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不定方程式－8 畳－1
予習問題
方程式 x  21x  k  0 が 3 解  、  、  (     ) を持つ。
3
 、  、  が実数のとき、  の範囲を求めよ。
(2)  、  、  が整数のとき、  の値を求めよ。
(1)
値替え問題
方程式 x  6 x  27 x  k  0 が 3 つの異なる整数解を持つときの k の値
3
2
を求めよ。
発展問題
次の方程式に対して以下の問いに答えよ。
x 2  (a  12) x  3a  0 ・・・(＊)
(1) (＊)が重解を持つときの a の値と、そのときの解を求めよ。
(2) (＊)の解が 2 つとも自然数であるときの a の値と、そのときの解を求め
よ。
不定方程式－8 畳－1
不定方程式－8 畳－2
予習問題
方程式 x  21x  k  0 が 3 解  、  、  (     ) を持つ。
3
 、  、  が実数のとき、  の範囲を求めよ。
(2)  、  、  が整数のとき、  の値を求めよ。
(1)
（１）１０点
方程式 x  21x  k  0 の解はグラフ y  x 3  21x と直線 y  k の交点
3
の x 座標と捉えることができる。したがって y  x 3  21x (  f (x) とする)
の概形をまず求める。
f ( x)  3x 2  21
これより f (x) の増減は次表のようになる。
x
･･･
･･･
 7
f (x)
0
＋
－
7
0
･･･
＋
f (x)
よって y  f (x) のグラフは次図。
いま図のように y  f (x) と直線 y  f ( 7 ) の交点の x 座標を X と定める
と求める範囲は 7    X である。そこで 2 式を連立し X を求める。
f ( x)  f ( 7 )  x 3  21x  f ( 7 )  0
上式は 3 つの解、  7 、  7 、 X を持つから、解と係数の関係より X に
関する次のような式が得られ、これより X が求まる。
 7 7X 0 X 2 7
よって求める範囲は 7    2 7 となる。
（２）１０点
 が整数になるとき、(1)より   3,4,5 が必要。
( 2  4  7    2 7  28  36  6)
以下それぞれに対する十分性を調べていく。
  3 のとき
ⅰ)
x  21x  k  0 の解の 1 つが x  3 なので、代入すれば k が定まる。
27  63  k  0  k  36
3
このとき与式の他の解が整数になるか確かめる。
x 3  21x  36  0  ( x  3)( x 2  3x  12)  0
 x  3,
 3  57
2
このとき  以外は整数にならないので不適である。
  4 のとき
ⅱ)
x  21x  k  0 の解の 1 つが x  4 なので、代入すれば k が定まる。
3
不定方程式－8 畳－2
不定方程式－8 畳－3
64  84  k  0  k  20
このとき与式の他の解が整数になるか確かめる。
x 3  21x  20  0  ( x  4)( x 2  4 x  5)  0
 ( x  4)( x  1)( x  5)  0  x  4,1,5
このとき  以外も整数になるので十分性も満たす。
ⅲ)
  5 のとき
x 3  21x  k  0 の解の 1 つが x  5 なので、代入すれば k が定まる。
125  105  k  0  k  20
このとき与式の他の解が整数になるか確かめる。
x 3  21x  20  0  ( x  5)( x 2  5x  4)  0
 ( x  5)( x  1)( x  4)  0  x  5,1,4
このとき  以外も整数になるので十分性も満たす。
以上ⅰ)、ⅱ)、ⅲ)より求める  の値は   4,5 と分かる。
予習問題－3 次関数は 8 畳一間に住んでいる!?
3 次関数のグラフが必ずその変曲点に対して点対称になるのは有名ですが、
他にも上図のように合同な長方形 8 つを 3 次関数にはめ込めることが知られ
ています。これを知っていると X の値を一瞬で検算できます。
不定方程式－8 畳－3