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超関数の演算
7
超関数に普通の関数を掛けることと，超関数の微分を定義することがこの
章の目標である．
7.1
関数倍
F ∈ D(T) と u ∈ C ∞ (T) に対し「F の u 倍」uF を次のように定義する：
定義 7.1
任意の v ∈ C ∞ (T) に対して
(uF )(v) = F (uv)
(7.1)
注意 右辺の「uv 」は C ∞ -関数の積であってまた C ∞ -関数であり，したがっ
て超関数 F の uv での値 F (uv) が定義できるのである．
定義 7.1 で定義された uF がたしかに超関数であること，すなわち連続な線
形写像であることを確認しておく必要がある．そのためには前章 6.1 節の条
件 1)，2)，3) を uF についてチェックしなければならない．
1) 任意の v1 , v2 ∈ C ∞ (T) に対して
(uF )(v1 + v2 ) = (uF )(v1 ) + (uF )(v2 ) :
左辺を計算していくと
(uF )(v1 + v2 )
=
F (u(v1 + v2 ))
(⇐ 関数倍の定義 (7.1))
= F (uv1 + uv2 )
(⇐ 分配法則)
= F (uv1 ) + F (uv2 )
(⇐ F の線形性)
=
(uF )(v1 ) + (uF )(v2 ) (⇐ 関数倍の定義 (7.1))
というように右辺と等しくなって確かに成り立つ．
2) 任意の v ∈ C ∞ (T) と任意の c ∈ C に対して
(uF )(cv) = c(uF )(v) :
1
左辺を計算していくと
(uF )(cv) =
(⇐ 関数倍の定義 (7.1))
F (u(cv))
= F (cuv)
(⇐ 積の交換法則)
= cF (uv)
(⇐ F の線形性)
= c(uF )(v)
(⇐ 関数倍の定義 (7.1))
というように右辺と等しくなってこれも成り立つ．
3) C ∞ (T) において vk → v (k → ∞) ならば，C において (uF )(vk ) →
(uF )(v) (k → ∞)：
これは次のように示される．まず関数倍の定義によって (uF )(vk ) = F (uvk )
である．ここで vk → v (k → ∞) という仮定から uvk → uv (k → ∞) であ
ることが導かれる（⇐ 章末問題 1 参照）．したがって F の連続性によって
F (uvk ) → F (uv) (k → ∞) であり，すなわち (uF )(vk ) → (uF )(v) (k → ∞)
が成り立つのである．
以上で uF がたしかに超関数になっていることが確認できた．
ここで，前章で導入した普通の関数 f を超関数 Ff とみなす写像 Φ : C ∞ (T) →
D(T) との関連を見ておきたい．くわしくいうと，f ∈ C ∞ (T) に u を掛けて
から超関数とみなすのと，f を超関数と見なしてから u 倍することとがちゃ
んと対応しているか，ということである．すなわち等式
uFf = Fuf
(7.2)
が成り立つかどうか，という問題である．以下これをチェックしていこう．ま
ず (7.2) は超関数同士の等式だから，その意味は
任意の v ∈ C ∞ (T) に対して (uFf )(v) = Fuf (v) が成り立つ
ということである．この左辺を計算していくと
(uFf )(v) =
=
=
=
Ff (uv)
∫ 2π
1
f (x)(u(x)v(x))dx
2π 0
∫ 2π
1
u(x)f (x)v(x)dx
2π 0
Fuf (v)
(⇐ 関数倍の定義 (7.1))
(⇐ Ff の定義 (6.3))
(⇐ 交換法則)
(⇐ Fuf の定義)
というように右辺と等しくなり，等式 (7.2) が確認できた．
さらに，(7.2) は次の図式が可換である，という主張として表現できること
も注意しておきたい：
2
C HTL
D HTL
F
¥
mu
mu
C HTL
D HTL
F
¥
ここで，u 倍するという写像を「mu 」で表した．そこで左上の空間の任意の
元 f ∈ C ∞ (T) からスタートして右に行くと超関数 Φ(f ) = Ff となり，さら
に下に行くとそれが超関数として u 倍されて uFf になる．一方今度は f か
らまず下に行くと f が関数として u 倍されて uf になり，さらに右に行くと
Φ(uf ) = Fuf になる．したがって上の図式が可換であるということと，等式
(7.2) が成り立つことが同値なのである．
例 デルタ関数の関数倍
デルタ関数 δa (a ∈ T) の u 倍（u ∈ C ∞ (T)）を計算してみよう．任意の
v ∈ C ∞ (T) を取って (uδa )(v) を計算していくと
(uδa )(v)
=
δa (uv)
(⇐ 関数倍の定義 (7.1))
= (uv)(a)
(⇐ デルタ関数の定義 (6.8))
= u(a)v(a)
(⇐ 関数の積の定義)
= u(a)(δa (v))
(⇐ デルタ関数の定義 (6.8))
= (u(a)δa )(v)
(⇐ 超関数の定数倍の定義)
となり，超関数として
uδa = u(a)δa
この式は，見方を変えれば，
3
「デルタ関数は関数倍という線形写像に関する固有ベクトルである」
と解釈することもでき，デルタ関数の有用性の根拠の一つになっている．
