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平成 26 年度経済統計分析入門
.
第 8 回 「確率変数と確率分布」
原 尚幸
.
新潟大・経済
http://www.econ.niigata-u.ac.jp/˜hara/G-stat/
[email protected]
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
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確率変数 : 例
コイン投げ
X : 出た目
表が出る事象 : {X = 1}
裏が出る事象 : {X = 0}
X の取りうる値の全体は Ω = {0, 1}
1
P (X = 1) = P (X = 0) =
2
X のように, 確率的に変動する変数を
確率変数という
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
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確率変数
確率変数
確率的に変動する X があって,
1
2
.
X のとりうる値の全体 Ω がわかっている
Ω の各標本点に確率が与えられている
をみたすとき, X を確率変数という.
.実際に観測された値を確率変数 X の実現値と
.いう
.
.
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
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確率変数と実現値
コイン投げ
X : 出た目 (確率変数)
投げたら表が出た : X = 1
「確率変数 X の実現値は 1 である」という
{X = 1} : 「確率変数 X の実現値が 1 」
という事象
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確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
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離散確率変数
離散確率変数
X の標本空間が離散的である (とびとびの値をとる) と
き, すなわち,
Ω = {x1 , x2 , . . . , xK }
.
となるとき, X を離散確率変数という.
Ω はとびとびの無限集合のこともある
Ω = {x1 , x2 , . . .}
非負の整数 Ω = {0, 1, . . .}
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
.
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離散確率分布
離散確率変数 X ：確率的に変動する変数
Ω = {x1 , x2 , . . . , xK }
Xは
P (X = x1 ), . . . , P (X = xK )
という確率法則にしたがって実現値が定まる
この確率法則のことを離散確率分布という
pk = P (X = xk ), k = 1, . . . , K を確率関数という
離散確率分布をひとつ定める
⇔ 確率関数をひとつ定める
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確率変数と確率分布
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離散確率分布：例
サイコロ投げ
X : 出た目
Ω = {1, 2, . . . , 6}
確率関数
1
1
P (X = 1) = , . . . , P (X = 6) =
6
6
この確率法則がサイコロ投げの確率分布である
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確率変数と確率分布
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確率関数の性質
定理
X を離散確率変数として, Ω = {x1 , . . . , xK } とする
1
P (X = xk ) ≥ 0, k = 1, 2 . . . , K
K
∑
2
P (X = xk ) = 1
.
k=1
1
2
確率の非負性より明らか
事象 {X = x1 }, . . . , {X = xK } は互いに排反
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確率変数と確率分布
.
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演習 1
演習 1
コイント スをして
表が出たら 1 点
裏が出たら 0 点
というゲームをする.
X をコインを 4 回投げたときの合計得点をあらわす
.
確率変数としたとき, X の確率関数を求めよ.
標本空間 Ω = {0, 1, 2, 3, 4}
確率関数は p(a) = P (X = a), a = 0, 1, 2, 3, 4
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確率変数と確率分布
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解答例
p(0) = P (X
p(1) = P (X
p(2) = P (X
p(3) = P (X
p(4) = P (X
= 0) = 1/16
= 1) = 1/4
= 2) = 3/8
= 3) = 1/4
= 4) = 1/16
0.3
0.2
0.1
0
0
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1
2
3
確率変数と確率分布
4
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連続確率変数
X の標本空間 Ω が連続的な値からなるとき,
Ω は 連続的であるという
実数全域
非負の値全域
0 以上, 1 以下の値すべて
Ω が連続的な確率変数 X を連続確率変数 という
経済成長率, 失業率, GDP, 為替レート etc
経済データは主として連続的な値をとる
この講義で登場する確率変数は主として
連続確率変数
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確率変数と確率分布
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確率分布
連続確率変数も確率法則にしたがって値が
定まる
その確率法則のことを連続確率分布という
連続確率変数の分布は 確率密度関数によって
定められる
確率密度関数は離散確率変数の確率関数に
対応する概念
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確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
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確率密度関数
fX (x)
0
x
X の確率密度関数を fX (x) と書く
fX (x) ≥ 0
直感的には関数の大きさが確率の大きさを表す
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確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
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確率密度関数の性質
fX (x)
