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離散的空間における BPS ブラックホールのモデル
岐阜工業高専 菅 菜穂美
山口大院理工 小林孝一朗
山口大院理工 白石 清 ♪３がーつ３０にちの日曜日
30aSC-1 日本物理学会 2014 年 3 月 30 日
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電荷と質量が特別な関係にあるソリトンは，弦理論におけるブ
ラックホールやブレーンを表す解として調べられている。この
ような解の多くは、調和関数すなわちラプラス方程式を満たす
関数で表される。一方，離散的構造を持つ場の理論は，紫外発
散を避けるモデルなど多様な局面で考えられている。われわれ
は，グラフラプラシアンをブラックホールやブレーンを記述す
る方程式の一部として用いることによって，離散的構造および
対称性をもつ重力ソリトン解を構築する。これらと物質場の相
互作用を考察し，また理論の離散化の意義について探求する。
30aSC-1 日本物理学会 2014 年 3 月 30 日
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目次
§1. Introduction
§2. BPS Black Holes
§3. グラフラプラシアン
§4. BPS BH の離散化
§5. 離散化 BH の微分断面積
§6. Summary and outlook
30aSC-1 日本物理学会 2014 年 3 月 30 日
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§1. Introduction
広義の修正重力理論 or other theories of Gravity を考察する動機
マクロ・・・宇宙 (論) スケールで？(Dark contents?) (origin of Inflation?)
ミクロ・・・量子理論としての困難，階層性 (重力，弱っ！)
高階微分，高次 元，スカラー-テンソル，ベクトル-テンソル，
DBI 型，Horndeski 型，Lifshitz， 以下むにゃむにゃ・・・
massive gravity←場の理論として興味深い・実証？
←→bigravity・・・solution・どんな時空？
←→multigravity ← Deconstruction (離散化∼多元場)
←→余次元 (コンパクト化，ブレーン)
ここでは，空間の離散化について考える。
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強い重力場で何か見えてくる？・・・BH solution が重要
構造的に単純 (つまらないわけではない) なのは
BPS BH or soliton←"string motivated"
harmonic fns.が解を与える
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∂ V=0
↓
方程式の離散化
↓
solution→何が見えるか
(ただし背後の理論＝？)
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§2. BPS Black Holes
ここでは一番簡単なもの (G. W. Gibbons and K.-I. Maeda, NPB298 (1988) 741,等)。
action:
(string theory) α＝１，scale tr.,→
The BPS solution
・
・
・
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場の方程式は
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∂ V＝0
(mod delta fns.) where
に帰着する。
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§3. グラフラプラシアン
1
0
2
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グラフ 頂点が辺で連結された集合 C6
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グラフラプラシアン
Deconstruction S1→CN
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§4. BPS BH の離散化
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∂ V＝0
ここで V をグラフ G(V,E) の頂点上の (離散化された) 関数 V k としラプラシ
アンを
とした類似の方程式に置き換える。 ここで a は微小長さのスケール
G が CN の場合， L＝Na , N→∞ , a→0 で周長 L の
S1 コンパクト化に近似＝Dimensional Deconstruction
・・・d を通常の空間の次元としたとき余次元の離散化
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グラフラプラシアンの固有値と固有モード
， を用いて
G＝CN の場合
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方程式
1
0
2
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ここ (k=0) に source
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d＝3 のとき
μ∝質量∝電荷∝BH の大きさ
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§5. 離散化 BH の微分断面積
どのように見えるのか？
d＝３次元空間のスカラー場の方程式から
ボルン近似による散乱振幅：
q : 移行運動量 ，θ: 散乱角
(最善の近似とは言えないが)
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● massless scalar field in the "bulk"
KK zero mode
field equation:
(ω＝p) とすると 離散化，
: zero mode を選ぶ。
有効ポテンシャル： α＝1 のとき α＝1 のとき"グラフの次元"に依らない
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d＝3，G＝CN の場合
N=6
N=30
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Bulk Scalar
μ/(Na)＝1
μ/(Na)＝10
"余次元"全体の大きさ (Na) が小さければ
離散スケールは見えにくい。
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● massless scalar field in the "brane"
k＝0 頂点上のスカラー場
field equation:
(ω＝p) とすると
ここで
ととり，d=3, α＝1 のとき
有効ポテンシャル： ωの大きい高エネルギーでは 30aSC-1 日本物理学会 2014 年 3 月 30 日
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d＝3，G＝CN，高エネルギーの場合
N=6
N=30
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Brane Scalar
μ/(Na)＝1
μ/(Na)＝10
"余次元"全体の大きさ (Na) が小さくても
N 依存性が大きい。
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§6. Summary and outlook
離散化された ("余次元"が CN) Stringy BPS BH によるスカラー場の散乱
スカラーの種類により，Ｎ依存性が異なる。
Bulk Scalar・・・"KK" zero mode は最低次では１／ｒ型 (BH の展開のゼロモード) と
のみ結合するため，Ｎ依存性は小さい。
Brane Scalar・・・BH の全モードと結合，Ｎ依存性は大きい。 Stringy BPS BH( α＝1 ) によるスカラー場の散乱では，
"グラフの次元"に依存しない
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課題・他のグラフ PN
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∼S1/Z2
, S1+S1+・・・など (S1×S1=T2)
・multi-black hole geometry
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・頂点の weight∼Warped Space
・フラクタル
(C. T. Hill, PRD67 (2003) 085004)
・理論 (action?) は何か
＿人人人人人人人人人人人人＿
＞ "理論は何か"! ＜
Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y 30aSC-1 日本物理学会 2014 年 3 月 30 日
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実空間の離散化，ソリトンなど
(academic, mathematical な興味)
♪あまりにーも おばかさん？
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Thank you!
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