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Exact convergence rate of the Wong-Zakai approximation to
RDEs driven by Gaussian rough paths
永沼 伸顕 (東北大学大学院理学研究科数学専攻)
1
はじめに
Hurst 定数 1/3 < H < 1/2 の d 次元非整数 Brown 運動によって駆動される確率微分方程式の解を
Wong-Zakai 近似を用いて近似した場合の収束の速さについて報告する．
問題を定式化する．まず，B = (B 1 , . . . , B d ) が非整数 Brown 運動であるとは，B が平均 0 の連
続な確率過程であって E[Bsα Btβ ] = δα,β · (s2H + t2H − |s − t|2H )/2, 1 ≤ α, β ≤ d, を満たすものをい
う．この非整数 Brown 運動は，H = 1/2 のときは通常の Brown 運動であるが，H ̸= 1/2 のときはセ
ミマルチンゲールとならず，伊藤解析の枠組みを超える．とくに H < 1/2 のときは，連続性の悪さ
からラフパス解析を用いる必要がある．そして，Hurst 定数 1/3 < H < 1/2 の非整数 Brown 運動で
駆動される確率微分方程式
(1)
Y0 = y0 ∈ Re ,
dYt = σ(Yt ) dBt ,
をラフパス解析の枠組みで考え，Y = (Y 1 , . . . , Y e ) で解を表わす．ここで σ は (e × d) 行列値の関数
である．次に，Wong-Zakai 近似を定義する．はじめに，非整数 Brown 運動 B を B(m)t = (Bτkm −
m
m
m
m
m
−m
m )2
m , τ
Bτk−1
(t − τk−1
) + Bτk−1
である．そし
k−1 ≤ t ≤ τk , と折れ線近似する．ただし τk = k2
て，(1) の B を B(m) で置き換えた確率常微分方程式を考え，その解 Y WZ(m) を用いて Y を近似す
る．この手法を Wong-Zakai 近似という．以上の設定で次の定理が成り立つ:
定理 1. Hurst 定数は 1/3 < H < 1/2 とする．関数 σ は十分な微分可能性をもつとし，さらに，σ 自
身とすべての導関数は有界であると仮定する．このとき，任意の r ≥ 1 に対して，自然数 m に依存
しない正定数 C が存在して，
[(
E
(2)
sup
0≤t≤1
WZ(m)
|Yt
)r ]1/r
− Yt |
≤ C2−m(2H−1/2)
が成り立つ．
この定理について，幾つか注意を述べる．
注意 2.
(
1
0
• 定理 1 より，収束の速さは 2−m(2H−1/2) を上限として持つことは分かる．一方で，σ(y) =
)
0
に対して確率微分方程式を考えると，この収束の速さが最適であることも分かる．
y1
1
• 定理 1 は，Coutin-Qian の条件を満たす Gauss 過程により駆動される確率微分方程式とその
Wong-Zakai 近似に対して成り立つが，ここでは，非整数 Brown 運動に限定して話を進める．
• 評価 (2) のような近似の収束の早さの研究は [FR14] で行われており，あるクラスの Gauss 過程
で駆動される確率微分方程式の解と近似解に対して，(2) の左辺が 2−mκ の早さで収束すること
を示している．ただし，0 < κ < 2H − 1/2 である．定理 1 は κ = 2H − 1/2 の場合に相当する．
2
ラフパス解析
ラフパス解析の基礎事項をまとめる．まず，△ = {(s, t); 0 ≤ s < t ≤ 1} とおく．そして，N 階切り
⊕N
捨てテンソル代数を T N (Rd ) = n=0 (Rd )⊗n と書く．T N (Rd ) には積 ∗ が定義できる．Lipschitz 連
続な関数 x : [0, 1] → Rd に対して，x = (x0 ≡ 1, x1 , . . . , xN ) : △ → T N (Rd ) を
(∫
)
α1
αn
1 ···αn
xnst = (xα
)
=
dx
·
·
·
dx
st
u1
un
α1 ···αn ∈{1,...,d}n
α1 ···αn ∈{1,...,d}n
s<u1 <···<un <t
と定める．そして，x を SN (x) と書き，x のリフトとよぶ．このリフト x ≡ SN (x) は Chen の等式
xst = xst1 ∗ xt1 t , 0 ≤ s < t1 < t ≤ 1, を満たし，また，有限な p 次変分
∥x∥pp-var =
N
∑
n=1
sup
0=τ0 <···<τk =1
k
∑
p/n
|xnτl−1 τl |(Rd )⊗n
l=1
を持つ．ここで，sup は区間 [0, 1] のすべての有限分割 0 = τ0 < · · · < τk = 1 を渡る．次に，2 ≤ p < ∞
に対して，geometric rough path の空間 (GΩp (Rd ), ρp-var ) を
ρp-var
GΩp (Rd ) = {S⌊p⌋ (x) : △ → T N (Rd ); x は [0, 1] から Rd への Lipschitz 連続な関数 }
( k
)n/p
∑
p/n
n
n
˜ τ τ |(Rd )⊗n
˜ ) = max
|xτl−1 τl − x
ρp-var (x, x
sup
l−1 l
1≤n≤⌊p⌋ 0=τ0 <···<τ =1
k
,
l=1
で定義する．
次にラフパス解析における微分方程式
