無秩序な状態
偏極した状態
スピンの向きを
18
える
z
スピン偏極
+3
✦
✦
✦
スピンS を持つ同種粒子の集合に対して、
その集合のスピンの偏りを表現する。
S=3
+2
0
0
スピンSを持つ粒子は、ある量子化軸に沿
って 2S+1 の磁気量子数を持つ。
-3
占有率
p(mz)
-3
p(m) = p( m) ：偏極
p(m) = p( m) ：整列
1
p(m) =
：非偏極
2S + 1
-2
p(m) = p( m)
粒子が磁気量子数 m となる確率を p(m) と
すると、
-2
-1
0
1
2
3
mz
占有率
p(mz)
p(m) = p( m)
-3
占有率
p(mz)
と呼ぶ。
19
-3
-2
-1
0
1
2
3
mz
0
1
2
3
mz
1
p(m) =
7
-2
-1
+1
-1
スピン偏極
✦
量子化軸を z 方向にとった時、粒子集団の確率分布はモーメントの形で書ける。
Pz
Pzz
=
=
1
S
mp(m)
1次のモーメント (ベクトル偏極)
m
3
2
m
p(m) S(S + 1) 2次のモーメント(テンソル偏極)
m
S(2S 1)
p(m) = 1
ただし、
m
✦
スピンS=1/2 の場合 (電子、陽子)
Pz
✦
=
1
p( )
2
1
p(
)
2
(ベクトル偏極)
スピンS=1 の場合 (重陽子)
Pz
Pzz
=
=
p(1)
p(1)
p( 1) (ベクトル偏極)
2p(0) + p( 1) = 1 3p(0)
20
(テンソル偏極)
装置
スピン偏極を作る
偏極重陽子
イオン源
スピン偏極を測る
SMART
焦点面偏極度計
DPOL
偏極３He
標的
ビームライン偏極度計
21
BigDpol
スピンの向きを測る
スピン偏極による効果は左右に散乱される粒子数
の非対称度として現れる。
非対称度
NL NR
=P ·A=
NL + NR
P
A
: 偏極度
: 標的の分析能
スピンの向き P が求まる
左
スピン偏極ビーム
NL 個
検出器
P
原子核標的
22
右
検出器
NR 個
偏極微分断面積とスピン観測量
x
スピン偏極度 pij (i,j=x,y,z)を持つビームを
標的に入射すると、散乱の非対称が生じる。
陽子(spin=1/2)の時
=
0
(1 + py Ay )
d
z
y
kin
kout
p
重陽子(spin=1)の時
=
0
3
2
1
1
1
1 + py Ay + pxz Axz + pxx Axx + pyy Ayy + pzz Azz
2
3
3
3
3
σ
を偏極微分断面積 (σ0 : ビームが非偏極の時の微分断面積)
Aij
(i,j=x,y,z) を偏極分解能 (偏極分析能の方が正しい？) という。
References :
・H. Schieck “Nuclear Physics with Polarized Particles”
(Lecture Notes in Physics, 2011)
・G.G. Ohlsen, Rep. Prog. Phys. 35, 717 (1972).
その他のスピン偏極量
偏極移行量
Kij
検出器
(i,j=x,y,z)
・偏極ビーム
p
・散乱粒子の偏極を測定
二回散乱標的
・二回散乱実験
d
p
偏極相関係数 Cij (i,j=x,y,z)
・偏極ビーム
検出器
・偏極標的
d
p
偏極分解能
Aij
(i,j=x,y,z)
•ベクトル偏極分解能：スピン軌道力(L・S)に敏感
•テンソル偏極分解能：テンソル力(D-state)、(L・S)2 に敏感
偏極移行量
Kij
(i,j=x,y,z)
偏極相関係数 Cij (i,j=x,y,z)
•スピン・スピン相関(s・S)に敏感
その他：Lamb シフト法
光ポンピング法
スピン偏極を作る ( 原子線法)
ポイントは、核スピン I と 電子スピン J の結合
スピン１の場合
F =I +J
全スピン 核スピン 電子スピン
1.
2.
2. sextupole magnets
1. dissociator
6
4.
4. ECR ionizer
B = 800 Gauss
1
2
5
2
3
1
4
1
3.
3. rf transition
6
3
5
pz = N+1 ! N!1 = 2/3
pzz= 1 ! 3N0 = 0
production of atomic
重水素分子を原子に解離
D beam
electron:
spin up
,
電子スピンの選択：
transferingto
electron
pol.