0
x
x 軸全域と fX (x) で挟まれた部分の面積が 1
a < x ≤ b と fX (x) で挟まれた部分の面積が
a < X ≤ b となる確率 P (a < X ≤ b)
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確率変数と確率分布
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確率密度関数の性質
fX (x)
P (a < X ≤ b)
0
a
b
x
x 軸全域と fX (x) で挟まれた部分の面積が 1
a < x ≤ b と fX (x) で挟まれた部分の面積が
a < X ≤ b となる確率 P (a < X ≤ b)
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確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
14 / 24
確率密度関数の性質
fX (x)
P (a < X ≤ b)
0
a
b
x
x 軸全域と fX (x) で挟まれた部分の面積が 1
a < x ≤ b と fX (x) で挟まれた部分の面積が
a < X ≤ b となる確率 P (a < X ≤ b)
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確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
14 / 24
確率密度関数の性質
fX (x)
P (a < X ≤ b)
0
a
b
x
x 軸全域と fX (x) で挟まれた部分の面積が 1
a < x ≤ b と fX (x) で挟まれた部分の面積が
a < X ≤ b となる確率 P (a < X ≤ b)
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確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
14 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
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1
2
確率変数と確率分布
3
4
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15 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
確率変数と確率分布
3
4
Nov 19, 2014
15 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
確率変数と確率分布
3
4
Nov 19, 2014
15 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
確率変数と確率分布
3
4
Nov 19, 2014
15 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
確率変数と確率分布
3
4
Nov 19, 2014
15 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
確率変数と確率分布
3
4
Nov 19, 2014
15 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
確率変数と確率分布
3
4
Nov 19, 2014
15 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
確率変数と確率分布
3
4
Nov 19, 2014
15 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
fX (x)
0.3
0.2
0.1
0
0
0
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1
2
3
4
確率変数と確率分布
x
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確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
3
4
確率変数と確率分布
0
1
2
3
4
Nov 19, 2014
16 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
3
4
確率変数と確率分布
0
1
2
3
4
Nov 19, 2014
16 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
3
4
確率変数と確率分布
0
1
2
3
4
Nov 19, 2014
16 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
3
4
確率変数と確率分布
0
1
2
3
4
Nov 19, 2014
16 / 24
確率関数と確率密度関数の関係
0.3
0.2
0.1
0
0
0
H. Hara (Niigata U.)
1
2
3
4
確率変数と確率分布
0
1
2
3
4
Nov 19, 2014
16 / 24
確率密度関数
確率密度関数
確率変数 X に対し 関数 fX (x) ≥ 0 が
1
x 軸全域と fX (x) で挟まれた部分の面積が 1
2
a < x ≤ b と fX (x) で挟まれた部分の面積が
a < X ≤ b となる確率 P (a < X ≤ b) .
をみたすとき fX (x) を X の確率密度関数と言う
fX (x)
密度関数をひとつ定めれば連続確率
分布がひとつ定まる
.
0
x
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確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
17 / 24
確率密度関数
確率密度関数
確率変数 X に対し 関数 fX (x) ≥ 0 が
1
x 軸全域と fX (x) で挟まれた部分の面積が 1
2
a < x ≤ b と fX (x) で挟まれた部分の面積が
a < X ≤ b となる確率 P (a < X ≤ b) .
をみたすとき fX (x) を X の確率密度関数と言う
fX (x)
密度関数をひとつ定めれば連続確率
分布がひとつ定まる
.
0
x
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
17 / 24
確率密度関数
確率密度関数
確率変数 X に対し 関数 fX (x) ≥ 0 が
1
x 軸全域と fX (x) で挟まれた部分の面積が 1
2
a < x ≤ b と fX (x) で挟まれた部分の面積が
a < X ≤ b となる確率 P (a < X ≤ b) .
をみたすとき fX (x) を X の確率密度関数と言う
fX (x)
P (a < X ≤ b)
密度関数をひとつ定めれば連続確率
分布がひとつ定まる
.
0
a
b
x
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
17 / 24
確率密度関数
確率密度関数
確率変数 X に対し 関数 fX (x) ≥ 0 が
1
x 軸全域と fX (x) で挟まれた部分の面積が 1
2
a < x ≤ b と fX (x) で挟まれた部分の面積が
a < X ≤ b となる確率 P (a < X ≤ b) .
をみたすとき fX (x) を X の確率密度関数と言う
fX (x)
密度関数をひとつ定めれば連続確率
分布がひとつ定まる
P (a < X ≤ b)
.