(3)
dyt = σ(yt ) dxt ,
y0 : given,
の解の概念について述べる．任意の x ∈ GΩp (Rd ) に対して，適切な Lipschitz 連続な関数の列 {x(n) }∞
n=1
を取ることで x(n) = S⌊p⌋ (x(n) ) → x とできる．そして，(3) の x を x(n) で置き換えた通常の意味で
の常微分方程式の初期値問題の解 y (n) を考える．すると，この解の列 {y (n) }∞
n=1 は一様位相におい
て Cauchy 列であることが示されるので，その極限 y を用いて，ラフパス解析における常微分方程式
(3) の解という．とくに，x = S⌊p⌋ (x) となる Lipschitz 連続関数 x が存在するときは，ラフパス解析
における解は通常の常微分方程式の解と一致する．さらに，解写像 I : x 7→ y は局所 Lipschitz 連続
であって
(4)
(n)
sup |yt
− yt | ≤ Cρp-var (x(n) , x)
0≤t≤1
が成り立つ．ただし，C は n には依存しないが，∥x∥p-var ≤ M と supn ∥x(n) ∥p-var ≤ M を満たす M
には依存する正定数である．
2
3
証明
まず，B(m) = S⌊p⌋ (B(m)) ∈ GΩp (Rd ) と定め，m → ∞ のときの GΩp (Rd ) における極限を B と書
く．ただし，p > 1/(1/2 − H) である．このとき，B(m) と B の距離に関して以下の評価が成り立つ:
定理 3. 任意の r ≥ 1 と p > 1/(1/2 − H) に対して，m に依存しない正定数 C が存在して
E[ρp-var (B(m), B)r ]1/r ≤ C2−m(2H−1/2)
が成り立つ．
一見，解写像 I の局所 Lipschitz 連続性 (4) と定理 3 から定理 1 が直ちに導かれるように見える．
しかし，我々の設定においては (4) に現れる定数 C は確率変数であるため，その可積分性が問題とな
るが，[CLL13], [FR13], [BFRS13] の議論により，可積分性が示され，定理 3 から定理 1 が導かれる．
定理 3 を示すためには次の命題が鍵となる:
命題 4. 自然数 n = 1, 2, 3 に対して，m に依存しない正定数 Cn > 0 が存在して，
(5)
1 ···αn
1 ···αn 2 1/2
E[|B(m)α
− Bα
| ]
≤ Cn {2−m ∧ (t − s)}2H−1/2 (t − s)1/2−H (t − s)(n−1)H
st
st
≤ Cn {2−m ∧ (t − s)}2H−1/2 (t − s)n(1/2−H)
が任意の (s, t) ∈ {(τkm , τlm ); 0 ≤ k < l ≤ 2m } に対して成り立つ．
命題 4 は次のように示される．簡単のため n = 2 のときを考える．Chen の等式から
{
B(m)αβ
τm
2 t
∑
m
B(m)αβ
st
(6)
−
B αβ
st
=
m
k−1 τk
− B αβ
τm
}
m
k−1 τk
k=2m s+1
(m)
が従う．次に，Ik,l = 24mH E[{B(m)αβ
τm
m
k−1 τk
− B αβ
τm
m
k−1 τk
}{B(m)αβ
τm
m
l−1 τl
− B αβ
τm
m
l−1 τl
}] は，すべての
(m)
|Ik,l |
l − k ≥ 1 に対して
≤ C|k − l|2H−2 と評価できる．よって (6) の右辺の 2 乗平均が評価できる．
定理 3 は命題 4 から以下の手順により証明される．命題 4 と B(m) や B の H¨
older 連続性から，
(5) が任意の (s, t) ∈ △ に対して成り立つ．さらに，Lyons の拡張定理の手法を真似ることで，すべ
ての自然数 n について成り立つことも分かる．最後に Garsia-Rodemich-Rumsey の補題を適用する
と定理 3 が得られる．
参考文献
[BFRS13] Christian Bayer, Peter K. Friz, Sebastian Riedel, and John Schoenmakers. From rough
path estimates to multilevel Monte Carlo. 2013.
[CLL13]
Thomas Cass, Christian Litterer, and Terry Lyons. Integrability and tail estimates for
Gaussian rough differential equations. Ann. Probab., 41(4):3026–3050, 2013.
[FR13]
Peter K. Friz and Sebastian Riedel. Integrability of (non-)linear rough differential equations and integrals. Stoch. Anal. Appl., 31(2):336–358, 2013.
[FR14]
Peter K. Friz and Sebastian Riedel. Convergence rates for the full Gaussian rough paths.
Ann. Inst. Henri Poincar´e Probab. Stat., 50(1):154–194, 2014.
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