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31 Jul. 2013
基研研究会 素粒子物理学の進展２０１４
２０１４年 ７月 ２８日 − ８月 １日
於 京都大学 基礎物理学研究所
一般化ドメインウォールフェルミオンによる
高温QCDにおけるU(1)アノマリーの解析
富谷 昭夫(大阪大学)
akio＠het.phys.sci.osaka-u.ac.jp
Guido Cossu, 深谷 英則, 橋本 省二, 野秋 淳一
for JLQCD collaboration
1
研究目的:
有限温度でU(1)Aアノマリーはなくなるのか？
2
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
QCD (Nf=2, mud=0) におけるカイラル対称性の破れ
T =0
SU (2)L
SU (2)R
自発的破れ
SU (2)V
U (1)V
U (1)V
U (1)A
アノマリー
残る対称性
3
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
QCD (Nf=2, mud=0) におけるカイラル対称性の破れ
T =0
SU (2)L
SU (2)R
自発的破れ
SU (2)V
T > Tc
SU (2)V
U (1)V
U (1)A
アノマリー
U (1)V
残る対称性
SU (2)L
SU (2)R
U (1)A
回復
??
道具: 格子QCD
観測量:ディラックスペクトル
3
アノマリーとは対称性を壊す量子効果
Z=
Z
0質量クォーク2個のQCD
: U(2)LxU(2)R カイラル対称性
DAµ Dq¯Dq exp
 Z
4
d x q¯(D
/ )q
✓ ◆
u
q=
d
4
アノマリーとは対称性を壊す量子効果
Z=
Z
0質量クォーク2個のQCD
: U(2)LxU(2)R カイラル対称性
DAµ Dq¯Dq exp
0
q!q =e
0
i
q¯ ! q¯ = q¯e
5✓
i
 Z
q
5✓
✓ ◆
u
q=
d
4
d x q¯(D
/ )q
←U(1)カイラル変換
/
5D
=
D
/
5
4
アノマリーとは対称性を壊す量子効果
Z=
Z
0質量クォーク2個のQCD
: U(2)LxU(2)R カイラル対称性
DAµ Dq¯Dq exp
0
q!q =e
0
i
q¯ ! q¯ = q¯e
5✓
i
 Z
q
5✓
✓ ◆
u
q=
d
4
d x q¯(D
/ )q
←U(1)カイラル変換
/
5D
=
D
/
5
作用は不変、経路積分の測度が不変でない！
U(1)Aアノマリー、カイラルアノマリー
4
アノマリーとは対称性を壊す量子効果
Z=
Z
0質量クォーク2個のQCD
: U(2)LxU(2)R カイラル対称性
DAµ Dq¯Dq exp
0
q!q =e
0
i
q¯ ! q¯ = q¯e
5✓
i
 Z
q
5✓
✓ ◆
u
q=
d
4
d x q¯(D
/ )q
←U(1)カイラル変換
/
5D
=
D
/
5
作用は不変、経路積分の測度が不変でない！
U(1)Aアノマリー、カイラルアノマリー
0
0
Dq¯Dq = Dq¯ Dq e ,
6= 0
4
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
QCD (Nf=2, mud=0) におけるカイラル対称性の破れ
T =0
SU (2)L
SU (2)R
自発的破れ
SU (2)V
U (1)V
U (1)A
アノマリー
U (1)V
残る対称性
L
R
る
あ
で
れ
ぶ
や
的
示
明
T > Tc
SU (2)
SU (2) え
SU
(2)とは?
る
消
が
ー
リ
マ
ノ
ア
V
U (1)A
??
観測量:ディラックスペクトル
5
回復
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
U(1)A回復の傍証
1. 温度Tの場の理論: 時空体積=L3x(1/T)の場の理論
T= ←→ 3次元場の理論(アノマリー存在しない)
無限温度では必ず回復する。
(有限温度で回復してもおかしくない?)
