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【交流】
☆電気振動
I
q
C
L
-q
q
dI
=L
C
dt
回路方程式：
電荷保存：I = −
dq
dt
2 式より
! 2 "
q
d q
=L − 2
C
dt
d2 q
1
=−
q
dt2
CL
これは単振動と同じタイプの方程式である。
(参考)
m
d2 x
= −kx
dt2
よって q は単振動で変化することがわかる。t = 0 で q = Q0 とすると ω =
$
q = Q0 cos
1
t
CL
電流は t ＝ 0 で i = 0 として
dq
i=−
= Q0
dt
$
1
sin
CL
$
1
t せるろ
CL
のように電荷と電流は振動する。
1
#
1
CL
なので
q
I
Q0
I0
T
T
ー
Q0
I
ー 0
また，エネルギー原理は W外 = 0 よりエネルギー保存が成立し
1 2
q2
Q2
Li +
= 0
2
2C
2C
このように電流が周期的に変化するときこれを交流と呼ぶ。
2
☆交流回路
例として電源電圧を V = V0 sinωt としたときの抵抗Ｒ，コンデンサーＣ，コイルＬの状
態を調べよう。
(i) 抵抗Ｒ
R
回路方程式：RI = V0 sinωt
I=
V0
sinωt
R
I, V の位相が同じであると分かる
(ii) コンデンサーＣ
q
-q
C
q
= V0 sinωt
C
回路方程式：
電荷保存：I =
I=
dq
dt
d
π
(CV0 sinωt) = ωCV0 cosωt = ωCV0 sin(ωt + )
dt
2
I は V より位相が π2 進むと分かる
(iii) コイル L
3
L
回路方程式：L
dI
= V0 sinωt
dt
な tr
I=
!
dI =
!
V0
V0
V0
π
sinωt =
(−cosωt) =
sin(ωt − )
L
ωL
ωL
2
I は V より位相が π2 遅れると分かる
4
☆実効値
電流，電圧の最大値を
√
2 で割ったものである。
最大値
実効値＝ √
2
☆リアクタンス
抵抗に相当するもの。電圧の最大値（実効値）を電流の最大値（実効値）で割ったもので
ある。
(i) 抵抗 R
(ii) コンデンサー 1
ωC :容量リアクタンス
(iii) コイル ωL：誘導リアクタンス
☆平均消費電力
(i) 抵抗
RI 2 =
V2 2
V2
sin ωt = 0
R
2R
電流と電圧の実効値をかけあわせても同様の結果となる。
※ 厳密には発生ジュール熱は，
!
RI dt =
2
!
V2 2
sin ωtdt
R
より，これを sin2 ωt の１周期 T =
P =
"T
0
V2
2
R sin ωtdt
T
=
V2
R
π
ω
π
2ω
π
ω
あたりの平均で考えた
=
V2
2R
と導出する。
(ii) コンデンサー
IV = V0 sinωtωCV0 cosωt = ωCV 2 sinωtcosωt = 0
(iii) コイル
IV = V0 sinωt
V0
V2
(−cosωt) = − 0 sinωtcosωt = 0
ωL
ωL
抵抗のみで消費電力があることも押さえておこう。
5
☆ＲＬＣ直列回路
次のＲＬＣ直列回路の例を考える。
I
q
R
-q
L
C
I = I0 sin ωt とおくと，
VR = RI0 sin ωt
dq = Idt より，q =
∴ VC =
VL = L
!
Idt = −
I0
cos ωt
ω
q
I0
=−
cos ωt
C
ωC
dI
= ωLI0 cos ωt
dt
電源電圧 V = VR + VC + VL
I0
cos ωt + ωLI0 cos ωt
ωC
"
#
1
= RI0 sin ωt + ωL −
I0 cos ωt
ωL
$
"
#2
1
= R2 + ωL −
I0 sin(ωt + φ) ≡ V0 sin(ωt + φ)
ωC
= RI0 sin ωt −
ここで，tan φ =
ωL −
R
1
ωC
※ 電源電圧の位相が V = V0 sin ωt と表されるときは，電流の位相は φ 遅れるので，
V0
I=%
&
R2 + ωL −
'
1 2
ωC
sin(ωt − φ) ≡ I0 sin(ωt − φ)
6
次は並列ＬＣ回路の例である。
L
-q
q
R
C
並列部にかかる電圧を V1 sin ωt とすると，
VL = VC = V1 sin ωt
L
dIL
V1
= V1 sin ωt ∴ IL = −
cos ωt
dt
ωL
q
= V1 sin ωt
C
dq
= ωCV1 cos ωt
dt
!
