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Asymptotic behavior of solutions to the short pulse equation
with critical nonlinearity
新里 智行 (大阪大学理学研究科 D2)
1
初めに
次の Cauchy 問題 :
{
( )
utx = u + u3 xx , x ∈ R, t > 0,
u (0, x) = u0 (x) , x ∈ R,
(1)
を考える. ここで, 初期条件 u0 は実数値関数とする. この方程式は short pulse 方程式と
よばれ, 非線形媒質中の短い信号の伝播を記述する方程式として, Sch¨
afer, Wayne([2]) ら
によって導出された. 本講演では short pulse 方程式の散乱問題について考える.
本題に入る前に記号を準備する. Lp は通常の Lebesgue 空間とする. 重みつき Sobolev
m,s
空間 Hp を以下で定義する :
{
}
m
s
′
2 ⟨i∂ ⟩ 2 ϕ
m,s =
Hm,s
=
φ
∈
S
;
∥ϕ∥
⟨x⟩
<
∞
,
x
p
Hp
Lp
√
√
ここで, m, s ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞, ⟨x⟩ = 1 + x2 , ⟨i∂x ⟩ = 1 − ∂x2 . また p = 2 のときは,
Hm,s と書き, さらに s = 0 のときは Hm と記号を簡略化して書く. 斉次 Sobolev 空間
˙ m を以下で定義する :
H
}
{
(
)m
˙ m = ϕ ∈ S′ ; ∥ϕ∥ ˙ m = −∂ 2 2 ϕ
H
<
∞
.
x
H
L2
主結果について述べる前に (1) を一般化した方程式 :
{
utx = u + (f (u))xx , x ∈ R, t > 0,
u (0, x) = u0 (x) ,
x ∈ R,
(2)
について知られている結果を紹介する. ここで, ρ が非整数のときは, f (u) = |u|ρ−1 u, ρ
が整数のときは f (u) = uρ , あるいは f (u) = |u|ρ−1 u とする. 文献 [3] において, ρ ≥ 4 で
ρ が整数のとき, 初期条件が H5 ∩ H13,0 の意味で小さければ, 時間大域解が一意に存在し,
1
1
さらに時間減衰評価 ∥u(t)∥Lr ∼ t−( 2 − r ) , 2 ≤ r < ∞ を満たすことが示されている. 文献
[1] では, 初期条件に [3] より強い条件を仮定することにより, ρ ≥ 3 + 32 において時間大域
解の存在と解の漸近挙動を得ている. また [1] では, short pulse 方程式 (ρ = 3) の場合に,
いわゆる”Almost global existence” が成り立つことも示されている. 今回, 初期条件に関
して [1] よりも強い仮定を用いることにより, short pulse 方程式での時間大域解の存在と,
解の漸近挙動を得ることが出来たので, これを紹介する.
2
主結果
主結果を述べるために, 記号の準備をする. short pulse 方程式の自由発展群を U(t) =
it
F と定義する. ここで, F, F −1 はそれぞれ, フーリエ変換, フーリエ逆変換であ
る. また作用素 J を J = U(t)xU(−t) で定義する. さらに, 以下の関数空間を導入する :
−
F −1 e ξ
}
ϕ ∈ L2 ; ∥ϕ∥X0 < ∞ ,
{
}
(
)
=
u (t) ∈ C [0, T ) ; L2 ; ∥u∥XT < ∞ ,
X0 =
XT
{
ここでノルムは,
∥ϕ∥X0
∥u∥XT
= ∥ϕ∥H9+µ + ∥xϕx ∥H4 + ∥ϕ∥H˙ −1 ,
1 (
)
= sup ⟨t⟩−ϵ 6 ∥u (t)∥H9+µ + ∥J ux (t)∥H4 + ∥u (t)∥H˙ −1
t∈[0,T )
1
+ sup ⟨t⟩ 2 (∥u(t)∥L∞ + ∥ux (t)∥L∞ ) .
t∈[0,T )
とし, µ, ϵ > 0 は小さい正数とする. 以上の準備の下で結果を述べる.
Theorem 2.1. 初期条件を u0 ∈ X0 とし, ∥u0 ∥X0 ≤ ϵ で ϵ は十分小さいとする. このとき,
方程式 (1) の時間大域解 u ∈ X∞ が一意に存在して, 時間減衰評価 ∥u (t)∥H1∞ ≤ C ⟨t⟩− 2
1
を満たす. さらに, W ∈ H∞ , 実数値関数 Ψ ∈ L∞ が一意に存在し, 次の漸近挙動が x ∈ R
に関して一様に成り立つ :
( (
))
( 1 )
√
√
√
2t π
2
− 12
+ + 3 2πχ |W (χ)| log t − 3 2πΨ (χ) +O t− 2 −δ
u (t) = t
2ℜθ(x)W (χ) exp −i
χ
4
√
t
t → ∞. ここで δ ∈ (0, 41 ), χ = −x
, x < 0 のとき, θ(x) = 1, x ≥ 0 のとき θ(x) = 0.
0,1
参考文献
[1] N. Hayashi, P. I. Naumikin and T. Niizato. Asymptotics of solutions to the generalized Ostrovsky equation, J. D. E., 255 (2013), pp. 2505-2520.
[2] T. Sch¨afer and C.E. Wayne, Propagation of ultra-short optical pulses in cubic nonlinear media, Physica D, 196 (2004), pp. 90-105.
[3] A. Stefanov, Y. Shen and P.G. Kevrekidis, Well-posedness and small data scattering
for the generalized Ostrovsky equation, J. D. E., 249 (2010), pp. 2600-2617.