2. JLQCD(G.Cossu 2013,後述)
…SU(2)カイラル対称性の回復と同時にU(1)Aも回復
T Tc＜ で回復する？
6
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
格子QCDでの主な先行研究
グループ
フェルミオン
JLQCD(2013)
オーバーラップ
Chiu et al
(2013)
Optimized
Domain-wall
Ohno et al
(2011)
LLNL/RBC
(2013)
HISQ
ドメインウォール
3
トポロジー変動
3
U(1)A
固定
回復
3
3
変動
回復
4
3
変動
回復しない
変動
回復しない
体積(fm )
2
3
3
2, 4
果たしてどちらが本当なのか?
原因は、フェルミオン、体積? 系統的理解が足りない！
7
で
ろ
こ
と
U(1)Aが回復すると？
2フレーバーQCD
8
で
ろ
こ
と
U(1)Aが回復すると？
有限温度相転移の次数:
2次転移→1次転移?(Pisarski&Wilczek1983)
2フレーバーQCD
8
で
ろ
こ
と
U(1)Aが回復すると？
有限温度相転移の次数:
2次転移→1次転移?(Pisarski&Wilczek1983)
2フレーバーQCD
• ※質量ゼロなので現実世界と
関係なし(現実はクロスオーバー)
8
もくじ
•
•
•
•
•
•
導入
カイラル対称性、ディラックスペクトル
格子上のカイラル対称性と
ドメインウォールフェルミオン
ドメインウォールフェルミオンでのディラックスペクトル
ディラックスペクトルの比較
まとめ
9
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
QCD (Nf=2, mud=0) のカイラル対称性
ラグランジアン
SU (2)L
SU (2)R
¯
q¯ = u
a
⌧
⇡ = q¯
2
a
U (1)A
a
5q
d¯
U (1)V
✓ ◆
u
q=
d
SU (2)L ⇥ SU (2)R
U (1)A
= q¯q
U (1)A
a
⌧
= q¯ q
2
⌘
=
q
¯
q
5
SU (2)L ⇥ SU (2)R
10
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
QCD (Nf=2, mud=0) のカイラル対称性
T =0
SU (2)L
SU (2)R
自発的対称性の破れ
SU (2)V
a
⌧
⇡ = q¯
2
a
U (1)A
a
5q
U (1)V
U (1)A
アノマリー
U (1)V
SU (2)L ⇥ SU (2)R
= q¯q
U (1)A
a
⌧
= q¯ q
2
⌘
=
q
¯
q
5
SU (2)L ⇥ SU (2)R
T=０では、すべて縮退しない。
11
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
QCD (Nf=2, mud=0) のカイラル対称性
T > Tc
SU (2)V
SU (2)L
U (1)A
a
⌧
a
⇡ = q¯
2
？ U (1)A
a
5q
SU (2)R
回復
??
SU (2)L ⇥ SU (2)R
= q¯q
U (1)A？
a
⌧
= q¯ q
2
⌘
=
q
¯
q
5
SU (2)L ⇥ SU (2)R
T>Tcでは全部縮退?
12
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
(@µ + Aµ )
13
j
j
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
13
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ=
13
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ= 0.01,
13
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ= 0.01, 0.012, ....
13
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ= 0.01, 0.012, ....
個数
13
λ
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ= 0.01, 0.012, ....
個数
13
λ
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ= 0.01, 0.012, ....
個数
13
λ
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ= 0.01, 0.012, ....
個数
13
λ
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ= 0.01, 0.012, ....
個数
13
λ
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ゲージ配位[Aμ]を1つ選ぶ
→ディラック演算子(共変微分)が定まる
→固有値: λ= 0.01, 0.012, ....
