! 用紙:A4のレポート用紙 ! 表紙:科目名,学籍番号,名前を書く. ! 注意1:途中式や考え方を書ける部分は必 ず書くこと.全部,答えのみにならない ように注意. ! 注意2:左上を必ずホッチキスで止めるこ と.止めるのは,一カ所でよい. ! 第1章 集合 ! 第4節 分配則 ! 第5節 ド・モルガンの法則 ! 第5節 集合族 ! 第6節 集合の分割 命題1.3(分配則) , , を集合とする.このとき, A B C A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) 命題1.4(対象差) , を集合とする.このとき, A B ! A A B = (A \ B) [ (B \ A) B = (A [ B) \ (A \ B) 証明:ベン図より明らか. A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A C B C C C A BA B A A C B A B B A A A\B B A B\A B B 命題1.5 定理1.6 , を集合とする.このとき, B A を全体集合, , を A B U の部分集合とする. U |A [ B| = |A| + |B| ! A |A \ B| 証明:ベン図より明らか. B A B このとき, ! A[B =A\B A\B =A[B 証明:ベン図より明らか. ! 全体集合U={1,2,3,4,5},A={1,2}, A A B B A[B =A\B A A\B =A[B B 定理1.6 A1 , A2 , . . . , Ak を を全体集合, U U の部分集 合とする.このとき, A1 [ A2 [ · · · [ Ak = A1 \ A2 \ · · · \ Ak A1 \ A2 \ · · · \ Ak = A1 [ A2 [ · · · [ Ak B={5}とする.このとき,以下が成り立 つことを確かめよ. 定義1.1(再掲) 集合:「もの」の集まり 要素:もの 定義1.9 集合族:集合の集まり 要素:集合 ! 例1.7 ! 問1.8:以下のうち正しいものはどれか. ! {{1}, {2}, {3}} ! {;, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}} ! {{a}, {e}, {a, b}, {b, c}, {c, d, e}, {a, b, c, d, e}} ! 問1.7 ! を空集合とする. と はどう違うか? ; ; {;} 定義1.10 命題1.8 Aを集合とすると,Aのべき集合: とは, 2A Aの部分集合すべてが要素である集合族である. ! ! A について,以下が成り立つ. 例1.8:A={1,2,3}とすると, 2A = {;, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 問1.8:A={0,1}とする.Aのべき集合 2A は? {1} 2 {1} {1} ✓ {1} {1} 2 {{1}} {1} ✓ {{1}} 1 2 {1, {1}} 1 ✓ {1, {1}} {1} 2 {1, {1}} {1} ✓ {1, {1}} ;2; ;✓; ; 2 {;} ; ✓ {;} 121 1✓1 1 2 {1} 1 ✓ {1} |2A | = 2|A| 証明: S ✓ A を任意の部分集合とする. a2A S 集合 を,それぞれの について, ! a S ! が に入らない a S ! が に入る 0 1 とした0/1の列に対応させる. ! A = {a, b, c} 例: のとき,べき集合 は? 2A 2A = {;, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} ; {a, b} 000 {a} 100 {c} 001 {b} {a, c} {b, c} 010 {a, b, c} 110 101 Z ! 問題1.11: の分割となる例をあげよ. A8 = A1 [ A2 [ · · · [ Ak すべての部分集合の集合和がAと等しくなる. i, j : i 6= j 2.すべての について, Ai \ Aj = ; 任意の2つの部分集合の共通要素がない ! 第1章 集合 ! 第4節 分配則 ! 第5節 ド・モルガンの法則 ! 第5節 集合族 ! 第6節 集合の分割 A4 A7 1.A 111 E O Z とすれば, と は の分割である. A3 を集合とする. が以下の2つを満たすとき, A1 , A2 , . . . , Ak ✓ A A A1 , A2 , をAの分割という. . . . , Ak 011 E O ! 例1.9: を偶数の集合, を奇数の集合 A 定義1.11 A2 A1 A5 A6 ! 第1章章末問題 3,4,6,7
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