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赤阪 正 純 (httpン ク
連立漸化式 の解 き方
θ雀鶴i服
連 立漸化 式 の解 き方
連立漸 化 式 とは,そ の 名 の とお り
(1)
とい う形
{:￨￨￨三 :監11争
が あっ て ,α 2.1や みη+1が 睦 π と うη」か ら定 まる こ とを意味 してい まり
i][][t■ ぅ[11ゞ 1増 しi千 1霞
はあ くまで も 「連 立」漸 化式 で す かヽ
ら,解 法 も普通 の連 立方程 式 の場 合 と同様 に 2通 りの解 法 が あ ります
Point
解法 ①
2つ の漸化式をうまく組み合わせて置 き換えを して処理 する (加 減法的解法)
どの よ うに組 み合 わせ るのか は状況 に よる (た いてい 誘 導 があ る)
一
一 方 の 漸化 式 を (少 し変形 して )他 方 の 漸化式 に代 入 し,数 列 {α η}ま た は数 列
解法 ②
}だ けの
{み π
漸化式を作 る (代 入法的解法).
たいてい 3項 間漸化式 に帰着す る
一
θ 詢
連立漸化式は,係 数 の状況 によって解 き方に違いがあ ります
詳 しく調 べ ることにしよう
ナナメの係数 が等 しい場合
{;￨￨II::11:%
一
ナナメの係数 が等 しい タイ プ
｀
マ ブ Z=∼ 1
① ―② より
,
場
解法 ①
場
ｂ
αl=1,
αη十仇 =4・ ソ 1 ¨③
物 ％
1
θ
計 規
け 一
一 〓
例 題
呻
慨
勁
出
ナナメの係数が等 しいタイプの漸化式 は, ノー ヒン トで出題 され ることがまれにあ ります
αη
+1 ク η
+1=%― ♭η
απ―場 =ご ″とおくと,α η
+1=α η
よって,数 列 {α π}は 定数列なので
減法的解法 )
(カ ロ
,
ごη=α l=α l―
α″― bη
①
① 十② より
わりL
・
鰤摯ιずね
bl= 2
″ぉ
考え方 2つ の漸化式の和 (① +② ),差 (① ―② )
を考える (辺 々を足したり引いたりする)
=-2¨ ・④
た ´
したがって
,
,
απ
+1+う η
+1=3の +3♭ π=3(α
"十
場)
αη+賜 =ο 2と おくと,Oη +1=30″
よって ,数 列
列 なので
Oπ
(%}は ,初 項 οl,公 比 3の 等 比数
③
2α
+④
より
,=4・
,
3η
1-2
③ ―④ より
,
2場 =4・ ン
1+2
α
場=2・
b2=2・
3η
3η
1-1
l+1
,
=ε 13η l=(α l十 う1)321=4・ 3211
■
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赤阪 正 純 (httpン フ
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⑥ よ り,α 2■ 1-3α π=α 2と お くと,グ η
+1=ご η
(代 入法的解法)
解法 ②
連立漸化式の解き方 (2)
よって,数 列 {グ π
}は 定数列なので
,
考え方 ① ょり,磁
=α η+1-2α ηなので,こ
れを ② に代入して,数 列 {%}だ けの漸化式を
α2=∂ 1=α 2 3α l=5-3=2
′
αη
+1 3α η=2… ⑥
作る
0
′
′
⑤
⑥ より
,
① より,磁 =α η
+1-2α η
よって ,陽 .1=α η
+2 2α η+1
- 4・ 32 1
αη
+1-― α
η ―
αη
+1-3α η - 2
これ らを ② に代 入す る と
,
αη
+2
3濠 間
2α π+1=α
"+2(α
20場
π
+1-2`L)
=0
η
+2 4α η
■+3α π
ガ しギ ∴α
2_4′ +3=0よ り
考プ
場
“(特 方程式′
:r島
″メ
Jl■
αη=2・
==
4・
1-2
3π
あが
得 な① の
F 1-1
32-1な ので
よって,%+l=2・
圧倒 りК
れ
簿キιす
,
,
3)=0よ ってι=1,
TYPe① (`1)(′
3)
bπ
漸 化式 よ り
,
{%罵
三
1霊 )18
11蹴
靴
⑤ よ り,α η+1-α π=Oη とお くと,cπ +1=3ε η
よって ,数 列
列 なので
l=(α
2 α l)321=(5-1)・ 3η
∴ α
η
+1 α π=4・
ば
2
3η
=6・
3η
3π
=2・
3η
1-1-4・
1+1
″
l-1)
1+2
うん
下「勇
ζ襲い
12:17:讐 ご
か
ζ
』
ξ
:f嚢 ∬
ず
][り
,
=ι 13η
動
}は ,初 項 ιl,公 比 3の 等比数
{ο η
=αη.1-2α η
=2・ 3η -1-2(2・
3211・
l=4・ 3η 1 診 注 特性 方程 式 が
`=1を
解 にもつ の で ,⑥
か らい きな り αηを求めて もか まい ませ ん
¨⑤′
′
￨ノ
当然 ⑤
は不 要 に な ります
― の話ですハ 組み合わせ方め からない場創よ 解法② で解に 出こなりま九
ク
躍
ナナ メの係数 が等 しい とは限 らな い場合
{:￨￨II′ ;￨:I詣
一
ナナメの係数が等 しい とは限 らない一般 タイプ
今度 は,ナ ナメの係数が等 しい とは限 らない一般型 タイプの漸化式です
先 ほどの解法 を振 り返 ると, 解法 ①
の方が簡単 で した
つ ま り式を上手 く組み合わせ て解 くわけです
が,ナ ナメの係数が等 しい場合は,式 をそのまま足 した り引いた りすれば,何 とな く上手 くい きそ うな感 じ
がすると思い ますが,ナ ナメの係数が等 しくない場合 だ と,ど うも上手 くい きませ ん
み合わせ るので しようか
次の 例 題
2や
それには,必 ず誘導 があ ります
.
3は ,咄 合せ の方法 を教 えてあ げるか ら
て
い
し
る
が
わ
か
ね
導
り
ま
す
囮
ク
フみ7ム
では,そ のよ うに組
国
で解 きなさ向
と誘
灘
∼