0
a
b
x
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
17 / 24
例 : 一様分布
0.6
0.4
0.2
0.0
F(x)
0.8
1.0
1.2
左の密度関数を持つ分布を
考える
{
1 0≤x≤1
fX (x) =
0 それ以外
−1.0
−0.5
0.0
0.5
x
H. Hara (Niigata U.)
1.0
1.5
2.0
P (X ≤ 0) = 0
P (X > 1) = 0
P (0 ≤ X ≤ 0.5) = 0.5
P (0.5 ≤ X ≤ 1) = 0.5
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
18 / 24
例 : 一様分布
0.6
0.4
0.2
0.0
F(x)
0.8
1.0
1.2
左の密度関数を持つ分布を
考える
{
1 0≤x≤1
fX (x) =
0 それ以外
−1.0
−0.5
0.0
0.5
x
H. Hara (Niigata U.)
1.0
1.5
2.0
P (X ≤ 0) = 0
P (X > 1) = 0
P (0 ≤ X ≤ 0.5) = 0.5
P (0.5 ≤ X ≤ 1) = 0.5
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
18 / 24
例 : 一様分布
0.6
0.4
0.2
0.0
F(x)
0.8
1.0
1.2
左の密度関数を持つ分布を
考える
{
1 0≤x≤1
fX (x) =
0 それ以外
−1.0
−0.5
0.0
0.5
x
H. Hara (Niigata U.)
1.0
1.5
2.0
P (X ≤ 0) = 0
P (X > 1) = 0
P (0 ≤ X ≤ 0.5) = 0.5
P (0.5 ≤ X ≤ 1) = 0.5
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
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上側 α 点
上側 α 点
確率変数 X に対し , P (X > xα ) = α となる点 xα を
.
X の 上側 α 点 (上側 100 · α %点) と言う.
xα
H. Hara (Niigata U.)
ピンクの面積が α となる点
.
α が小さいとしよう
X の実現値 x に対し x > xα
⇒ α 以下の確率でしか起こら
ないほど x の値が大きい事
象である
⇒ 意外なほど x が大きい
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
19 / 24
上側 α 点
上側 α 点
確率変数 X に対し , P (X > xα ) = α となる点 xα を
.
X の 上側 α 点 (上側 100 · α %点) と言う.
xα
x
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ピンクの面積が α となる点
.
α が小さいとしよう
X の実現値 x に対し x > xα
⇒ α 以下の確率でしか起こら
ないほど x の値が大きい事
象である
⇒ 意外なほど x が大きい
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
19 / 24
確率変数の独立性
例 サイコロを 3 個同時に振る
3 個の出た目を X1 , X2 , X3 とする
X1 の確率は X2 , X3 によらない
同様に X2 , X3 の確率も他の二つによらない
X1 , X2 , X3 の分布は互いに無関係
このとき X1 , X2 , X3 は互いに独立という
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
20 / 24
確率変数の独立性
確率変数の独立性
n 個の確率変数 X1 , . . . , Xn それぞれの確率分布が自分
以外の確率変数に依存しないとき, X1 , . . . , Xn は互い
に独立であると言う
.
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
. Nov 19, 2014
21 / 24
独立同一分布
独立同一分布
X1 , . . . , Xn が互いに独立で同じ分布にしたがうとき,
X1 , . . . , Xn は 独立同一分布に従う, または i.i.d. である
と言う
.
i.i.d. : independently and identically distributed
独立でかつ同じ確率法則に従うこと
例 サイコロ 3 個の出た目 X1 , X2 , X3 は i.i.d.
.
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
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演習 2
演習 2
密度関数


x + 1 −1 ≤ x ≤ 0
−x + 1 0 ≤ x ≤ 1
fX (x) =

0
それ以外
によって定まる確率分布にしたがう確率変数 X に対
し P (X > 0), P (X ≤ 0), P (−0.5 ≤ X ≤ 0),
.
P (X > 0.5) を求めよ.
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
23 / 24
0.8
1.0
解答例
0.0
0.2
0.4
F(x)
0.6
P (X ≤ 0) = 0.5
P (X > 0) = 0.5
P (−0.5 ≤ X ≤ 0) = 0.375
P (X > 0.5) = 0.125
−2
−1
0
1
2
x
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
24 / 24
0.8
1.0
解答例
0.0
0.2
0.4
F(x)
0.6
P (X ≤ 0) = 0.5
P (X > 0) = 0.5
P (−0.5 ≤ X ≤ 0) = 0.375
P (X > 0.5) = 0.125
−2
−1
0
1
2
x
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
24 / 24
0.8
1.0
解答例
0.0
0.2
0.4
F(x)
0.6
P (X ≤ 0) = 0.5
P (X > 0) = 0.5
P (−0.5 ≤ X ≤ 0) = 0.375
P (X > 0.5) = 0.125
−2
−1
0
1
2
x
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
Nov 19, 2014
24 / 24
0.8
1.0
解答例
0.0
0.2
0.4
f_X(x)
0.6
P (X ≤ 0) = 0.5
P (X > 0) = 0.5
P (−0.5 ≤ X ≤ 0) = 0.375
P (X > 0.5) = 0.125
−2
−1
0
1
2
x
H. Hara (Niigata U.)
確率変数と確率分布
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