個数
13
λ
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
たくさんのゲージ配位で平均(経路積分)
ρ 個数
14
λ
ディラックスペクトル
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
=共変微分の固有値分布
( 5D
/)
=
µ
j
=
j
j
(@µ + Aµ )
ρ(λ)：λの分布
→ゲージ場存在下でのクォークの性質がわかる
例 フリーの時(T=0)
⇢( ) ⇠
15
λ
3
ディラックスペクトル(0温度)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
例カイラル対称性が破れる時(QCD)
フリー
16
ディラックスペクトル(0温度)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
例カイラル対称性が破れる時(QCD)
QCD
フリー
16
ディラックスペクトル(0温度)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
例カイラル対称性が破れる時(QCD)
lim lim h¯
q qi / ⇢(0)
m!0 V !1
Banks-Casher関係式
QCD
フリー
16
ディラックスペクトル(0温度)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
例カイラル対称性が破れる時(QCD)
lim lim h¯
q qi / ⇢(0)
m!0 V !1
Banks-Casher関係式
QCD
/ h¯
q qi
フリー
16
ディラックスペクトル(0温度)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
例カイラル対称性が破れる時(QCD)
lim lim h¯
q qi / ⇢(0)
m!0 V !1
Banks-Casher関係式
QCD
/ h¯
q qi
フリー
λが小さいところが重要！
16
ディラックスペクトルと対称性
SU (2)L
SU (2)R
Banks-Casher 関係式
h¯
q qi
|⇢(0)| =
⇡
U (1)A
Atiyah-Singer 指数定理
n+ n =
n± : カイラル0モードの数
両方の対称性にとって
λが小さいところが重要
17
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
Cohen(1996)の議論
カイラルゼロモードが無視でき、
ディラックスペクトルにギャップが有る場合、
Z
U(1)A の破れ
4
d x[h⇡(x)⇡(0)i
Z
1
2
4m ⇢( )
h (x) (0)i] = d
2
2
2
(m + )
0
=0
関連研究:青木-深谷-谷口 (2012)
反論:石川-岩崎-中山-吉江 (2014)など
18
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
Cohen(1996)の議論
カイラルゼロモードが無視でき、
ディラックスペクトルにギャップが有る場合、
Z
U(1)A の破れ
4
d x[h⇡(x)⇡(0)i
Z
1
2
4m ⇢( )
h (x) (0)i] = d
2
2
2
(m + )
0
=0
関連研究:青木-深谷-谷口 (2012)
反論:石川-岩崎-中山-吉江 (2014)など
λが小さいところが重要！
18
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
格子上のカイラル対称性
=Ginsparg-Wilson関係式
19
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
格子上のカイラル対称性
=Ginsparg-Wilson関係式
S=
Z
d x ¯D
4
連続理論：
がカイラル変換で不変<=>
D
5
+
5D
=0
19
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
格子上のカイラル対称性
=Ginsparg-Wilson関係式
S=
Z
d x ¯D
4
連続理論：
がカイラル変換で不変<=>
D
5
+
5D
=0
格子理論： D 5 + 5 D = 2aD 5 D
Ginsparg-Wilson関係式
a：格子間隔
19
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
格子上のカイラル対称性
=Ginsparg-Wilson関係式
S=
Z
d x ¯D
4
連続理論：
がカイラル変換で不変<=>
D
5
+
5D
=0
格子理論： D 5 + 5 D = 2aD 5 D
Ginsparg-Wilson関係式
a：格子間隔
※この様に表現しないと困難が起こる。
19
factor Sχ (m) in (20) is cancelled by the Pauli-Vil
due to the basis transformation is also cancelled
Ginsparg-Wilson関係式を満たすフェルミオン
cause the transformation is independent of m.
=オーバーラップフェルミオン
rd domain-wall fermion thus corresponds to a fo
D overlap
= 2aD 5 D
he Neuberger’s
5 + 5 Doperator)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
1+m 1−m
DN (m) =
+
γ5 sgn(HK )
2
2
HK being HT (14)
and
an
approximation
of
the
⃝厳密なカイラル対称性
符号関数の評価が大変、大きい体積での数値計算できない
−Ls
Ls
T
−1
(1 + HT ) − (1 − HT
=
anh (HT ) =
−L
L
s
T
+1
(1 + HT ) s + (1 − HT
!
"
−1
= tanh Ls tanh (HT ) .
20
JLQCD(2013)による前の結果
IG. 5:
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
赤→黃でクォーク軽くなる
ギャップ
オーバーラップフェルミオン(カイラル対称性が厳密なフェルミオン)
Spectral
density of the massless overlap-Dirac operator in two-flavor QCD. Top and
体積: L=2fm(小さい)、トポロジー固定
有限温度シミュレーション
middle panel corresponds to those around the transition point. The jackknife errors are shown for
→U(1)が回復すると結論
ottom panels are the data clearly below and above the critical temperature, respectively. The
ach bin of the histogram. When the histogram is terminated at the lower end, it implies that we
nd no eigenmode below that 有限体積効果を見てるんじゃないか?
value. The statistical error in that case is also zero, because we use
(トポロジーも固定して、厳密な結果なのか?)
he jackknife method. The
lighter the color the lighter the mass.
