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非可換岩澤主予想の証明に現れる合同式
大下 達也
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記号と設定
本稿では，p を奇素数とし，F を総実代数体，Σ を F のいくつかの有限素点からなる有限集合とする．F∞ /F
を Σ の外で不分岐な，条件 (Hyp. µ = 0) を満たす総実許容 p 進 Lie 拡大とする (森澤さんの講演を参照)．本
稿では，Galois 群 G := Gal(F∞ /F ) が 1 次元かつ副 p であるとする (原さんの講演で，総実代数体の非可換
岩澤主予想の証明がこの場合に「帰着された1 」ことに注意する)．Λ(G) := Zp [[G]] とおき，Λ(G)S を Λ(G)
の標準 Ore 局所化とする．
Zp と同型な G の中心的開部分群 Z をひとつ固定する．北島さんの講演と同様，次の記号を採用する:
S(G, Z) : = {U ⊆ G | U は Z を含む G の開部分群 },
C(G, Z) : = {U ∈ S(G, Z) | U/Z は巡回群 },
各元 U ∈ S(G, Z) に対して，
Pc (U ) : = {W ∈ C(G, Z) | U ⊆ W かつ (W : U ) = p}.
U
U を G の開部分群とする．このとき，FU := F∞
とおき，Σ の元の上にあるような FU の素点全体のなす
集合を ΣFU と書く．N (U ) を G に於ける U の正規化部分群とし，W (U ) := N (U )/U とおく．また，
d(U ) : = [FU : FN (U ) ] = #W (U ),
{
}
i(U ) : = max (V : U ) | V ∈ C(G, Z) かつ U ⊆ U
とおく．
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ノルムの像を特徴づける条件
(M1) U, V ∈ S(G, Z) が U ⊆ V かつ [V, V ] ⊆ U を満たすと仮定する．このとき，Λ(U/[V, V ])×
S に於ける等式
ab
ab
V
prU
U/[V,V ] (ζU ) = NU/[V,V ] (ζV )
が成立する．ここで，
×
ab ×
prU
U/[V,V ] : Λ(U )S −→ Λ(U/[V, V ])S
ab
は射影写像であり，
V
ab ×
NU/[V,V
)S −→ Λ(U/[V, V ])×
] : Λ(V
S
ab
はノルム写像である．
1 正確には，
「G = ∆ × P (∆ は位数が p と互いに素な有限巡回群，P は 1 次元かつ副 p な p 進 Lie 群) の場合に帰着された」と書
くべきであるが，有限巡回群 ∆ は主予想の証明 (p 進ゼータ関数の合同式の証明) の議論に本質的な影響を及ぼさないので，記号や議
論の簡略化のため，本稿では「G = P 」の場合のみを扱うことにする．
1
(
)×
(M2) 任意の U ∈ S(G, Z) 及び任意の g ∈ G に対して，Λ (gU g −1 )ab S に於ける等式
ζgU g−1 = gζU g −1
が成立する．
(M3) U, V ∈ S(G, Z) が U ⊆ V かつ (V : U ) = p を満たすと仮定する．このとき，
V
verVU (ζV ) − ζU ∈ TU,S
が成立する．ここで，
verVU : Λ(V ab )S −→ Λ(U ab )S
V
は移送写像 verVU : V ab −→ U ab を Zp 上線型に拡張したもの (が局所化に誘導する写像) であり，TU,S
は跡写像
V
σU
: Λ(V ab )S −→ Λ(U ab )S
の像である．
(M4) 任意の U ∈ C(G, Z) に対して，
αU (ζU ) −
∏
φW (αW (ζW )) ∈ pTU,S
W ∈Pc (U )
が成立する．ここで，記号は以下の通りである:
N (U )
– TU,S := TU,S
と定める．
– φW : Λ(W ab )S −→ Λ(W ab )S は p 乗写像
W ab −→ W ab ; g 7−→ g p
を Zp 上線型に拡張したもの (が局所化に誘導する写像) である．
ab ×
ab ×
– αU : Λ(U ab )×
S −→ Λ(U )S は各 f ∈ Λ(U )S に対して

f p /φ (f ) (U = Z のとき);
Z
αU (f ) :=
f p /N U′ (f ) (U ̸= Z のとき)
U
を対応させる写像である．ここで，U ′ は C(G, Z) に属する，U の唯 1 つの指数 p の部分群である．
3
基本合同式
