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平成 26 年度 九州大学２次試験前期日程 (数学問題)120 分
文系 (文学部，教育学部，法学部，経済学部 (経済・経営))
1 座標平面上の直線 y = −1 を `1 ，直線 y = 1 を `2 とし，x 軸上の 2 点 O(0, 0)，
A(a, 0) を考える。点 P(x, y) について，次の条件を考える。
d(P, `1 ) = PO かつ d(P, `2 ) = PA
···°
1
ただし，d(P, `) は点 P と直線 ` の距離である。
(1) 条件 °
1 を満たす点 P が存在するような a の値の範囲を求めよ。
(2) 条件 °
1 を満たす点 P 全体がなす図形の面積 S を a を用いて表せ。ただし，
a の値は (1) で求めた範囲にあるとする。
2 以下の問いに答えよ。
(1) 任意の自然数 a に対し，a2 を 3 で割った余りは 0 か 1 であることを証明
せよ。
(2) 自然数 a，b，c が a2 + b2 = 3c2 を満たすと仮定すると，a，b，c はすべて
3 で割り切れなければならないことを証明せよ。
(3) a2 + b2 = 3c2 を満たす自然数 a，b，c は存在しないことを証明せよ。
2
3 鋭角三角形 4ABC について，∠A，∠B，∠C の大きさを，それぞれ A，B ，C
とする。4ABC の重心を G，外心を O とし，外接円の半径を R とする。
(1) A と O から辺 BC に下ろした垂線を，それぞれ AD，OE とする。このとき，
AD = 2R sin B sin C,
OE = R cos A
を証明せよ。
(2) G と O が一致するならば 4ABC は正三角形であることを証明せよ。
(3) 4ABC が正三角形でないとし，さらに OG が BC と平行であるとする。こ
のとき，
AD = 3OE, tan B tan C = 3
を証明せよ。
4 A さんは 5 円硬貨を 3 枚，B さんは 5 円硬貨を 1 枚と 10 円硬貨を 1 枚持ってい
る。2 人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる。それぞれが投げた硬
貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする。勝者は相手の裏が出
た硬貨をすべてもらう。なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分け
とし，硬貨のやりとりは行わない。このゲームについて，以下の問いに答えよ。
(1) A さんが B さんに勝つ確率 p，および引き分けとなる確率 q をそれぞれ求
めよ。
(2) ゲーム終了後に A さんが持っている硬貨の合計金額の期待値 E を求めよ。
3
解答例
1
(1) d(P, `1 ) = |y + 1|，d(P, `2 ) = |y − 1| であるから，°
1 より
p
p
|y + 1| = x2 + y 2 かつ |y − 1| = (x − a)2 + y 2
これらを整理すると
1
1
y = x2 −
2
2
かつ
1
1
y 5 − (x − a)2 +
2
2
y
上の 2 式を同時にみたす領域が存在する条件 は，2 つの放物線
1
1
C1 : y = x2 −
2
2
1
1
C2 : y = − (x − a)2 +
2
2
α
O
C1
β
が共有点をもつことであるから，2 次方程式
1 2 1
1
1
x − = − (x − a)2 +
2
2
2
2
1
すなわち
x2 − ax + a2 − 1 = 0 · · · (∗)
2
が実数解をもてばよい．したがって，係数について
¶
µ
1 2
2
a − 1 = 0 これを解いて −2 5 a 5 2
(−a) − 4·1
2
(2) (∗) の方程式の解を α，β とすると (α < β)
1
x2 − ax + a2 − 1 = (x − α)(x − β)
2
√
β − α = 4 − a2
よって，求める面積 S は
µ
¶¾
Z β½
1
1 2 1
1
2
x −
S=
− (x − a) + −
dx
2
2
2
2
α
¶
Z βµ
1 2
2
=−
x − ax + a − 1 dx
2
α
Z β
=−
(x − α)(x − β)dx
α
1
1
3
= (β − α)3 = (4 − a2 ) 2
6
6
x
C2
4
2
(1) 自然数 a を 3 で割った商を k ，余りを r とすると (r = 0, 1, 2)
r = 0 のとき
a2 = (3k)2 = 3·3k 2
r = 1 のとき
a2 = (3k + 1)2 = 3(3k 2 + 2k) + 1
r = 2 のとき
a2 = (3k + 2)2 = 3(3k 2 + 4k + 1) + 1
よって，a2 を 3 で割った余りは 0 か 1 である．
(2) 自然数 a，b，c が a2 + b2 = 3c2 を満たすとき，a2 + b2 は 3 の倍数である
から，(1) の結果から a2 ，b2 がともに 3 の倍数である．
このとき，自然数 l，m を用いて
a = 3l,
b = 3m
とおける．したがって
(3l)2 + (3m)2 = 3c2
ゆえに
c2 = 3(l2 + m2 )
c2 は 3 の倍数であるから，(1) の結果により，c も 3 の倍数である．
よって，a，b，c はすべて 3 で割り切れる．
(3) a2 + b2 = 3c2 を満たす自然数 a，b，c が存在すると仮定すると，(2) の結
果から
a = 3n A, b = 3n B, c = 3n C
とおける (n は自然数，3 つの自然数 A，B ，C の少なくとも 1 つは 3 で割
り切れない)．このとき
(3n A)2 + (3n B)2 = 3(3n C)2
A2 + B 2 = 3C 2
上式および (2) の結果から，A，B ，C はすべて 3 で割り切れることにな
り，A，B ，C の仮定に反する．
