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物理学補足資料
平面内の曲線 y = y(x) の曲率半径
■微分量の変数変換
なさい．
曲線上の微小区間 (x, y), (x + dx, y +
[解] y ′ = 2x, y ′′ = 2 を 4 に代入して，
dy) を半径 ρ, 中心角 dθ の微小円弧とみなすと，
ds =
√
√
dx2 + dy 2 = ρdθ
∴ ρ=
dx2 + dy 2
dθ
[
]3
1 + (2x)2 2
ρ(x) =
2
(1)
また，点 (ξ, ξ 2 ) での曲率中心の位置は (−4ξ 3 , 3ξ 3 + 1/2) で
平面曲線においては接線が x 軸となす角度を θ とすると，
dy
dx
tan θ =
∴
(
曲線 y = x2 の各点における曲率半径 ρ(x) を求め
例題 1
あることは簡単に計算できる．図に，曲線 y = x2 (x > 0) 上
におけるいくつかの点での曲率半径，また曲率半径の中心の
(2)
)
曲線 y =
d tan θ
1
dx d dy
=
=
2
dθ
cos θ
dθ dx dx
( )2
dy
dx d2 y
2
⇔ 1 + tan θ = 1 +
=
dx
dθ dx2
1 ( x ) 23
±
を示す．
2
4
4
(3)
3.5
式 (3) を (1) に代入すると，
dx2
+
dy 2
■近接法線の交点
(
1+
=
2
d y
dx dx
2
dy
dx
)2 ] 32
d2 y
dx2
3
2.5
(4)
y
ρ=
√
[
[
( )2 ]
dy
1 + dx
1.5
2 点 (x, y), (x + dx, y + dy) における法
1
線の交点を (xo , yo ) とすると，
{
2
−y ′ (x)(y − yo ) = x − xo
−y ′ (x + dx)(y + dy − yo ) = (x + dx − xo )
0.5
(5)
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
を満たし，交点との距離を ρ とすると，
ρ2 = (x − xo )2 + (y − yo )2
{
(
)2 }
x − xo
= 1+
(y − yo )2
y − yo
(
)
= 1 + y ′2 (y − yo )2 ′
′
問題 1
(6)
y ′′ (x)(y − yo + dy) + y ′2 = −1
(7)
ただし，最終段階で dy は微小量として無視した．式 (6) に代
入して，
(
ρ = (1 + y )
1 + y ′2
y ′′
)2
=
(1 + y ′2 )3
y ′′2
(8)
よって，以下の式を得る．
(1 + y ′2 ) 2
|y ′′ |
3
ρ=
曲線 y = cos(x) の各点における曲率半径を求めな
ただし，x 軸を水平方向に定め，重力加速度を g とする．
y ′′ (x)dx(y − yo + dy) + y ′ (x)dy = −dx
′2
2
さい．また，この曲線上の質点の運動方程式を求めなさい．
差を計算すると，
2
1.5
2
y (x + dx) = y (x) + y (x)dx に注意しながら (5) の 2 式の
1 + y ′2
y ′′
1
図 1 放物線 y = x 上の点の曲率半径
′′
∴ y − yo = −
0.5
x
(9)
1