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赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
4STEP の考え方 (数学 c)
第 2 章 極限
などなど．
2 無限等比数列
189
.Point/
まずは，初項が 0 でないことを意識し，公
比 r を x で表そう．無限等比数列 frn g が
無限等比数列 frn g の (一般項の) 極限のよう
収束するのは ¡1 < r 5 1 ときですが，
すを正確に暗記すること．
¡1 < r < 1 と r = 1 で収束先が異なるこ
r > 1 のとき lim rn = 1
n!1
r = 1 のとき lim rn = 1
n!1
j r j< 1 のとき lim rn = 0
n!1
r 5 1 のとき 振動 (極限はない)
とに注意しよう．
190
問題集下のヒントを参照のこと．
(1) は ¡1 <
x
5 1 を解くことになり
1 + 2x
ますが，勝手に分母をはらってしまわないよ
この結果から，無限等比数列 frn g(の一般項)
うに．
が収束するのは
(2) は無限等比数列 farn g の収束条件なの
¡1 < r 5 1
で，初項 a が 0 かどうかで場合分けせねばな
りません．
ときであることがわかる．
191
無限等比数列 frn g の極限の様子を r による
場合分けを思い出そう．(1)(2)(3) で r に始
187
めから制限が付いているので，その部分は除
上のポイントに従うだけ．
外して考えます．始めはなるべく r で細かく
188
n
無限等比数列 fr g が収束するのは ¡1 <
場合わけして考えたほうがよいでしょう．細
r 5 1 ときです．したがって，とりあえずは
かく場合分けして最後に同じ結論をまとめる
式の中に ¡1 より大きく 1 以下の数の n 乗
のです．(3) に悩むかもしれません．途中で
1
1 n
#
; と考えることがポイント．
=
rn
r
を作ることを目標に変形するのですが，その
際に，分母が 0 にならないように十分注意す
定数
ること．なお，
= 0 も利用しよう．た
1
とえば，
192
r 5 1 と き で す ．こ の 問 題 の 場 合 ，公 比
x
x
r= 2
なので，¡1 < 2
51
x + 2p
x + 2p
が全て実数 x で成立するような p の範囲を
(1) は分母分子を 2n で割ります．
5
3¡0
2n
¡!
3
1+0
1+ n
2
3¡
3 ¢ 2n ¡ 5
=
2n + 3
求めよということ．この問題の場合は p > 0
なのでそのまま分母をはらっても問題ないで
す．したがって，不等式
(2) は分母分子を 3n で割っても 2n で割って
も構いません．例えば 3n で割ってみると，
¡x2 ¡ 2p < x 5 x2 + 2p
2 n
;
2
0
3
=
¡!
4
3n ¡ 4
1¡0
1¡ n
3
n
無限等比数列 frn g が収束するのは ¡1 <
#
が全ての実数 x で成立するような p の範囲
を求めることが目標．本質的に数学 a の範
囲ですね．
n
(3) は分母分子を 3 で割ろう．この場合は，
2n や 4n で割るとダメです (なぜダメなのか
は実際に割ってみて各自考えよう)．
2n
n
4 ¡1
2 ¡1
= n
=
3n + 5
3 +5
#
4 n
1
; ¡ n
3
3
5
1+ n
3
193
まずはそれぞれの漸化式を解こう．基本中の
基本．これが解けないと理系の資格なし！
an を n で 表 す こ と が で き れ ば ， n ! 1
と す れ ば 数 列 fan g の 極 限 が 分 か り ま す ．
な お ，極 限 を 求 め た 後 ，も と の 漸 化 式 で
赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
an = an+1 = ® とおいて ® を求めてみよ
4STEP の考え方 (数学 c)
197 3n を作りだすために，とりあえず，問題文の
う．そして何かを感じ取ろう．
194
式に h = 2 を代入してみよう．すると，
分数タイプ (分子が an の項のみ) の漸化式
3n = 1 + 3n +
も基本中の基本．an を n で表すことができ
れば，n ! 1 とすれば数列 fan g の極限が分
この式を変形して，
かります．なお，極限を求めた後，もとの漸
n
をうまく何かでハサ
3n
メないでしょうか．
化式で an = an+1 = ® とおいて ® を求めて
な お ，こ の 問 題 は 証 明 も さ る こ と な が ら
みよう．そして何かを感じ取ろう．
195
9n(n ¡ 1)
2
結 果 を し っ か り と 理 解 し ，で き れ ば 暗 記
し て お き た い と こ ろ ．こ の 問 題 の 結 論 は
一般の分数タイプの漸化式．このタイプは
n
= 0．このことは n よりも 3n の方
3n
がはるかに大きいということ，つまり n も
lim
ノーヒントで出ることはなく必ず誘導がつき
n!1
1
とおくよう
an ¡ 2
指示されているので，これをうまく用いて bn
3n も同じ 1 に発散するが，1 にも大小があ
ます．今回の場合，bn =
ることを意味しています．一般に，指数関数
に関する漸化式を作ることを目標にします．
しかし，なぜ bn =
うか．
1
とおくのでしょ
an ¡ 2
ax のほうが一般の n 次関数 (いわゆる整関
数) よりも圧倒的に大きいのです. つまり
一般の分数タイプの漸化式を本質を理解して
lim
1
とおくのか，
an ¡ 2
どのような変形をすれば bn の漸化式が得ら
いる人は，なぜ bn =
n!1
整関数
=0
指数関数
が成立します．このことは覚えておいたほう
れるのかわかるのですが，本質を知らない人
がよいです．
は，やや計算が面倒ですが確実な方法で臨む
しかありません．つまり，bn =
1
を
an ¡ 2
1
an =
+ 2 と変形して，もとの漸化式に
bn
代入するのです．まずは bn を求めてから an
を求めよう．n ! 1 とすれば数列 fan g の
極限が分かります．
なお，一般の分数タイプの漸化式については
犬プリで詳しく解説しましたね．
196 3
項間の漸化式は以前に犬プリで説明済
み．そちらを参照にしてください．まずは
an+2 = t2 , an+1 = t, an = 1 とおいて t
の 2 次方程式を立てるのでした．
198
このタイプの漸化式は初登場ですが犬プリで
解説済み．指数型 an+1 = an p タイプは，両
辺の対数をとることで通常の等比数列に変形
できるのでした．例えば，10 を底とする対
数をとると，
p
log10 an+1 = log10 an = p log10 an
ここで log10 an = bn とおけば，
bn+1 = pbn
となり，fbn g が等比数列になります．