電子スピン
核スピン
electron spin selection
to nucleus
電子スピン m=+1/2の方 (超微細構造相互作用)
のみを収束させる
(by spin
六極磁石)
down
M=+1
M=0
deuteron:
,
ionization in a strong
プラズマ中で電子をはぎ取り、
magnetic field
陽イオンを生成
,
M=!1
原子線法
原子線法
三体力(三体核力)
28
三 体力(三体核力)とは
✦
三つの核子が同時に相互作用する力は二体力の和で 表す事は出来ない。その様な力を三体力（三体核力）
と呼ぶ。
✦
1957年に藤田純一・宮沢弘成が２π中間子交換型の三
N
体力を予言。
N
N
29
三 体力(三体核力)とは
✦
三つの核子が同時に相互作用する力は二体力の和で 表す事は出来ない。その様な力を三体力（三体核力）
と呼ぶ。
✦
1957年に藤田純一・宮沢弘成が２π中間子交換型の三
N
体力を予言。
N
N
29
Δ : excited state of nucleon
三核子系
検出器
加速器で加速
３ つの核子からなる原子核の系
三重水素，ヘリウム３
重陽子―陽子散乱
重陽子
陽子：１コ
中性子：１コ
方法
1. 三体問題を解く
2. 二体力が解っている
3. 理論を検証するための実験 30
陽子
検出器
三 体問題を解く
ハイゼンベルグの不確定性原理
= h/2
p x
：自由度が減る
ファデーエフ方程式 量子三体系を解く方程式（ L.D.ファデーエフ１９６１年）
2
NN
NN
NN
H = H0 + V12
+ V23
+ V31
=
23,1 +
23,1
31,2
12,3
=
31,2 +
23,1
31,2
12,3
12,3
+ G0
1
3
0
t31
t12
31
t23
0
t12
t23
t31
0
2
2
1
3
23,1
31,2
12,3
1
3
三 体問題を解く
量子力学での三体問題
ハイゼンベルグの不確定性原理
= h/2
p x
：自由度が減る
ファデーエフ方程式 量子三体系を解く方程式（ L.D.ファデーエフ１９６１年）
2
NN
NN
NN
H = H0 + V12
+ V23
+ V31
=
23,1 +
23,1
31,2
12,3
=
31,2 +
23,1
31,2
12,3
12,3
+ G0
1
3
0
t31
t12
31
t23
0
t12
t23
t31
0
2
2
1
3
23,1
31,2
12,3
1
3
三 体問題を解く
量子三体問題は解ける！
量子力学での三体問題
ハイゼンベルグの不確定性原理
= h/2
p x
：自由度が減る
ファデーエフ方程式 量子三体系を解く方程式（ L.D.ファデーエフ１９６１年）
2
NN
NN
NN
H = H0 + V12
+ V23
+ V31
=
23,1 +
23,1
31,2
12,3
=
31,2 +
23,1
31,2
12,3
12,3
+ G0
1
3
0
t31
t12
31
t23
0
t12
t23
t31
0
2
2
1
3
23,1
31,2
12,3
1
3
三核子系
検出器
加速器で加速
３ つの核子からなる原子核の系
三重水素，ヘリウム３
重陽子―陽子散乱
陽子
重陽子
陽子：１コ
中性子：１コ
検出器
方法
1. 三体問題を解く ファデーエフ方程式 コンピューターの高速化
2. 二体力が解っている 確立
3. 理論を検証するための実験 これからお話する我々の実験
32
三重水素と三体核力
•
予言：Wigner (1933)
2H, 3H, 4He
•
の束縛エネルギーから、三体力(三体核力)の存在を示唆。
以後、三重水素(3H)の束縛エネルギーから三体力の大きさを議論する研究が始まる。
三重水素(3H)
・A=3 (Z=1, N=2) の三核子束縛系
Potential
・束縛エネルギー(実験値)：8. 481821(4) MeV
・現実的な核力(二体核力)では、
実験値と 約
0.5 ∼ 1 MeV
の差がある
33
CDBonn
AV18
Nijm I
Nijm II
Nijm 93
EB [MeV]
(2NF)
7.953
7.576
7.731
7.709
7.664
2π交換型の三体力
Fujita-Miyazawa型の三体力
: (J P , T ) =
L
NN
L
N
=
3+ 3
,
2 2
f
NN
m
= g ¯ µ (x) T
p2’
p1’
k1
p1
1
p2
2
p3’
k2
p3
3
N : (J P , T ) =
5 µ
(x) ·
u(p1 )
k12
·
µ
1+ 1
,
2 2
µ
µ : Δ場のオペレータ
(x)
: N-ΔのIsospin 結合
T
u(p1 )
m2
2m P µ (k1 + p2 )
+
u(p2 )T k2µ
k1 T u(p2 )
2
2
(k1 + p2 )
m
u(p3 ) 5 u(p3 )
k22 m2
5
非相対論の極限をとると
VFM
1
1
· k1 3 · k2
2mN 2mN k21 + m2 k22 + m2
1
16
4
k1 · k2 1 · 2 + 2 ·
2
2
m
mN 9
9
1
1
3
2
· k1
k2
34
2π交換型の三体力
Fujita-Miyazawa型の三体力
1
1
· k1 3 · k2
2mN 2mN k21 + m2 k22 + m2
1
16
4
k1 · k2 1 · 2 + 2 ·
m2
m2N 9
9
1
VFM
1
3
2
· k1
k2
一般的な２π交換型の三体力
: πN散乱の低運動量展開で導出
(2)
V123
=
9
1 · k1
3 · k2
2 2
2 2
F
(k
)F
(k2 )
1
2
2
2
2
2
4mN k1 + m k2 + m
