1. No category

数学ⅡB基礎　No3
(　)組(　)番　名前(　)　１ xy 平面において，点 0 2，1 1 を通り x 軸と y 軸に接する円の半径を求めよ。
20log 2 x 1 2 +3log 2 x -2=0
0log 2 x +21 02log 2 x -11 =0
解説
よって　log 2 x =-2 ，
x 軸と y 軸に接し，点 (2，1) を通るから，円の中心は第 1 象限にある。
1
2
1
ゆえに　x = ，U2
4
円の中心の座標を 0 a，b 1 ，半径を r とすると，a >0，b >0 で
a = b = r
1
x >0 ，x ' 1 であるから，解は　x = ，U2
4
よって，円の方程式は　0 x - r 1 2 + 0 y - r 1 2 = r 2
点 (2，1) を通るから　0 2 - r 1 2 + 0 1 - r 1 2 = r 2
６ 関数 f 0 x 1 = x 3 + ax 2 -4x + b が x =2 で極小値 -5 をとるとき，次の問いに答えよ。
整理すると　r 2 -6r +5=0 これを解くと　r =1，5
(1)　定数 a，b の値を求めよ。　(2)　関数 f 0 x 1 の極大値を求めよ。
したがって，求める円の半径は　1，5
(3)　3 次方程式 f 0 x 1 =0 を解け。
２ a は，a >0 を満たす定数とする。実数 x，y に関する条件 p，q を次のように定める。
8
p：x 2 + y 2 ( 1 q： x -
1
2
1
9 + 8y - 2 9 ( a
2
2
2
解説
(1)　f 0 x 1 = x 3 + ax 2 -4x + b から　f - 0 x 1 =3x 2 +2ax -4
条件 q が条件 p であるための十分条件となるとき，a の値の範囲を求めよ。
x =2 で極小値 -5 をとるから　f 0 2 1 =-5，f - 0 2 1 =0
よって　4a + b =-5 ，4a +8=0 これを解くと　a =-2 ，b =3
解説
ゆえに　f 0 x 1 = x 3-2x 2 -4x +3　…… ①
条件 p，q が表す領域をそれぞれ P，Q とする。
条件 q が条件 p であるための十分条件となるとき，命題 q
逆に，関数 ① が条件を満たすことを示す。
p が真であるから，
f - 0 x 1 =3x 2 -4x -4= 0 3x +2 10 x -2 1
QWP となる。
また，QWP となるための条件は，2 円x 2 + y 2 =1 ，
8
1
x2
1
+ y2
1
9 8 9
1
1
]8 2 9 +8 2 9 (1-a
2
2
= a 2 の中心間の距離について
2
2
f - 0 x 1 =0 とすると　x =- ，2
3
y
1
2
したがって，関数 ① は x =2 で極小値 -5 を
Q
とり，条件を満たす。
O
2
0< a ( 1- U
2
-
f - 0 x1
+
f 0 x1
9
よって　a =-2 ，b =3
2
よって　a ( 1- U
2
a >0 であるから，求める a の値の範囲は
…
関数 ① の増減表は右のようになる。
P
2
x
1
2
(2)　増減表より，f 0x 1 は x =-
1 x
3
4
1
であるとき，cos a cos b ，sin 2 a + sin 2 b の値を求め
4
…
2
…
0
-
0
+
121
27
:
-5
9
2
121
で極大値
をとる。
3
27
(3)　f 0 x 1 =0 から　x 3-2x 2 -4x +3=0
よって　0 x -3 10 x 2 + x -11 =0 ゆえに　x =3 ，
３ cos 0 a + b 1 = ，cos 0 a - b 1 =
2
3
-1 $U 5
2
７ 3 次方程式 2x 3 -2ax 2 +27=0 が異なる 2 つの正の解をもつ a の値の範囲を求めよ。
よ。
解説
8
解説
f 0 x 1 =2x 3 -2ax 2 +27 とすると　f - 0 x 1 =6x 2 -4ax =6x x -
3
1
cos 0 a + b 1 = ，cos 0 a - b 1 = から
4
4
2
a
3
9
2
4 1 5　3 a =0 すなわち　a =0 のとき
cos a cos b -sin a sin b =
3
…… ①
4
f - 0 x 1 =6x 2 ) 0 より，f 0 x 1 は単調増加であるから，正の解は多くても 1 つである。
cos a cos b +sin a sin b =
1
…… ②
4
2
4 2 5　3 a <0 すなわち　a <0 のとき
1
0 ① + ②1 & 2 から　cos a cos b = 2 …… ③
x >0 において，常に f - 0 x 1 >0 であるから，f 0 x 1 は単調増加する。ゆえに，正の解
は多くても 1 つである。
1
0 ② - ①1 & 2 から　sin a sin b =- 4
