1. No category

ガウスの消去法は
前進消去
係数行列を
⎛ a11 a12 a13
⎜
⎜ a21 a22 a23
⎜a
⎝ 31 a31 a33
上三角行列にする方法
後退代入
b1 ⎞ ⎛ a*11 a*12 a*13 b*1 ⎞
⎟
⎟ ⎜
b2 ⎟ ⇒ ⎜ 0
a*22 a*23 b*2 ⎟
b3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
0 a*33 b*3 ⎟⎠
ガウスジョルダン法は
係数行列を 単位行列にする方法
*
⎛ a11 a12 a13 b1 ⎞ ⎛ 1 0 0 b 1 ⎞
連立方程式
⎜
⎜
⎟
* ⎟の 解 が 直 接
⎜ a21 a22 a23 b2 ⎟ ⇒ ⎜ 0 1 0 b 2 ⎟求まる
* ⎟
⎜a
⎟ ⎜
⎝ 31 a31 a33 b3 ⎠ ⎝ 0 0 1 b 3 ⎠
ピボット要素
（軸要素）
a11で割る
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
⎜ #
#
⎜
⎝ an1 an 2
⎛ 1 a12
⎜
(1)
⎜ 0 a22
⎜#
#
⎜⎜
(1)
⎝ 0 an 2
(1)
次のピボット
要素
" a1n
" a2 n
% #
" ann
" a1n
" a2 n (1)
(1)
%
#
" ann (1)
b1 ⎞
⎟
b2 ⎟
#⎟
⎟
bn ⎠
⎞
⎟
b ⎟
# ⎟
⎟
bn (1) ⎟⎠
(1)
1
(1)
2
連立方程式
Ax = b
の解は，
A-1 A x = A-1b
Ix = A-1b
x = A-1b
のようにして求めることができる．
ガウスジョルダン法は，この操作を機械的に
行うものである．
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
次のピボット
⎜
要素
⎜0
⎜#
⎜
⎜0
⎝
0 a13(2)
a14 (2)
1 a23
0 a33(2)
a24
" a2 n
(2)
a34
" a3n (2)
0 a43(2)
#
#
a44 (2) " a4 n (2)
#
%
#
0 an 3(2)
an 4 (2) " ann (2)
(2)
b1(2) ⎞
⎟
b2(2) ⎟
b3(2) ⎟
⎟
b4(2) ⎟
# ⎟
⎟
bn (2) ⎟⎠
" a1n (2)
(2)
(2)
b
⎛1
⎜
⎜0
⎜#
⎜⎜
⎝0
0 " 0 b1( n ) ⎞
⎟
1 " 0 b2 ( n ) ⎟
＝
x
# % #
# ⎟
⎟
0 " 1 bn ( n ) ⎟⎠
連立方程式
Ax = b
AをIにする操作は
AにA-1を施すこと
A-1 A x = A-1b
AをIにする操作は
Ix = A-1b
b に A-1 を 施 す こ と
はxを求めること
AにA-1を施すこと
IをA-1にすること
x = A-1b
1
例題４
予習資料 併せて連立方程式（不定）の復習をしてください
3.4.7 固有値・固有ベクトル
n次正方行列Aとある数λ に対して，n次列ベク
トルx についての方程式，Ax = λx，すなわち
（A － λI）x = 0
（27）
を満たすようなベクトルxと数λ が存在するとき
λを行列Aの固有値，x を固有値λ に属する固有ベ
クトルと呼ぶ．
式（27）が自明解以外の解を持つための必要十分
条件は
|A － λI| = 0
（28）
である．式（28）は，n次多項式であり，これを
固有多項式（または特性方程式）と呼ぶ．
⎛ 1 1/ 2 ⎞
⎟ の固有値と固有ベクトルを求めよ．
⎝ 1/ 2 1 ⎠
1 − λ 1/ 2
=0
特性方程式は，
1/ 2 1 − λ
例題4
A＝ ⎜
すなわち，(1－λ)2－(1/2)2＝0
(1－λ＋1/2)(1－λ－1/2)＝0
ゆえに，固有値はλ1 = 3/2, λ2 = 1/2であり，式（27）に代入してでき
る次の連立方程式（不定）
⎧ x1 x2
⎪⎪− 2 + 2 = 0
⎨
⎪ x1 − x2 = 0
⎪⎩ 2 2
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
x1 x2
+ =0
2 2
x1 x2
+ =0
2 2
備考：ベクトルに行列をかけると，新しいベクトルを生じる．
例題の行列Aについて示すと
⎛ x′ ⎞ ⎛ 1 1/ 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x + y / 2 ⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎝ y ′ ⎠ ⎝1/ 2 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ x / 2 + y ⎠
となる．多くの点でその写った先の点を矢印で結んだ線を描くと図
のようになる．この図を見るとy＝xとy＝－xの方向に引っ張りと圧縮が
みられることがわかる．
y＝x
y＝－x
を解いて，λ1 に属する固有ベクトルおよびλ2 に属する固有ベクトルは，
それぞれ
⎛1⎞
u1 = c1 ⎜ ⎟ c1 ≠ 0
⎝1⎠
⎛ 1⎞
u2 = c2 ⎜ ⎟ c2 ≠ 0
⎝ −1 ⎠
2