→フェルミオンを変えてトライ。
rgument about the power α and the point where gap opens would not be possible with the
21
The
prefactor
S
(m)
in
(20)
is
cancelled
by
the
Pauli-Villars
field.
χ
can write down Sχ (m) as
−Lis
s also cancelled by the P
ian
factor
due
to
the
basis
transformation
χ (m) = (P− − mP+ ) − T−Ls (P+ − mP− )
−L
sT
(m)
=
(P
−
mP
)
−
− mP )
s Sfield,
because
the
transformation
is
'independent
χ ドメインウォールフェルミオン
+
Sχ (m) = (P−
−
mP
)
−
T
(P+ − (P
mP+
−
+
− ) of m. −
−
'
(
'
1
+
m
1
−
m
T
e standard
domain-wall
fermion
thus
corresponds
to
a
four-dimensi
−L
s
−L
−L
s
1 + m1 +1 m
−m 1
T−m
−1 T
s
=オーバーラップの有理式近似
−L
s
==
γ
=−(T
−(T −Loverlap
+
1)γ1)γ
+
γ+
. 5 −
(2
5
5 operator)
5 −Ls
s+
tor (like the
Neuberger’s
−(T
+ 1)γ52
2 2 + T 2+ 1γ5 T
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
Using
2
2
−Ls
オーバーラップ(厳密なカイラル対称性,JLQCD2013で使用):
8桁精度のカイラル対称性
1
+
m
1
−
m
this expression,
an=effective +
4D operator
may be
DN (m)
γ5 sgn(H
K )defined as
T
2
2
his
expression,
an
effective
4D
operator
may
be
d
this expression,
an
effective
4D
operator
may
be
defin
4
−1
he
D
= S
(m = 1)S (m)
χ
χ
ドメインウォールフェルミオン
(RBC/LLNL先行研究)
kernel HK being HT (14) and an approximation
of the sign funct
1桁精度のカイラル対称性
−Ls
1
+
m
1
−
m
T
−1
44
−1
−1
=
γ1)S
(2
DD =
SS2sχχ− +1(m
=
=T −L
(m 2=
1)S
(m)
5 −L
Lss(m)
Ls
χ
χ
(1 + HTT ) +−1(1 − HT )
sgntanh (HT ) =
=
−L
Ls + (1−L
Ls
s + 1
s
−L
T
(1
+
H
)
−
H
)
s 1
Tm
T
1
+
m
1
−
T
−
−Ls
−1
1
+
1
−
m
T
−
1
re the prefactor −(T =+ 1)γ!5 in (20)
is
cancelled
by
the
operator
S
"
χ (
−1
+
γ
5
=
+
γ
⃝符号関数を有理関数近似することで
=
tanh
L
tanh
(H
)
.
5 −L
s
T
s + 1
esponding to the Pauli-Villars field
in
the
domain-wall
fermion.
−L
2
2
T
s + 1
2
2
T
Now, let us consider
what
this
4D
operator
describes
in
the
form
of
t
カイラル対称性をコントロール
inal
domain-wall basis
(1)
the transformation (9). Name
−L
s before applying
Generalized
domain-wall
fermions
e
prefactor
−(T
+
1)γ
in
(20)
is
cancelled
by
the
−L
5
5
5
−1
s
でオーバーラップ)
ng
(10) (or equivalently
DDW
= γ55Q−in
Dχ(20)
P ), is cancelled by th
refactor
−(T (Ls→
+ 1)γ
nding
to the
in(domain-wall)
the domain-wall
establishing
thePauli-Villars
relation betweenfield
the 5D
and 4D ferm
(over
ng
the
Pauli-Villars
in
the
fe
わずかにGinsparg-Wilson関係式を満たさない
4 to
−1
−1 field
5
−1 domain-wall
5
ns,
proceed
to =generalize
it (m
tooperator
the1))caseDof
other
D we
=
(m =
1)Sχ (m)
[Pthis
(DDW
=
(m)P]5D
11 . implem
χconsider
DW
let
usSwould
what
4D
describes
in(2
ts. us consider what this 4D operator describes i
The prefactor Sχ (m) in (20) is cancelled by the Pauli-Villars field.
ian factor due to the basis transformation is also cancelled by the P
s field,
because the transformation is independent of m.
