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第11回 7月15日
物質移動工学（11）
～反応を伴う物質移動の解析～
7.5D 定常拡散方程式の特別な場合
（一次元，物質移動面積一定）
N Az   D AB
dC A C A
dx A

( N Az  N Bz )  CD AB
 x A ( N Az  N Bz )
dz
C
dz
2. 等モル相互拡散
N Az  N Bz  0
N Az   D AB
dC A
D (C  C A2 )
 const.  AB A1
dz
z 2  z1
3. Aの一方拡散
N Bz  0
N Az  
D AB
dC A
1 D AB (C A1  C A2 )
 const. 
1  C A / C dz
x BM
z 2  z1
気体の場合
N Az 
D AB P ( p A1  p A2 )
RTp BM
z 2  z1
4. 境界面での拡散と化学反応
（例）触媒表面で反応
触媒表面

z = z1で xA= xA1
NBz
NAz
z
z1
A→2B
z = z2で xA= xA2
z 2  z1  
z2
N Bz  2 N Az
dx A
dx A
 x A ( N Az  2 N Az )  CD AB
 x A N Az
dz
dz
CD AB dx A

 const.（定常）
1  x A dz
N Az   CD AB
N Az
C, D AB = const.
z2
xA2
1
A1
N Az z dz  CD AB x
dx A
CD AB 1  x A1
 N Az 
ln
1  xA

1  x A2
N Az 
CD AB

ln
1  x A1
1  x A2
①瞬間表面反応（Aが表面に到達した瞬間 2Bになる
N Az 
CD AB

ln
CD AB
1  x A1

ln(1  x A1 )
1  x A2

0
xA2= 0）
（7.5-23）
②遅い表面反応（1次反応）
k1' ：反応定数（const.）
N Az  const.（定常）  N Az
z  z2
 k1' C A  k1' Cx A
x A  const.
x A2  x A 
N Az 
N Az
k1'C
CD AB

触媒表面

NBz
NAz
ln
1  x A1
（7.5-26） z1
1  N Az / k1'C
z
z2
例題7.5-2 (p.495)
境界における拡散と化学反応
分圧101.32 kPa の点1から，2.00 mm 離れた触媒表面上の点2 まで純粋ガスAが
拡散し，点2 で化学反応 A→2B が起こっている。成分Bは定常状態で反対方
向に拡散する。全圧はP＝101.32 kPaであり，温度はT＝300 K，拡散係数はDAB
＝0.15×10－4 m2/sである。
（a）瞬間表面反応のときの xA2 と NAz を求めよ。
（b）遅い表面反応のとき，k1′＝5.63×10－3 m/sとして，xA2 と NAz を求めよ。
【解答】
  2.00  10 3 m, T  300 K, P  p A1  101.32 Pa, D AB  0.15  10 4 m 2 /s
C  P / RT  101.32  103 /(8314  300)  4.062  10  2 kmol/m3
x A1  p A1 / P  101.32  103 / 101.32  103  1.00
（a）瞬間表面反応より，式 (7.5-23) を用いる
N Az
4.062  10 2  0.15  10 4

ln1  x A1  
ln1  1.00
3

2.00  10
 2.112  10  4 kmol/(s  m 2 )
CD AB
-
（b）遅い表面反応より，式 (7.5-25) を用いる
k1  5.63  10 3 m/s
x A2  N Az / k1C  N Az /(5.63  10 3  4.062  10  2 )  N Az / 2.287  10  4
式(7.5-25)に代入して，
N Az
4.062  10 2  0.15  10 4
1  1.00

ln
2.00  10 3
1  N Az / 2.287  10  4


 3.047  10 4  0.6931  ln 1  N Az / 2.287  10 4
試行錯誤法で解くと，
N Az  1.004  10 4 kmol/(s m 2 )
x A2  1.004  10 4 / 2.287  10 4  0.4390

5. 相内での拡散と均一反応
B相中にA成分（非常に希薄）
N Az   D AB
Aは分子拡散
dC A
dz
相内で A→C の反応（反応によりAは消滅）
単位体積あたりの反応速度（1次）  k'C A [Kmol/(m3∙s])
z～z+Dzで物質収支（定常）
N Az z S  N Az
z  Dz
 N Az

N Az

dN Az
 k'CA
dz
z  Dz
Dz
S  k'CA ( SDz )  0
z
 k'CA
dC A
d
( D AB
)  k'C A
dz
dz
断面積 S [m2]
N Az
z
z+Dz
DAB一定なら
d 2C A
k'

CA
2
D AB
dz
B.C.
（7.5-32）
CA= CA1 at z = 0
CA= CA2 at z = L
(7.5-32)式の導出方法,別解
C A
 v  C A  DAB  2C A  RA
t
0
0
定常
対流物質移動
 DAB
d 2C A
 k'CA
2
dz
 2C A
z 2
 k'C A
（7.5-17）
（参考）
CA  A1e Bz  A2e Bz （一般解）
d 2C A
k'
2
Bz
 Bz
2

B
(
A
e

A
e
)

B
C

CA
1
2
A
2
dz
DAB
C A1  A1  A2
CA2  A1e BL  A2e BL
C A2  C A1e  BL
A1 
e BL  e  BL
C A2e Bz  C A1e  B ( L z )  C A1e B ( L z )  C A2e  Bz
CA 
e BL  e  BL

C A2 sinh( Bz )  C A1 sinh( B( L  z ))
sinh( BL )
C A 2 sinh(
CA 
 k'

k'
z )  C A1 sinh 
( L  z )
DAB
 DAB

sinh(
k'
L)
DAB
B
k'
DAB
C A1e BL  C A2
A2 
e BL  e  BL
7.5E 半無限媒体中の非定常拡散と反応
表面
CA=CA0
単位体積あたりの反応速度（1次）
 k'C A [kmol/(m3・s)]
B相→半無限
A：希薄
0
反応（相内） A+B→C
∞
z
分子拡散 N Az   D AB
C A
z
時刻 t = t～t+Dt，z = z～z+Dz でシェルバランス
(C A
t  Dt
 C A t ) SDz  N Az
z
SDt  N Az
z  Dz
SDt  k'C A ( SDzDt )
C A
N Az

 k'C A
t
z
DAB一定なら
C A
 2C A
 D AB
 k'C A
2
t
z
I.C.
B.C.
CA= 0
at t = 0, z > 0
CA= CA0 at t > 0, z = 0
CA= 0
at t > 0 , z = 
C A
 2C A
 DAB
 k'CA
t
z 2
CA= 0
B.C.
at t = 0, z > 0
CA= CA0 at t > 0, z = 0
CA= 0
at t > 0 , z = 
（解：導出は省略）

CA
1
 exp  
C A0 2


1
 exp 
2

k
DAB
k
DAB



z



z  erfc
 kt
2 D t

AB






z



z  erfc
 kt
2 D t

AB



2

erfc(
x
)

1


※



x
0
2

e  x dx 
