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中学校3年【式の計算の利用２／３時間・多項式16／18時間】
（東京書籍:新しい数学３ P29）
「不思議な公式の証明！」
～性質が成り立つ理由を式を使って説明する～
☆本時のねらい：展開や因数分解を利用して図形の性質を証明することができる。
☆本時の工夫点：①証明のかき方に慣れるために，教科書の証明を読み取り，理解する
時間を設定する。
②面積を求める公式 S=al に円の半径 r や正方形の一辺 x がなくなって
いることに目を向けさせ，なぜなくなっているのか，その理由を記
述することも取り入れる。
【思考の開始】
半径rｍの円形の土地の周囲に，幅ａｍの道があります。この道の面積をＳ㎡，
道の真ん中を通る円の周の長さを l ｍとするとき S=al となります。
S=al の式からどんなことが分かりますか。式を問題文
の語句を使って表しましょう。
・（道の面積）
＝（道幅）×（道の真ん中を通る円の周の長さ）
・道の面積は，道幅と道の真ん中を通る円の周の長さを
かけると求まる。
☆学習課題
『図形の性質（公式）が成り立つことを証明しよう』
【思考の取り出し】
道の部分の面積を求めるには，どうすればよいでしょうか。
・大きい円の面積から小さい円の面積を引けばよい。
道の部分の面積を求める式を立てましょう。
・Ｓ＝π（r ＋ a）２－π r ２
S=al を証明すると，教科書のようになり
ます。この証明をよく読んで，意味が分か
らないところに下線を引きましょう。
○かかれている証明を理解することも大切な勉強です。
時間を十分にとって証明を読ませて理解させましょう。
○円の面積や周の長さを求める式などの既習事項の確認
が必要な場合もあります。
【思考の深化】
ここからペアになって，下線を引いたところについてお互いに教え合いましょう。
S=al は，土地の形が円でなくても成り立ちます。
正方形でも成り立つことを証明しましょう。
☆記述のポイント！
この道の真ん中を通る線の長さ l ｍを式で表すと
l ＝４ x ＋π a・・・①
一方，この道の面積Ｓを式で表すと ○教科書の円の証明を参考にさ
Ｓ＝４ ax ＋π a ２
せて，かかせましょう。
＝ a（４ x ＋π a）
・・・②
○直線とかどの部分に分けて考えさせましょう。かどの４つの部分を集めると
１つの円になることに気付かせましょう。
このように土地の形が円でも正方形でもS=alが成り立つことが分かりま
した。Ｓを求めるのに，r や x がなくなりました。r や x が分からなく
てもＳが求まるのはなぜでしょうか。理由をノートにかきましょう。
☆記述のポイント！
・①の式を②の式に代入したときに，文字 r や x が消去されてしまうから S=al に
r や x がない。
・l の中に r や x が含まれているから。
○公式には，r や x が入っていないが，面積には円の半径や正方形の一辺が関係している
ことを確認しましょう。
○他の図形の場合も同様に S=al となるのか問い掛けることも大切です。
【思考の整理】
今日は，土地が円や正方形の場合にS=alを証明しま
した。他の図形でも同様になるか確かめると力が付
きます。例えば長方形でも同様に考えられます。
l
○長方形も，道幅を a，真ん中の道を l とすると面積 S=al となることを確認
しましょう。
○土地の形を円や正方形など，条件を変えても公式が成り立つことを確認さ
せることが大切です。「形を変えたらどうなるか？」という問いが生徒から
生まれるようにしたいものです。
今日の学習を振り返って，新しく分かったこと，疑問に思ったこと，更に
確かめてみたいことなどを自分の言葉でノートにまとめましょう。
本授業アイディア例との関連
小学校：数学的な考え方の評価規準
中学校：数学的な見方や考え方の評価規準
中１年７月
中２年５月
中３年５月（前時）
（本時）
［文字式の利用］
［文字式の利用］
数量の関係や法則な
どを，文字を用いた
式でどのように表す
のかや，式が何を意
味しているのかを考
えることができる。
文字を用いて表現し
たり，目的に応じて
式を変形したり，そ
の意味を読み取った
りして，命題が成り
立つことを説明する
ことができる。
［式の計算の利用］
数の性質が成り立
つことを，数量及
び数量の関係を捉
え，方針を明らか
にして，文字を用
いた式で説明する
ことができる。
［式の計算の利用］
図形の性質が成り
立つことを，数量
及び数量の関係を
捉え，方針を明ら
かにして，文字を
用いた式で説明す
ることができる。
a