メビウスドメインウォールフェルミオン
e standard
domain-wall
fermion
thus
corresponds
to
a
four-dimensi
=より良いオーバーラップの有理式近似
tor (like the Neuberger’s overlap operator)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
オーバーラップ(厳密なカイラル対称性,JLQCD2013で使用):
1+m 1−m
DN (m) =
+
γ5 sgn(HK )
2
2
8桁精度のカイラル対称性
heドメインウォールフェルミオン
kernel HK being HT (RBC/LLNL先行研究)
(14) and an approximation of the sign funct
1桁精度のカイラル対称性
T Ls 1
Ls
Ls
T −Ls −T1 Ls(1
+
H
)
−
(1
−
H
)
T
T
+
1
sgntanh (HT ) =
=
−L
T s +1
(1 + HT )Ls + (1 − HT )Ls
!
"
−1
= tanh Ls tanh (HT ) .
Generalized domain-wall fermions
establishing the relation between the 5D (domain-wall) and 4D (over
ns, we would proceed to generalize it to the case of other 5D implem
s.
The prefactor Sχ (m) in (20) is cancelled by the Pauli-Villars field.
ian factor due to the basis transformation is also cancelled by the P
s field,
because the transformation is independent of m.
メビウスドメインウォールフェルミオン
e standard
domain-wall
fermion
thus
corresponds
to
a
four-dimensi
=より良いオーバーラップの有理式近似
tor (like the Neuberger’s overlap operator)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
オーバーラップ(厳密なカイラル対称性,JLQCD2013で使用):
1+m 1−m
DN (m) =
+
γ5 sgn(HK )
2
2
8桁精度のカイラル対称性
heドメインウォールフェルミオン
kernel HK being HT (RBC/LLNL先行研究)
(14) and an approximation of the sign funct
1桁精度のカイラル対称性
T Ls 1
Ls
Ls
T −Ls −T1 Ls(1
+
H
)
−
(1
−
H
)
T
T
+
1
sgntanh (HT ) =
=
−L
Ls + (1 − H )Ls
T s +1
(1 + HT )Q
T
Ls
1
!
"
メビウスドメインウォールフェルミオン
T
(b,
c)
1
−1
s
= tanh LEdwards-Heller
(HT ) . s
s tanh (2000)
(本研究で使用)
3桁精度のカイラル対称性
QLs
Generalized domain-wall fermions
s
1
Ts (b, c) + 1
establishing
the
relation
between
the
5D
(domain-wall)
and
4D
(over
→新しいパラメータを導入→オーバーラップに近い
ns, we would proceed to generalize it to the case of other 5D implem
(まだ、Ginsparg-Wilson関係式は破れている)
s.
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
前のJLQCD
本研究
オーバーラップ
小さい体積(L=2fm)
(改良型)ドメインウォール
→ 大きい体積(L=2fm, 4fm)
トポロジー固定
→
色々なトポロジー
カイラル対称性:厳密
→
非改良より良い
U(1)回復
???
24
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
先行研究
グループ
フェルミオン
オーバーラップ
JLQCD(2013)
(トポロジー固定)
Chiu et al
(2013)
Ohno et al
(2011)
LLNL/RBC
(2013)
Optimized
Domain-wall
HISQ
ドメインウォール
3
スペクトルギャップ
3
U(1)A
あり
回復
3
あり?
体積(fm )
2
3
⇢⇠
3
4
3
3
2, 4
3
+ ···
回復
なし
回復しない
なし
回復しない
果たしてどちらが本当なのか?