"
1
I = IL + IC より，I = ωC −
V1 cos ωt
ωL
!
"
1
∴ VR = RI = R ωC −
V1 cos ωt = I0 cos ωt
ωL
∴ IC =
電源電圧 V = VR + V1 sin ωt
!
= R ωC −
=
1
ωL
#
"
V1 cos ωt + V1 sin ωt
!
"2
1
R2 ωC −
+ 1V1 sin(ωt + φ)
ωL
!
ここで，tan φ = R ωC −
I0 =
!
ωC −
V の振幅 V0 は，
#
V0 =
1
ωL
R2 + $
"
1
ωL
"
V1 より，
1
ωC −
% I0
1 2
ωL
7
☆ベクトル図を用いた解法
上のＲＬＣ直列回路の例を考える。
電源電圧を V = V0 sinωt としたとき，本来ならば次の計算式になる。最大電流 I0 とする
と
回路方程式：V0 sinωt = RI0 sin(ωt + φ) +
I0
π
π
sin(ωt + φ − ) + ωLsin(ωt + φ + )
ωC
2
2
から φ を決めるがやや計算が面倒であった。そこで次のベクトル図を用いれば容易に求
めることが可能となる。
★電圧の最大値についてのベクトル図
V0
ωL I 0
δ
RI 0
I0
ー
ωC
V0 =
!
R2
+
"
1
− ωL
ωC
#2
I0
合成抵抗に対応する量をインピーダンス Z といい
Z=
!
R2
+
"
#2
1
− ωL
ωC
よって電流は
I=
V0
sin(ωt − δ)
Z
tanδ =
ωL −
R
1
ωC
※直列部については電圧に対するベクトル図を描く。並列部については電流に対するベ
クトル図を描く
8
上の LC 並列回路について考える。
並列部にかかる電圧の最大値を V1 とするとして,
電流に対するベクトル図をかくと抵抗に流れる電流の最大値 I0 は
ωCV1
V1
V1
ー
ωL
I0 = IC + IL =
!
"
1
ωC −
V1
ωL
次は電圧に対するベクトル図より
RI0
V0
V1
V0 =
#
R2 + $
1
ωC −
% I0
1 2
ωL
インピーダンス Z =
となる。また ωC −
1
ωL
#
R2 + $
1
ωC −
%
1 2
ωL
= 0 となる周波数で I = 0 となり電流はコイルとコンデンサーの
みの振動電流となりこれをＬＣ共振という。そのときの振動数は
ω
1
f=
=
2π
2π
&
1
CL
である。このとき振動電流のエネルギー保存も成立している。
9
☆ベクトル図の理由
Asinα + Bsinβ = Csinγ
の関係を求めるために
−
→
A = (Acosα, Asinα)
−
→
B = (Bcosβ, Bsinβ)
−
→
C = (Ccosγ, Csinγ)
で
−
→ −
→ −
→
A+B =C
−
→ −
→
すなわち γ は A + B の x 軸とのなす角，C は対角線の長さになることがわかる。つまり
下図をかけば C と γ の関係が得られる。
C
B
β
A
γ
α
x
10
映像：
（典型）交流２
基本問題 1
映像：
（典型）交流１ 過渡現象・電気振動 ★★★★
図のような回路があり，起電力 E の電池，抵抗値 R の抵抗，電気容量 C のコンデンサー，自己インダクタン
ス L のコイルがつながれている。
L
R
C
E
(1) スイッチをいれた直後に抵抗，コンデンサー，コイルに流れる電流をそれぞれ求めよ。
(2) 定常状態で抵抗，コイルに流れる電流を求めよ。またコンデンサーに蓄えられた電気量を求めよ。
(3) スイッチを切った後，コンデンサーとコイルには振動電流が流れた。この電流の最大値，コンデンサーに
蓄えられた電荷の最大値，振動の周期 T を求めよ。
(4) スイッチを切った時刻を t = 0 として t =
T
6
での電流値と電荷量をそれぞれ求めよ。
(創作問題)
3
交流 ★★★
