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複素関数論 演習問題解答
木村泰紀∗
2014 年 6 月 20 日出題
問題 1. 関数 f (z) =
1
について, 次の問いに答えよ.
z(z − 1)2
(i) f (z) を部分分数分解せよ.
(ii) |z − 1| < 1 をみたす z ∈ C に対し, z0 = 1 におけるローラン展開を求めよ.
(iii) |z| < 1 をみたす z ∈ C に対し, z0 = 0 におけるローラン展開を求めよ.
解答 (i) f (z) を部分分数分解するには,
f (z) =
b
c
a
+
+
z
z − 1 (z − 1)2
として, a, b, c を求めればよい. 通分して
a
b
c
a(z − 1)2 + bz(z − 1) + cz
+
+
=
2
z
z − 1 (z − 1)
z(z − 1)2
az 2 − 2az + a + bz 2 − bz + cz
=
z(z − 1)2
(a + b)z 2 + (−2a − b + c)z + a
=
.
z(z − 1)2
これが f (z) と等しいことから, 係数を比較して a + b = 0, −2a − b + c = 0, a = 1 をみたすことがわかる. こ
のことより a = 1, b = −1, c = 1 を得る. よって f (z) の部分分数分解は
f (z) =
1
1
1
−
+
.
z
z − 1 (z − 1)2
(ii) (i) の結果より, 1/z の項を考えると, z0 = 1 のまわりで正則なのでテイラー展開できて
∞
∞
∑
∑
1
1
=
=
(1 − z)n =
(−1)n (z − 1)n .
z
1 − (1 − z) n=0
n=0
よって, z0 = 1 におけるローラン展開は
∞
f (z) =
∑
1
1
−
+
(−1)n (z − 1)n
2
(z − 1)
z − 1 n=0
= (z − 1)−2 − (z − 1)−1 + 1 − (z − 1) + (z − 1)2 − · · ·
∗
東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/
1
となる.
(iii) (i) の結果より, −1/(z − 1) の項を考えると, z0 = 0 のまわりで正則なのでテイラー展開できて
−
∞
∑
1
1
=
=
zn.
z−1
1 − z n=0
一方, 1/(z − 1)2 の項を考えると, z0 = 0 のまわりで正則なのでテイラー展開できる. g(z) = 1/(z − 1)2 =
(z − 1)−2 とすると
g 0 (z) = −2(z − 1)−3
g 00 (z) = 6(z − 1)−4
g 000 (z) = −24(z − 1)−5
···
g (n) (z) = (−1)n (n + 1)!(z − 1)−n−2
(n = 0, 1, 2, . . . )
より
g (n) (0)
(−1)n (n + 1)!(0 − 1)−n−2
=
= (−1)n (n + 1)(0 − 1)−n−2 = (−1)−2 (n + 1) = n + 1.
n!
n!
したがって, g(z) の z0 = 0 でのテイラー展開は
g(z) =
∞
∑
(n + 1)z n .
n=0
以上より, f (z) の z0 = 0 におけるローラン展開は
f (z) =
∞
∞
1 ∑ n ∑
+
z +
(n + 1)z n
z n=0
n=0
∞
=
1 ∑
+
(n + 2)z n
z n=0
= z −1 + 2 + 3z + 4z 2 + 5z 3 + · · ·
となる.
2