原因は、フェルミオン、体積? 系統的理解が足りない！
特にオーバーラップ/ドメインウォールの違いを理解したい
25
L=32(bg128 que) takes to 90 minutes for each configuration
Gauge action:tree level Symanzik
= 4.10, m = 0.01)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
Lattice set up
(ls = 12,
these use
6 is almost
Fermion :Mobius DW(b=2, c=1, Scaled Shamir + Tanh)
w/ Stout smearing(3)
BFM and mixedcode
precision.
Current
statistics
is
summarized
in
:IroIro++(G. Cossu et al.)
Resource
:BG/Q(KEK)
complete for current
statistical
target.
L3 ⇥ Lt
mud (MeV) Ls mres (MeV) Temp.(MeV)
Note
163 ⇥ 8 4.07
30
12
2.5
180
488 Conf. every 50 Trj.
163 ⇥ 8 4.07
3.0
24
1.4
180
319 Conf. every 20 Trj.
163 ⇥ 8 4.10
32
12
1.2
200
480 Conf. every 50 Trj.
163 ⇥ 8 4.10
3.2
24
0.8
200
538 Conf. every 50 Trj.
323 ⇥ 8 4.10
32
12
1.7
200
175 Conf. every 20 Trj.
323 ⇥ 8 4.10
16
24
1.7
200
294 Conf. every 20 Trj.
323 ⇥ 8 4.10
3.2
24
-
200
88 Conf. every 10 Trj.
TABLE I: † Estimated by eigenmodes
より良いカイラル対称性の配位も生成中…
26
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
3.Domain-wall Dirac
spectrum
27
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
観測量:
(ドメインウォール)ディラックスペクトル
Hm ⇥i =
Hm =
m
⇥
i
i
mud )D + mud ]
5 [(1
↑エルミート・ディラック演算子
4
質量ありのシミュレーション
→質量0のスペクトルを作った
28
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
Cohen(1996)の議論(再掲)
カイラルゼロモードが無視でき、
ディラックスペクトルにギャップが有る場合、
Z
4
Z
U(1)A の破れ
d x[h⇡(x)⇡(0)i
1
2
4m ⇢( )
h (x) (0)i] = d
2
2
2
(m + )
0
=0
関連研究:青木-深谷-谷口 (2012)
反論:石川-岩崎-中山-吉江 (2014)など
ギャップが見つかるか？
29
3.Histogram for DW(above Tc)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
T=200MeV>Tc L=4fm 大きい体積
DW-sHtTanh-32x8x12-b4.10-M1.00-mud0.01
( a)a3
⇢( )
mud=32MeV
0.0015
0.001
0.0005
0
(mres=1.7MeV)
0
0.05
| ma| - muda
DW-sHtTanh-32x8x24-b4.10-M1.00-mud0.001
( a)a3
⇢( )
0.0015
0.001
0.0005
0
mud=3.2MeV
0
0.05
|
m
a| - muda
軽いクォークでもギャップが見えない →UA(1)は破れている？
30
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
3.Histogram for DW
L=4fm, T=200 MeV mud=3.2MeV ではギャップなし？
U(1)A は破れて見える
先行研究(LLNL/RBC 2013)と同じ結論…
オーバーラップ(JLQCD)と何がちがうのか?
考えられる原因
前JLQCDは有限サイズ効果を見ていた説
トポロジー固定してたのが悪かった説
DWのGinsparg-Wilson 関係式の破れ?
31
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
4.Ginsparg-Wilson
関係式の破れ
32
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
各固有モード毎のGinsparg-Wilson 関係式の破れ
Z
S = d4 x ¯D
がカイラル変換で不変<=>
格子理論： D
5
+
5D
= 2aD 5 D
Dの固有関数↓
gi /
†
[D
5
5
i
+
5D
2aD 5 D]
i
gi :カイラル対称性のあるフェルミオンなら0
ドメインウォールフェルミオンではどうなるのか？
33
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
ドメインウォールフェルミオンの
カイラル対称性の破れに効く低いモード:
Ginsparg Wilson関係式がすごく破れている
カイラル対称性を改善したドメインウォールでも大きく破れている！
gi vs E-val DW-sHtTanh-16x8x24-b4.10-M1.00-m0.001
1
|gi|
0.8
¦GW関係式の破れ¦
0.6
|gi|
|gi |
0.4
0.2
0
0
|
0.05
a
m|
固有値
0.1
※λ 0の周りがカイラル対称性に重要
ドメインウォールフェルミオンのスペクトルの信頼性?