よって，a2 + b2 = 3c2 を満たす自然数 a，b，c は存在しない．
5
3
(1) 直角三角形 ABD において
AD = AB sin B
A
···°
1
O
正弦定理を 4ABC に適用すると
AB
= 2R より AB = 2R sin C
sin C
···°
2
B
E
D C
°
2 を°
1 に代入すると
AD = 2R sin B sin C
···°
3
A < 90◦ より，円周角と中心角の定理により ∠BOC = 2A
1
また，4BOE ≡ 4COE であるから ∠BOE = ∠BOC = A
2
OB = R であるから 4BOE において OE = R cos A · · · °
4
(2) 4ABC の重心 G は，中線 AE 上にあるから，G と O が一致するとき，直
線 AE は辺 BC の垂直二等分線であるから CA = AB
同様に，辺 CA の中点を F とすると，OF⊥CA
G は，中線 BF 上にあるから，G と O か一致するとき，直線 BF は辺 CA
の垂直二等分線であるから AB = BC
よって，AB = BC = CA より，4ABC は正三角形である．
−→
−→
−→
別解 ~a = OA，~b = OB，~c = OC とすると
−→ 1 ~ ~ ~
OG = (a + b + c)
3
~
~
~
~
O と G が一致するとき，a + b + c = 0 であるから ~a + ~b = −~c より
(~a + ~b)·(~a + ~b) = (−~c)·(−~c) ゆえに |~a|2 + 2~a·~b + |~b|2 = |~c|2
|~a| = |~b| = |~c| = R であるから 2~a·~b = −R2
同様にして
このとき
2~b·~c = 2~c·~a = −R2
−→
|AB|2 = |~b − ~a|2 = |~b|2 − 2~a·~b + |~a|2 = 3R2
−→
−→
同様にして |BC|2 = |CA|2 = 3R2
−→
−→
−→
よって，|AB| = |BC| = |CA| より，4ABC は正三角形である．
6
(3) OG//BC より，4EGO
4AED
EG : GA = 1 : 2 であるから
A
OE : AD = 1 : 3 ゆえに AD = 3OE
O
G
°
3 ，°
4 を上式に代入すると
B
D C
E
2R sin B sin C = 3R cos A
A + B + C = π より cos A = − cos(B + C) であるから
2 sin B sin C = −3 cos(B + C)
= −3(cos B cos C − sin B sin C)
ゆえに
3 cos B cos C = sin B sin C
よって
tan B tan C = 3
y
別解 O を座標平面上の原点とし，x 軸を辺 BC と平 行にとり，A(a, b) とし，B と C は y 軸に関して
対称であるから，B(−c, −d)，C(c, −d) とする．
OG//BC より，G は x 軸上にあるから，4ABC
の重心 G の y 座標について
−c
b + (−d) + (−d)
= 0 ゆえに b = 2d
3
B
A
2d
a
c
O G
−d E
D C
したがって
OE = |d|, AD = 3|d| より AD = 3OE
BD = |a + c|, CD = |c − a|
4ABC は鋭角三角形であるから，|a| < |c| に注意して
tan B tan C =
AD AD
3|d|
3|d|
9d2
×
=
×
= 2
BD CD
|a + c| |c − a|
c − a2
· · · (∗)
ここで，OA2 = OC2 であるから
a2 + (2d)2 = c2 + (−d)2
ゆえに
c2 − a2 = 3d2
· · · (∗∗)
d 6= 0 であるから，(∗∗) を (∗) に代入すると tan B tan C = 3
x
7
4
(1) A さん，B さんが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額をそれぞれ
X ，Y とすると
X
確率
0
5
10
15
1
8
3
8
3
8
1
8
計
1
Y
確率
0
5
1
4
1
4
10 15
1
4
1
4
計
1
よって，A さんが B さんに勝つ確率 p，および引き分けとなる確率 q は
µ
¶
µ
¶
3
3 1 3 1 1
1 1 1 1
p= × +
+
=
+
+ +
8 4 8 4 4
8 4 4 4
8
1
1 1 3 1 3 1 1 1
q= × + × + × + × =
8 4 8 4 8 4 8 4
4
(2) (1) の X ，Y に対して，ゲーム終了後に A さんが持っている硬貨の合計金
額を Z とすると，Z およびその確率 P (Z) を表にすると
X
Y
0
5
10
15
したがって
合計金額 Z
0 5 10
15 0
0
30 15 5
30 25 15
30 25 20
15
0
5
10
15
合計金額の確率 P (Z)
Y
0
5
10 15
X
1 1
1 1
1 1
0 8 · 4 8 · 4 8 · 4 18 · 14
5 38 · 14 38 · 14 38 · 41 38 · 14
10 38 · 14 38 · 14 38 · 41 38 · 14
15 18 · 14 18 · 14 18 · 41 18 · 14
1
1
1
+
+
=
32 32 32
3
3
6
P (Z = 5) =
+
=
32 32
32
3
P (Z = 10) =
32
8
P (Z = 15) = q =
32
1
P (Z = 20) =
32
3
1
4
P (Z = 25) =
+
=
32 32
32
3
3
1
P (Z = 30) =
+
+
=
32 32 32
P (Z = 0) =
3
32
7
32
よって，求める期待値 E は
E =5×
255
6
3
8
1
4
7
+ 10 ×
+ 15 ×
+ 20 ×
+ 25 ×
+ 30 ×
=
32
32
32
32
32
32
16