(BC1) U, V ∈ S(G, Z) が U ⊆ V かつ (V : U ) = p を満たすと仮定する．このとき，
V
verVU (ζV ) − ζU ∈ TU,S
が成立する (=(M3))．
(BC2) U ∈ C(G, Z) を任意の元とする．このとき，任意の W ∈ Pc (U ) に対して，
φW (ζW ) − ζU ∈ (p · i(W ))
が成立する．
2
(BC3) Zp [µp ] の極大イデアルを p とおく．U ∈ C(G, Z) \ {Z} を任意の元，ψ : U −→ µp を任意の位数 p の
指標として，ψ 捻り写像 (Z[µp ] 代数の準同型)
twψ : Zp [µp ] ⊗Zp B(U ) −→ Zp [µp ] ⊗Zp B(U ); 1 ⊗ g 7−→ ψ(g) ⊗ g
を定める．このとき，
ζU − twψ (ζU ) ∈ pTU,S /i(U )
が成立する．
(BC4) U ∈ C(G, Z) \ {Z} を任意の元とし，
∑
xU := ζU −
φW (ζW )
W ∈Pc (U )
とおく．このとき，任意の位数 p の指標 ψ : U −→ µp に対して，
xU − twψ (xU ) ∈ pTU,S
が成立する．
4
基本合同式を示すための，L 関数の特殊値の間の合同式
以下では，元 u ∈ Z \ {1} を任意に 1 つとり，固定する．
(BC1)’ U, V ∈ S(G, Z) が U ⊆ V かつ (V : U ) = p を満たすと仮定する．j ∈ Z>0 を任意の正整数とし，
j
y ∈ U ab /Z p を V の (共役による) 作用で不変な任意の元とする．このとき，[F (µp ) : F ] の任意の正
の倍数 k ∈ Z>0 に対して，
p
∆uU (δ (y) , 1 − k) ≡ ∆uV (δ (y) ◦ verVU , 1 − pk) mod pZp
が成立する．
j
(BC2)’ U ∈ C(G, Z) 及び W ∈ Pc (U ) を任意にとる．j ∈ Z>0 を任意の元とし，y ∈ U/Z p を任意の元とす
る．このとき，[F (µp ) : F ] の任意の正の倍数 k ∈ Z>0 に対して，
p·i(W )
∆uU
i(W )
(δ (y) , 1 − k) ≡ ∆uW
(δ (y) ◦ φW , 1 − pk)
mod p · i(W )Zp
が成立する．
j
(BC3)’ U ∈ C(G, Z) \ {Z} を任意の元とし，j を任意の非負整数とする．y ∈ U/Z p を，U/Z に於ける像 y¯ が
巡回群 U/Z の生成元となるような任意の元とする．このとき，[F (µp ) : F ] の任意の正の倍数 k ∈ Z>0
に対して，
d(U )
∆uU
(δ (y) , 1 − k) ≡ 0 mod
#W (U )y
· Zp
i(U )
が成立する．ここで，W (U )y は群 W (U ) := N (U )/U に於ける y の固定化部分群である．
j
(BC4)’ U ∈ C(G, Z) \ {Z} を任意の元とし，j を任意の非負整数とする．y ∈ U/Z p を，U/Z に於ける像 y¯ が
巡回群 U/Z の生成元となるような任意の元とする．このとき，[F (µp ) : F ] の任意の正の倍数 k ∈ Z>0
に対して，
d(U )
∆uU
(δ (y) , 1 − k) ≡
∑
d(U )/p
∆uU
W ∈Pc (U )
が成立する．
3
(δ (y) ◦ φW , 1 − pk)
mod #W (U )y Zp
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証明に使う Hilbert 保型形式
FV
(BC1)’ Mpk
(Γ00 (f), Q) の元
RFU /FV (Gk,δ(y) )|pk Up − Gpk,δ(y) ◦verVU
を使う．
F
U′
(BC2)’ Mp·i(V
)·k (Γ00 (f), Q) の元
RFU /FW ′ (Gk,δ(y) )|p·i(W )·k Up − RFW /FW ′ (Gpk,δ(y) ◦φW )
を使う．ここで，W ′ ∈ C(G, Z) は (W ′ : W ) = i(W ) を満たす元である．
F
N (U )
(BC3)’ Md(U
)k (Γ00 (f), Q) の元
RFU /FN (U ) (Gk,δ(y) )
を使う．
F
N (U )
(BC4)’ Md(U
)k (Γ00 (f), Q) の元
RFU /FN (U ) (Gk,δ(y) )|d(U )k Ud(U ) −
∑
W ∈Pc (U )
を使う．
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RFW /FN (U ) (Gpk,δ(y) ◦φW )|d(U )k Ud(U )/p