34
分った事
改良したドメインウォールフェルミオンでも
Gisparg-Wilson 関係式が破れている
35
分った事
改良したドメインウォールフェルミオンでも
Gisparg-Wilson 関係式が破れている
何とかしてオーバーラップフェルミオン
に差し替えられないか?
経路積分にあるディラック演算子
固有値を与えるディラック演算子(プローブ)
35
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
5.(Reweighted)
Overlap Dirac spectrum
36
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
経路積分にある
フェルミオンの差し替え=Re-weighting法
hOiOverlap =
=
=
=
Z
Z
Z
Z
Dq¯DqDAµ O e
DAµ O e
DAµ O e
Sgauge
Sgauge
e
q¯[DOV ]q
2
Det[DOV ]
2
Det[DDW ]
Sgauge
2
Det[DOV ]
2 ]
Det[DDW
Dq¯DqDAµ OR e
=hORiDomain Wall
Sgauge
e
q¯[DDW ]q
2
Det[DOV
]
R=
2 ]
Det[DDW
Rをかけて平均を取ればオーバーラップに差し替えられる
37
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
Reweighting to OV
⌧
2
2
det Dov (mud ) det DDW (1/2a)
hOiov = O
2 (m ) det D 2 (1/2a)
det DDW
ud
ov
Reweightingを安定化
ドメインウォール配位で
3つの固有値分布を比較できる
DW
(
DW ) DW
ドメインウォール配位
ドメインウォール固有値
(
ov ) DW
ドメインウォール配位
オーバーラップ固有値
(
ov ) ov
Reweighted
オーバーラップ配位
オーバーラップ固有値
※ドメインウォール配位=中間状態にドメインウォールフェルミオンのループ
ドメインウォール固有値=プローブがドメインウォールフェルミオン
38
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
T=200MeV, mud=3.2MeV
L=4fm
L=2fm
DW-sHtTanh-16x8x24-b4.10-M1.00-mud0.001
0.0015
0.001
0.0005
0
( a)a3
DW配位
DW固有値
(オリジナル)
( a)a3
DW-sHtTanh-32x8x24-b4.10-M1.00-mud0.001
0
0.0015
0.001
0.0005
0
0
0.05
|
m
|
a| - muda
0.0015
0.001
0.0005
0
0
a| - muda
0.0015
0.001
0.0005
0
0.05
|
m
HovTanhthre0.35-Beta4.10-m0.001
( a)a3
( a)a3
L32HovTanhthre0.24m0.001
DW配位
OV固有値
0.05
0
m
a| - muda
0.05
|
m
a| - muda
OV配位
OV固有値
(差し替え後)
Reweighting not available
( a)a3
HovTanhthre0.35-Beta4.10-m0.001
0.0015
0.001
0.0005
0
0
0.05
|
39
m
a| - muda
※ドメインウォール配位=中間状態にドメインウォールフェルミオンのループ
ドメインウォール固有値=プローブがドメインウォールフェルミオン
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
T=200MeV, mud=3.2MeV
L=4fm
L=2fm
|
DW-sHtTanh-16x8x24-b4.10-M1.00-mud0.001
( a)a3
( a)a3
LLNL/RBC 2013
DW-sHtTanh-32x8x24-b4.10-M1.00-mud0.001
とコンシステント
0.0015
DW配位
0.001
DW固有値
0.0005
0
(オリジナル)
0
0.05
0.0015
0.001
0.0005
0
0
m
|
a| - muda
0.0015
0.001
0.0005
0
0
0.05
|
m
a| - muda
m
a| - muda
HovTanhthre0.35-Beta4.10-m0.001
( a)a3
( a)a3
L32HovTanhthre0.24m0.001
DW配位
OV固有値
0.05
0.0015
0.001
0.0005
0
0
0.05
|
m
a| - muda