1
(2 )6
1
F
·
a + b k1 · k2 + c k21 + k22
2
2
N N (k ) =
2
m2
2 + k2
+d
2
·
1
3
2
· k1
k2
πNNの Form Factor
cut-off Λ : 3H B.E. に合わせる
a, b, (c), d : πN散乱の散乱振幅から決定
35
2π交換型の三体力
Fujita-Miyazawa型の三体力
1
1
· k1 3 · k2
2mN 2mN k21 + m2 k22 + m2
1
16
4
k1 · k2 1 · 2 + 2 ·
m2
m2N 9
9
1
VFM
1
3
2
· k1
k2
一般的な２π交換型の三体力
: πN散乱の低運動量展開で導出
(2)
V123
=
9
1 · k1
3 · k2
2 2
2 2
F
(k
)F
(k2 )
1
2
2
2
2
2
4mN k1 + m k2 + m
1
(2 )6
1
F
·
a + b k1 · k2 + c k21 + k22
2
2
N N (k ) =
2
m2
2 + k2
+d
2
·
1
3
2
· k1
k2
πNNの Form Factor
cut-off Λ : 3H B.E. に合わせる
a, b, (c), d : πN散乱の散乱振幅から決定
35
三重水素と三体核力
2π交換型三体力
Three Nucleon Force
Fujita–Miyazawa
Tucson–Melbourne
Urbana IX
a[m 1 ]
0
0.87
0
b [m 3 ]
1.15
2.58
1.20
d [m 3 ]
0.29
0.753
0.30
36
三重水素と三体核力
2π交換型三体力
V2
3NF
F 2N N (q 2 ) F 2N N (q 2 )
(
= const.
2
2
2
2
q +m
q +m
( 2 · 3 ) ( a + b (q · q ))
+
d
(
3
2)
·
1
1
· (q
2
· q )(
3
q )
• Low momentum expansion of πN Scattering amplitudes
• Cut-off of FπNN : fit to B.E. of 3H
Three Nucleon Force
Fujita–Miyazawa
Tucson–Melbourne
Urbana IX
a[m 1 ]
0
0.87
0
b [m 3 ]
1.15
2.58
1.20
d [m 3 ]
0.29
0.753
0.30
36
·q )
三重水素と三体核力
•
予言：Wigner (1933)
2H, 3H, 4He
•
の束縛エネルギーから、三体力(三体核力)の存在を示唆。
以後、三重水素(3H)の束縛エネルギーから三体力の大きさを議論する研究が始まる。
三重水素(3H)
・A=3 (Z=1, N=2) の三核子束縛系
・束縛エネルギー：8. 481821(4) MeV
・現実的な核力(二体核力)では、
実験値と 約
0.5 ∼ 1 MeV
の差。
・三体核力を考慮することで、実験値
が説明された。
Potential
CDBonn
AV18
Nijm I
Nijm II
Nijm 93
Exp.
・ただし、cut-off Λは実験値を再現
EB [MeV]
EB [MeV]
(w/o 3NF) (with 3NF)
7.953
8.483
7.576
8.479
7.731
8.480
7.709
8.477
7.664
8.480
8.481821(4) [MeV]
/m
4.856
5.215
5.147
4.990
5.207
A. Nogga et al., Phys. Rev. C65, 054003 (2002).
する様に決められている。
37
その他の三体力
  3π-ring with Δ-isobar :
  Heavier-meson exchange 3NF
To explore the laws of the nature, step in 1 → 2 → 3 .
Earth-Moon-Satellite Gravitational
Interactions

Two Body Interactions : Gravity

Three Body Interactions
by the polarizations of the ocean
water of the earth by the moon’s
gravity
To explore the laws of the nature, step in 1 → 2 → 3 .
Triplets of Atoms
Van der Waals Type Three Body Force

Two Body Interactions : Electro-Magnetic Force

Three Body Interactions
Effects of the polarizations of the
electron density distribution
Nucleus : a compact system of nucleons
Nuclear Force : Strong Interactions
Effects of Three Nucleon Forces
– Where and How to attack- ?
Are there three nucleon forces
in Nuclei ?
Nucleus : a compact system of nucleons
Nuclear Force : Strong Interactions
Effects of Three Nucleon Forces
– Where and How to attack- ?