2
4 3 5　3 a >0 すなわち　a >0 のとき
したがって　cos 2 a cos 2 b = 0 1 - sin 2 a 1 0 1 - sin 2 b 1
x >0 における f 0 x 1 の増減表は次のようになる。
=1- 0 sin 2 a + sin2 b 1 + sin 2 a sin 2 b
1
=1- 0 sin 2 a + sin 2 b 1 + 4
8 9
=
③ より cos 2 a cos2 b =
17
- sin2 a + sin 2 b 1
16 0
1
17
1
であるから　- sin 2 a + sin 2 b 1 =
4
16 0
4
よって　sin 2 a + sin 2 b =
…
2
a
3
…
f - 0 x1
-
0
+
f 0 x1
:
極小
9
x
2
2
f 0 0 1 =27 であるから，f 0 x 1 =0 が 2 つの正の解をもつ条件は　f
a <0
3
8 9
13
16
2
2 3
2 2
8
f
a =2 ･ a -2a ･ a +27 =- a 3 +27<0
3
3
3
27
8 9
４ 実数 x が 4 x + 4 -x =7 を満たすとき，8 x + 8 -x の値を求めよ。
解説
x
-x 2
x 2
x
-x
-x 2
x
-x
0 2 + 2 1 = 02 1 + 2 ･ 2 ･ 2 + 02 1 = 4 + 4 + 2= 7 + 2 = 9
0
8 9
8 9
36
9
よって　a 3 > 3 したがって　a >
2
2
1
2
８ 2 つの放物線 C：y = x 2 ，D：y =-0 x - a 1 2 を考える。a は正の実数である。
1
(1)　C 上の点 P t， t 2 における C の接線 を求めよ。
2
8
2 x + 2 -x > 0 であるから　2 x + 2 -x = 3
したがって　8 x + 8 -x = 02x1 3 + 02 -x1 3 = 0 2 x + 2 -x1 60 2 x1 2 - 2 x ･ 2 -x + 02 -x1 27
9
(2)　(1) において，がさらに D とも接するとき，を C と D の共通接線という。
= 0 2 x + 2 -x1 0 4 x - 1 + 4 -x1 = 30 7 - 1 1 = 18
2 本の (C と D の)共通接線 ，
1
2 を求めよ。
５ 方程式 log 2 x 2 - log x 4 +3=0 を解け。
(3)　(2) のとき，共通接線 ，
1
2 と C で囲まれた図形の面積を求めよ。
解説
解説
真数と底の条件から　x >0 ，x ' 1
1
(1)　y = x 2 から　y - = x
2
2
log 2 x 2 - log x 4 +3=0 から　2log 2 x +3=0
log 2 x
-1-
数学ⅡB基礎　No3
(　)組(　)番　名前(　)　1
よって，点 P t， t 2 における C の接線 の方程式は
2
8
9
y -
a k = ar k-1 ，　0 -1 1 k-1a k = 0 -1 1 k-1ar k-1 = a0 -r 1 k-1 ，
0a k1 2 = 0 ar k-11 2 = a 20r 21 k-1
1 2
1
t =t0 x - t 1　すなわち　y = tx - t 2　…… ①
2
2
(2)　① と y =-0 x- a 1 2 から y を消去すると　tx 整理して　x 2 + 0 t -2a 1x +a 2 -
a 1 - r n1
[1]　r '1 のとき　S n = 0
1-r
1 2
t =-0 x - a 1 2
2
Tn は初項 a，公比 -r ，項数 n の等比数列の和であるから，n が奇数のとき
a 1 - 0 -r 1 n7
a 1 + r n1
T n = 6
= 0
1 - 0 -r 1
1+r
1 2
t =0
2
が放物線 D とも接するとき，この x についての 2 次方程式の判別式は 0 であるから
U n は初項 a 2，公比 r 2 ，項数 n の等比数列の和であるから
1
0 t - 2a 1 2 -4 a 2 - t 2 =0
2
U n =
8
9
整理すると　t0 3t -4a 1 =0
4
よって　t =0， a
3
[2]　r =1 のとき　S n = an，U n =a 2n
n は奇数であるから　T n = a - a + …… + a = a
よって　U n = S n ･ T n
4
4
8
，
a を ① に代入して　y =0，y = ax- a 2
1
2 の方程式は，t =0，
3
3
9
(3)　接線 y =
a 26 1 - 0 r 21 n7
a 2 1 - 0 r n 1 27
a 1 + r n1 a01 - r n1
= 6
= 0
=S n ･ Tn
･
1+r
1- r
1-r 2
1-r 2
4
8
ax- a 2 と x 軸との交点の x 座標は，
3
9
4
8
2
