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高 2文系　数学 B　1学期期末考査対策 2（ベクトル）　20120626
１
２
３
次の条件を満たすベクトル a と b のなす角 h を求めよ。
3 点 A0a 1，B0b 1，C0c 1 を頂点とする ¦ABC の辺 BC を 2：1 に外分する点を D，
平行四辺形 ABCD において，対角線 BD を 9：10 に内分する点を P， 辺 AB を 3：2 に
(1)　a ' 0， b =2 a ，a +2b と 3a - b が垂直
辺 AB の中点を E とする。線分 ED を 1：2 に内分する点を F とするとき，点 F の位置
内分する点を Q，線分 QD を 1：2 に内分する点を R とするとき，3 点 C，P，R は一
(2)　a =4， b = U 3 ， 2a -5b = U 19
ベクトルを a，b，c を用いて表せ。
解説
解説
解説
(1)　0a +2b 1503a - b 1 であるとき　0a +2b 1 ･ 03a - b 1 =0
2
よって　3 a +5a･b -2 b
2
ゆえに　3 a +5 a b cos h -2 b
2
2
=0
2
2
2
整理すると　5 a 0 2cos h -1 1 =0
1
a ' 0 であるから　cos h =
2
a +b
1
1
= a+ b
e=
2
2
2
よって
f =
2e + d
a + b 1 + 0-b + 2c 1
=0
3
1+2
=
1
2
a+ c
3
3
0,( h ( 180, であるから　h =60,
t　0a +2b 1503a - b 1 から　0a +2b 1 ･ 03a - b 1 =0
2
2
=0
1=0
2
2
a･b
よって　cos h =
a b
=
a
2a
2
2
=
1
2
0,( h ( 180, であるから　h =60,
(2)　2a - 5b
2
2
=4 a -20a･b +25 b
2
=4 % 4 2 -20 % 4 % U 3 % cos h +25 % 0U 3 1 2
=139-80U 3 cos h
2
=19 であるから　139-80U 3 cos h =19
よって　cos h =
120
3
3
=
=U
2
80U 3
2U 3
0,( h ( 180, であるから　h =30,
E
1
a
e
B
F
f
D
d
O
c
3
2
CQ=CB+BQ= b + d であるから
5
2
C
b
A
10b + 9d
CP=
…… ①
19
2
2 b + d +d
5
2CQ + CD
CR=
=
3
3
8
=
9
10b + 9d
…… ②
15
①，② から　CR=
19
CP
15
よって，3 点 C，P，R は一直線上にある。
b =2 a を代入して整理すると　50a･b - a
ゆえに　a･b = a
A
-b + 2c
=-b +2c
d =
2-1
b =2 a を代入して　3 a +10 a cos h -2 % 4 a =0
よって　3 a +5a･b -2 b
CB= b，CD= d とすると
3 点 D，E，F の位置ベクトルを，
それぞれ d，e，f とすると
=0
2
2a - 5b
直線上にあることを証明せよ。
Q
2
B
D
2
R
1
10
P
9
C
４
５
６
△OAB の辺 OA を 2：3 に内分する点を P，辺 OB を 4：5 に内分する点を Q とする。
平行四辺形 ABCD において，辺 AB を 2：1 に内分する点を E，辺 AD の中点を F，
平行四辺形 ABCD の辺 AB を 3：2 に内分する点を E，辺 AD を 2：1 に内分する点を
AQ と BP の交点を R，OA= a，OB= b とおくとき，OR を a，b を用いて表せ。
線分ED と線分 CF の交点を K とする。
F，線分 BF と線分 CE の交点を K とする。AB= a，AD= b とするとき，AK を a，b
(1)　AK を AB= b，AD= d で表せ。　(2)　EK：KD を求めよ。
を用いて表せ。
解説
AR：RQ= s：0 1 - s1 とすると
= 0 1 - s1 a +
2
4
sb　…… ①
9
3
OR= 0 1 - t 1OB+ tOP
2
ta + 0 1 - t 1b　…… ②
5
a' 0，b' 0，aTb であるから，①，② より
1- s =
2
4
t， s =1- t
5
9
これを解くと　s =
よって　OR=
27
25
， t=
37
37
10
12
a+
b
37
37
t　△OPB と直線 AQ にメネラウスの定理を適用して
OA PR BQ
=1
･
･
AP RB QO
5 PR 5
･
･ =1 から PR：RB=12：25 となり
3 RB 4
R
s
A
AK= 0 1 - s 1AE+ sAD=
Q
1 -t
解説
(1)　EK：KD= s：0 1 - s 1 ，CK：KF= t：0 1 - t 1 とすると
4
P
BR：RP= t：0 1 - t 1 とすると
=
解説
O
OR= 0 1 - s1 OA+ sOQ
1-s 5
t
B
一方　AK= 0 1 - t 1AC+ tAF= 0 1 - t 10 b + d 1 + t･
d
2
9
5 3
： =5：3
8 8
2
sb
3
3
AK= 0 1 - t 1AE+ tAC = 0 1 - t 1 a + t0a + b 1
5
B
2
3
2
よって　0 1 - s 1a + sb =
+ t a + tb
3
5
5
5
3
1
5
，t = よって　AK= b + d
8
4
4
8
(2)　(1) から　EK：KD= s：0 1 - s 1 =
AK= 0 1 - s 1AB+ sAF = 0 1 - s 1a +
E
2 1-s1
t
b' 0，d' 0 で，b と d は平行でないから　0
=1- t，s =13
2
これを解いて　s =
D
F
K
t
= 0 1 - t1 b + 1 - d
2
8
A
2
1 - s 1b + sd
30
BK：KF= s：0 1 - s 1 ，EK：KC= t：0 1 - t 1 とし，
C
8
9
a' 0 ，b' 0 ，aTb であるから
3
2
2
1- s = + t， s = t
5
5
3
これを解いて　s =
2
A
F 1
D
F 1
D
1 -s
3
E t
2 s K
1-t
C
B
6
4
13
4
，t =
よって　AK=
a+
b
19
19
19
19
t　△ABF と直線 CE について，メネラウスの定理を利用する。
DA と CE の交点を J とすると
J
3
BC：AJ=2：3 から
AJ=
よって　3
3
BC= AD
2
2
FJ
FA + AJ
=
JA
JA
25OP + 12OB
10
12
=
a+
b
OR=
12 + 25
37
37
=
2
A
△EBCQ△EAJ
1-s
E
2 s K
C
B
2
3
13
AD + AD
3
2
6
13
=
=
9
3
3
AD
2
2
メネラウスの定理から
AE BK FJ
3
s
13
= ･
=1
･
･
･
EB KF JA
2 1-s 9
よって　s =
6
6
6 2
したがって　AK= 0 1 - s 1AB+ sAF= 1 a+
･ b
19
19
19 3
13
4
=
a+
b
19
19
8
9