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2014 年度「ファイナンス保険数理特論」
レポート問題
出題日 2014 年 6 月 1 日，高岡浩一郎∗
【このファイルは３頁分です．
】
以下の問１∼問６のうち４問以上に答えて，7 月以降，8 月 5 日（火）14:00 までに商学研究室
（第２研究館１階）に提出してください． 締切後に解答をホームページにアップロードします．
[ 問 1 ] ゼロ以上の整数に値をとる確率過程 X = {Xt }t≥0 は，以下の４つの性質をもつと仮定
する．ただし λ は正定数である．
•
X0 = 0
•
X は独立・定常増分過程である
•
確率 1 で，X の経路は非減少かつ右連続
[
]
P Xt+δ − Xt = 1
∀t ≥ 0, lim
= λ かつ
δ↓0
δ
•
[
]
P Xt+δ − Xt ≥ 2
lim
= 0
δ↓0
δ
このとき，以下の誘導に沿って，X が強度 λ の Poisson 過程であることを示しなさい．
(i)
[
]
pk (t) := P Xt = k と定義するとき，ゼロ以上の各整数 k および各 t ≥ 0 と δ > 0 に対
して，
pk ( t + δ ) =
k
∑
pj (t) pk−j (δ)
j=0
を示しなさい．
(ii)
上式を変形し δ ↓ 0 の極限を考えることにより，k = 0 のときは各 t に対して
d
p0 (t) = −λ p0 (t)
dt
が成り立ち，また k ≥ 1 のときは各 t に対して
d
pk (t) = −λ pk (t) + λ pk−1 (t)
dt
が成り立つことを示しなさい．
(iii)
pk (t) =
(λt)k −λt
e
を示しなさい．
k!
∗ 一橋大学大学院商学研究科．E-mail:
[email protected]
1
[ 問 2 ] ある会社の現在株価 S0 は 400 円である．今後株価 S は下図のような変動をすると仮
定する．
現在 t = 0
200
✟✟
❍❍
t=1
✟
✯
✟✟
❍❍
❍
❥
400
100
t=2
✯
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❍❍
❍❍
❥
❍
✯
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❍❍
❍❍
❥
❍
t=3
✯
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❍❍
❍❍
❥
❍
✯
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✟
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✟✟
800
200
❍❍
❍❍
❥
❍
✯
✟
✟
✟
✟✟
50
❍
❍❍
❍
❥
❍
1600
400
100
25
標本空間およびフィルトレーションとして妥当なものは何か．
(i)
(ii) 金利はゼロと仮定するとき，満期 T = 3 で次のようなペイオフを持つデリバティブ３種類
それぞれの，現在価値および複製方法を求めなさい．
2.
(300 − S3 )+ つまり行使価格 300 円のヨーロピアン・プット
(
)+
max0≤t≤3 St − 300
3.
S1 +S2 +S3
3
1.
(iii) 上の問題 (ii) において，金利がゼロではなく安全債券価格 B が 1 →
変動するとき，答えはどうなるか．
5
4
→ ( 54 )2 → ( 45 )3 と
[ 問 3 ] 離散時間の設定を考える．株価過程を S と記し，安全債券価格過程を B と記す．実数
(
)
c と２つの可予測過程 ϕ = {ϕt }t=1,··· ,T , ψ = {ψt }t=1,··· ,T の組 c, ϕ, ψ に対し，以下の３つの
性質は全て同値であることを示しなさい：
1.
2.
3.
ϕt St−1 + ψt Bt−1 = c +
ϕt St + ψt Bt = c +
t−1
∑
t
∑
ϕ ∆S +
ϕ ∆S +
t−1
∑
t
∑
ψ ∆B,
ψ ∆B,
t = 1, 2, · · · , T.
t = 1, 2, · · · , T.
c = ϕ1 S0 + ψ1 B0 , かつ ϕt St + ψt Bt = ϕt+1 St + ψt+1 Bt ,
2
t = 1, 2, · · · , T − 1.
また，この同値性の証明には，２項モデルの特性や安全債券価格 B が確定的に変動していること
を全く使っていないことを確かめなさい．
[ 問4 ]
{ Wt }t∈[0,T ] を１次元 Brown 運動とする．次の５つの問に対して，それぞれ (a) マル
チンゲールの定義に沿った方法 (b) 伊藤の公式を使う方法の２通りで答えなさい．ただし 1 につ
いては (a) の方法だけでよい．
(i)
(ii)
確率過程 Wt がマルチンゲールであることを示しなさい．
確率過程 Wt2 − t がマルチンゲールであることを示しなさい．
(iii)
確率過程 Wt3 − 3 t Wt がマルチンゲールであることを示しなさい．
(iv)
確率過程 Wt4 + α t Wt2 + βt2 がマルチンゲールになるように，２つの定数 α と β を定め
なさい．
(v)
確率過程 exp(σWt + µt) がマルチンゲールになるためには，２つの定数 σ と µ がどのよ
うな関係式を満たせばよいか．
[ 問 5 ] 配当の無い株式を原資産とする，満期 T, 行使価格 K のヨーロピアンコールオプション
を考える．Black-Scholes 評価式によると，時刻 t でのオプション価格（ただし 0 ≤ t < T ）は
C(St , t)
d±
=
=
St Φ(d+ ) − K e−r(T −t) Φ(d− ),
log
(
St
K e−r(T −t)
√
)
±
1 2
2 σ (T
− t)
σ T −t
である．これについて次の問に答えなさい．
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Black-Scholes 価格モデルから出発し，マルチンゲールを用いた方法で上記の価格式を導
出しなさい．
∂C
∂S
= Φ(d+ ) を示しなさい．また上記の Black-Scholes 式が Black-Scholes 偏微分方程式
∂C
1
∂2C
∂C
+ σ 2 s2
+ rs
− rC = 0 を満たすことを示しなさい．
∂t
2
∂s2
∂s
lim C(St , t) = (ST − K)+ を確かめなさい．
t→T
∂C
∂σ
> 0 を示しなさい．また，St と t の値を固定したうえで lim C(St , t) および lim C(St , t)
σ→∞
σ→0
をそれぞれ求めなさい．
[ 問 6 ] Poisson 過程 {Nt }t≥0 が，経路の連続性に関する Kolmogorov’s criterion を 満たさな
い こと，つまり４つの正定数 α, β, C, ϵ をどのように選んでも
「 |t − s| < ϵ を満たす各 s > 0, t > 0 に対して
[
]
E |Nt − Ns |α ≤ C|t − s|1+β 」
(∗)
が成り立たないことを示しなさい．また，Brown 運動 {Wt }t≥0 は Kolmogorov’s criterion を満た
すこと，つまり上記 (∗) を満たすような４つの正定数 α, β, C, ϵ が存在することを示しなさい．
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