7.2
微分
超関数 F ∈ D(T) の微分 DF を次のように定義する：
定義 7.2
任意の u ∈ C ∞ (T) に対して
(DF )(u) = −F (Du)
(7.3)
この右辺の「Du」は関数 u の普通の微分である．このように定義された
DF がたしかに超関数であること，すなわち連続な線形写像であることを示
す必要がある．しかし線形であることをもう明らかであろう（⇐ 章末問題 2
参照）．ここでは連続であることを示す．そのためには
C ∞ (T) において uk → u (k → ∞) であるならば
(7.4)
(DF )(uk ) → (DF )(u) (k → ∞)
(7.5)
であることを示さなければならない．そのために次の簡単な補題を使う：
補題 7.3
C ∞ (T) において，uk → u (k → ∞) ならば Duk → Du (k → ∞) も成
り立つ．
補題の証明] この結論「Duk → Du (k → ∞)」の部分は，定義 5.2 によって
すべての p ≥ 0 に対して kDp (Duk ) − Dp (Du)k → 0 (k → ∞)
(7.6)
が成り立つことを主張している．しかしこの左辺は
kDp+1 uk − Dp+1 uk
と等しいから，(7.6) は
すべての p ≥ 1 に対して kDp uk − Dp uk → 0 (k → ∞)
4
(7.7)
が成り立つことと同じである．ところが補題の仮定「uk → u (k → ∞)」は
すべての p ≥ 0 に対して kDp uk − Dp uk → 0 (k → ∞)
(7.8)
が成り立つということであり，(7.7) は (7.8) の主張の一部であるから，補題
が証明される．
さて (7.5) は，定義 7.2 より
−F (Duk ) → −F (Du) (k → ∞)
であること，すなわち
F (Duk ) → F (Du) (k → ∞)
(7.9)
であることを主張している．一方仮定 (7.4) に補題 7.3 を適用すれば
Duk → Du (k → ∞)
(7.10)
が成り立つことになり，超関数 F の連続性より，(7.10) から (7.9) が出るこ
とがわかる．よって (7.5) が成り立つこと，したがって微分 DF の連続性が
証明された．
例 デルタ関数の微分
デルタ関数 δa (a ∈ T) の微分を計算してみよう．任意の u ∈ C ∞ (T) を取っ
て定義に基づいて計算していく：
(Dδa )(u) =
=
=
−δa (Du)
(⇐ 微分の定義 (7.3))
−(Du)(a)
(⇐ デルタ関数の定義)
0
−u (a)
となり，したがって
「デルタ関数 δa の微分は u に −u0 (a) を対応させる」
という写像であることがわかる．
7.3
関数の微分と超関数の微分
ここで，関数倍のときのように，超関数の微分の定義と，普通の関数の微分
の定義との整合性を確認しておきたい．これは次の図式の可換性を意味する：
5
C HTL
DH T L
F
¥
D
D
C HTL
DH T L
F
¥
等式として表すと
任意の f ∈ C ∞ (T) に対して
D(Ff ) = FDf
(7.11)
（左辺は上の図式の左上からスタートして右回りにまわったもの，右辺は左回り
にまわったものである．
）これは次のように証明される．まず左辺の u ∈ C ∞ (T)
での値は
−Ff (Du)
(⇐ 超関数の微分の定義 (7.1))
∫ 2π
1
= −
f (x)(Du)(x)dx
(⇐ Ff の定義)
2π 0
∫ 2π
1
= −
f (x)u0 (x)dx
(A)
2π 0
(D(Ff ))(u) =
一方 (7.11) の右辺の u ∈ C ∞ (T) での値は
(FDf )(u) =
=
1
2π
1
2π
∫
2π
(Df )(x)u(x)dx
(⇐ FDf の定義)
0
∫
2π
f 0 (x)u(x)dx
0
6
(B)
となっている．ここで部分積分の公式
∫
2π
∫
0
f (x)u(x)dx =
0
2π
[f (x)u(x)]0
2π
−
f (x)u0 (x)dx
(7.12)
0
を思い出そう．この右辺で f も u も C ∞ (T) の元であって，周期 2π をもつ
から
2π
[f (x)u(x)]0 = f (2π)u(2π) − f (0)u(0) = 0
である．したがって (7.12) は
∫
2π
f 0 (x)u(x)dx = −
∫
0
2π
f (x)u0 (x)dx
0
となり，これを上の (A)，(B) と見比べると (7.11) が成り立つことがわかる．
これで超関数の微分の定義と，普通の関数の微分の定義との整合性が確認で
きた．
7
第 7 章 練習問題
1. C ∞ (T) の関数の列 {vk } が v ∈ C ∞ (T) に収束するならば，任意の u ∈
C ∞ (T) に対して {uvk } が uv ∈ C ∞ (T) に収束することを示せ．
2. 超関数 F の微分 DF が C ∞ (T) から C への線形写像であることを示せ．
3. 超関数 F と任意の u ∈ C ∞ (T) に対し
D(uF ) − u(DF ) = u0 F
という等式が成り立つことを示せ．
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