ax - a 2 =0 を解いて　x = a
3
9
3
以上から，n が奇数のとき　U n = S n ･ T n
11 (1)　n を正の整数とする。不等式 2 n ) n 2 + n はどのような n に対して成立し，どのよ
y
うな n に対しては成立しないかを推測せよ。
(2)　(1) で推測したことを数学的帰納法によって証明せよ。
C
，
1
2 と C で囲まれた図形は右の図の斜線部分であ
るから，求める面積を S とすると
S =
=
=
4
a
3
Q
0
解説
1 2
1 4
2
1 4
x dx a- a ･
a
2
2 3
3
2 3
8
1 3
x
6
< =
4
a
3
0
9 8 9
O
2
x
2
4
a
a
3
3
(1)　正の整数 n の最初のいくつかについて，2n と n 2 + n の値を調べると，次の表のよ
うになる。
1 2
8
･ a･ a 2
2 3
9
n
1
2
3
4
5
6
7
8
n
2
4
8
16
32
64
128
256
2
6
12
20
30
42
56
72
2
n 2+n
32 3
8 3
8
a a = a3
81
27
81
よって，不等式 2 n ) n 2 + n は n =1 および n ) 5 に対して成立し，n =2 ，3，4 に対
９ 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において，辺 AB を 2：1 に内分する点を P，辺 OC を
しては成立しないと推測される。
5：1 に内分する点を Q とする。a =OA ，b =OB ，c =OC とおくとき，次の問いに答
(2)　2 n ) n 2 + n　…… ① とする。
えよ。
2 1 ) 1 2 +1 であるから，n =1 のとき ① は成り立つ。
0 1 1　OP を a と b で表し，線分 OP の長さを求めよ。
0 2 1　4POQ= h とするとき，cos h の値を求めよ。
2 2 < 2 2 +2 ，2 3 < 3 2 +3 ，2 4 < 4 2 +4 であるから，n =2 ，3，4 のとき ① は成り立たな
い。
0 3 1　線分 PQ の長さを求めよ。
n ) 5 に対して ① が成り立つことを数学的帰納法で証明する。
[1]　n =5 のとき
解説
0 1 1　AP ：PB＝2：1 から　OP=
a = b =1 ，a ･ b = a
2
よって　OP 2 = OP =
左辺 = 2 5 =32，　右辺 = 5 2 +5=30
1
2
a+ b
3
3
b cos 60, =1 ･ 1 ･
よって，① は n =5 のとき成り立つ。
[2]　n = k 0 k) 5 1 のとき ① が成り立つ，すなわち
1
1
=
2
2
1
4
4
2
a + a･b+
b
9
9
9
2
=
2 k ) k2 + k　…… ②
と仮定する。n = k +1 のとき，① の両辺の差を考えると，② により
1
2
4
7
+ + =
9
9
9
9
左辺 - 右辺 = 2 k+1 - 6 0 k+ 1 1 2 + 0 k+1 17
7
OP>0 であるから　OP= U
=2･2 k - 0 k+ 1 1 2 - 0 k +1 1
3
0 2 1　OQ：QC＝5：1 から　OQ=
) 20 k 2 + k1 - 0 k+ 1 1 2 - 0 k+1 1
5
c
6
=2k0 k+1 1 - 0 k+1 10 k +2 1
= 0 k+1 10 k -2 1
1
0 1 1 と同様にして， c =1 ，a ･ c = b ･ c = であるから
2
k) 5 であるから　0 k +1 10 k-2 1 >0
1
2
5
5
5
5
5
5
OP ･ OQ= a + b ･ c =
a･c+ b･c =
+
=
3
3
6
18
9
36
18
12
8
9
よって，n = k +1 のときにも ① は成り立つ。
[1]，[2] より，不等式 ① は 5 以上のすべての自然数 n について成り立つ。
5
5
OQ =
c =
6
6
5
12
3 7
よって　cos h =
=
= U
14
7
5
U
OP OQ
･
3
6
OP ･ OQ
2
2
2
2
0 3 1　PQ = PQ = OQ - OP = OQ -2OQ ･ OP+ OP
=
5
6
8 9
2
-2 ･
5
7
+ U
12
3
2
8 9 = 36
2
23
23
PQ>0 であるから　PQ= U
6
10 数列 6a n7 は等比数列で，その公比は 0 以上の実数であるとする。自然数 n に対して，
n
n
n
k=1
k=1
k=1
S n = P a k ，T n = P 0 -1 1 k-1a k ，U n = P a k 2 とするとき，n が奇数ならば，
S n ･ T n = U n が成り立つことを示せ。
解説
等比数列 6a n7 の初項を a，公比を r (r )0 ) とすると
-2-