1.同じゲージ配位でも、
ドメインウォールの固有値分布と
オーバーラップの固有値分布が異なる！
40
※ドメインウォール配位=中間状態にドメインウォールフェルミオンのループ
ドメインウォール固有値=プローブがドメインウォールフェルミオン
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
T=200MeV, mud=3.2MeV
L=4fm
L=2fm
0.0015
0.001
0.0005
0
HovTanhthre0.35-Beta4.10-m0.001
( a)a3
DW配位
OV固有値
( a)a3
L32HovTanhthre0.24m0.001
0
0.05
|
m
a| - muda
0.0015
0.001
0.0005
0
カイラルモード
安定したギャップ
0
0.05
|
m
a| - muda
2.λ=0にピーク
(カイラルゼロモード;体積無限で測度ゼロ)
3.体積によらないギャップ構造
(ギャップは有限体積効果ではない？)
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
T=200MeV, mud=3.2MeV
L=2fm
DW配位
OV固有値
( a)a3
HovTanhthre0.35-Beta4.10-m0.001
0.0015
0.001
0.0005
0
0
0.05
|
m
a| - muda
OV配位
OV固有値
(差し替え後)
42
差し替えるとギャップが出現
( a)a3
HovTanhthre0.35-Beta4.10-m0.001
0.0015
0.001
0.0005
0
0
ギャップ
0.05
|
m
a| - muda
JLQCD 2013とコンシステント
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
T=200MeV, mud=3.2MeV
L=4fm
L=2fm
|
DW-sHtTanh-16x8x24-b4.10-M1.00-mud0.001
( a)a3
( a)a3
LLNL/RBC 2013
DW-sHtTanh-32x8x24-b4.10-M1.00-mud0.001
とコンシステント
0.0015
DW配位
0.001
DW固有値
0.0005
0
(オリジナル)
0
0.05
0.0015
0.001
0.0005
0
0
m
|
a| - muda
( a)a3
0.0015
0.001
0.0005
0
0
OV配位
OV固有値
(差し替え後)
43
m
a| - muda
カイラルモード
安定したギャップ
Reweighting not available
差し替えるとギャップが出現
a| - muda
0.0015
0.001
0.0005
0
0.05
|
m
HovTanhthre0.35-Beta4.10-m0.001
( a)a3
( a)a3
L32HovTanhthre0.24m0.001
DW配位
OV固有値
0.05
0.0015
0.001
0.0005
0
0
0.05
|
m
a| - muda
HovTanhthre0.35-Beta4.10-m0.001
0
ギャップ
0.05
|
m
a| - muda
JLQCD 2013とコンシステント
T=200MeV, mud=3.2MeV(軽い)
•
•
•
観測
ドメインウォールフェルミオン:
カイラル対称性に関連する低いモードで
Ginsparg-Wilson関係式の強い破れ
オーバーラップ(ドメインウォール配位)で
は、孤立した0モード+ギャップ構造
ギャップ構造が体積によらない
オーバーラップ(ドメインウォール配位)
•
•
•
•
(改良型)ドメインウォールとオーバ
ーラップでヒストグラムが異なる
カイラル0モードは、体積無限大で
測度0
ギャップ構造→ U(1)A回復?
L=4fmでオーバーラップ(or 更に対称性を良くした
ドメインウォール)で有限体積効果をチェック！
44
Akio Tomiya(Osaka Univ.)
6.Summary
45
まとめ
体積(fm3)
グループ
フェルミオン
Chiu et al
(2013)
Optimized
Domain-wall
3
HISQ
4
オーバーラップ
JLQCD(2013)
(トポロジー固定)
Ohno et al
(2011)
LLNL/RBC
(2013)
本研究
ドメインウォール
3
スペクトルギャップ
2
3
3
あり
回復
なし
回復しない
回復しない
3
なし
3
3
3
(改良)
ドメインウォール
2, 4
なし
(Reweited,Pq)
オーバーラップ
3
あり
2, (4 )
低モード:Gisparg-Wilson関係式
回復
あり
3
2, 4
U(1)A
カイラル対称性
が良ければ回復?
(有限体積効果の
評価が不十分)
46