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Math-Aquarium【定理・公式の証明】対数の性質
対数の性質
a＞0，a≠1，M＞0，N＞0 で，k が実数のとき
1
logaMN＝logaM＋logaN
2
log a
3
logaMk＝klogaM
M
＝logaM－logaN
N
証明 1
logaM＝x，logaN＝y とおくと M＝ax，N＝ay
このとき MN＝axay＝ax＋y
よって logaMN＝x＋y＝logaM＋logaN
証明 2
logaM＝x，logaN＝y とおくと M＝ax，N＝ay
このとき
よって
M
ax
＝ y ＝ax－y
N
a
log a
M
＝x－y＝logaM－logaN
N
証明 3
logaM＝x とおくと M＝ax
このとき Mk＝(ax)k＝akx
よって logaMk＝kx＝klogaM
底の変換公式
a，b，c は正の数で，a≠1，c≠1 のとき logab＝
log c b
log c a
証明
logab＝r とおくと ar＝b
この両辺の c を底とする対数を考えると logcar＝logcb
対数の性質 3 から
rlogca＝logcb
a≠1 より logca≠0 であるから
ポイント
r＝
log c b
log c a
すなわち logab＝
対数の定義と指数法則を用いる。
log c b
log c a