図１のように抵抗 R の抵抗 R，電気容量 C のコンデンサー C，自己インダクタンス L のコイル L, スイッ
チ S1 からなる回路があり，この回路にスイッチ S2 を通して交流電源，あるいは直流電源を接続することがで
きる。交流電源の角周波数は ω であり，直流電源の電圧は V である。どちらの電源もその内部抵抗の抵抗値
は小さいので無視する。
スイッチ S1 を開き，スイッチ S2 を端点ｄ側に閉じて，回路を直流電源に接続した後，しばらくするとこの
回路を流れる電流は一定値 ( ァ ) となった。このとき，コンデンサー C に蓄えられる電荷は一定値（ イ
）である。その後，スイッチ S2 を開いて回路を開いて回路を直流電源から切り離し，スイッチ S1 を閉じ
ると，L と C の間には振動電流が流れた。その振動の周期は（ ゥ ）であり，L に蓄えられる磁場のエネル
ギーと C に蓄えられる静電気のエネルギーの和は（ エ ） である。この振動電流は長時間にわたって回
路を流れ続けるが，L に含まれるわずかな抵抗によって減衰し，やがて０になった。
次に，スイッチ S1 を閉じたまま，スイッチ S2 を端点 e 側に閉じて，回路を交流電源に接続する。しばらく
すると，回路には一定振幅の周期的な電流が流れた。このときのｂｃの c を基準としたときの電位を V1 sin ωt
とすると，コンデンサー C に流れる電流は図中の矢印の方向を正方向として ( オ ) × cos ωt となり，コイ
ル L に流れる電流は（ カ ）× cos ωt となる。抵抗 R を流れる電流は C と L を流れる電流の和として計
算でき，R の両端の電位差，すなわち，ab 間の電位差は（ キ ）× cos ωt となる。ここで三角関数の合成
をすると ac 間の電位差の最大値は ( ク ) と求められる。交流電源の角周波数 ω が
√1
LC
に等しくないと
き，回路全体に加わる電圧，すなわち ac 間の電位差の最大値を，回路を流れる電流の最大値で割ると（ ヶ
）となる。この量は交流に対する回路全体の抵抗のはたらきを表しており，インピーダンスと呼ばれる。
S1
a
R
b
L
C
c
e
S2
d
(12 同志社大)
3
コイルを含んだ回路 ★★★★
図１で E は起電力 E の電池、R1 , R2 はそれぞれ R1 , R2 の抵抗、L はインダクタンス L のコイル、C は電気
容量 C のコンデンサー、S1 , S2 , S3 はスイッチである。ただし、電池およびコイルの内部抵抗は無視でき、電
流は図１の矢印の方向を正、ab 間の電圧は a 側が高電位のときを正とする。
R1
a
S1
S2
S3
L
C
R2
E
b
図１
I
最初すべてのスイッチは開いており、またコンデンサーは帯電していない。S1 を閉じて十分に時間が経過する
とコイル L に流れる電流が一定となった。コイル L に流れる電流、および蓄えられるエネルギーはいくらか。
II
I の状態でスイッチ S2 を閉じた。
(1) スイッチ S2 に流れる電流はいくらか
(2) その後、スイッチ S1 を開いた。その直後のスイッチ S2 に流れる電流、ab 間の電圧、および抵抗 R2 で消
費される電力はいくらか
(3) その後コイル L を流れる電流は減少する。減少の速さは R2 の値の大小によってどう変わるか。理由と
ともに示せ。
III
II では、I の状態でスイッチ S2 を閉じた場合の減少を考えた。ここでは II と異なり I の状態でスイッチ S3 を
閉じた。
1
√
(1) その後、スイッチ S1 を開くとコイル L に流れる電流は図２の様に正弦波的に振動した。周期は 2π LC
であった。図３の座標を写し、その上に ab 間の電圧の時間変化の様子を描け。ただしスイッチ S1 を開いて
からの時間を t とする。
t
0
図2
t
0
図3
(2) コイル L の電流が０となった瞬間にスイッチ S3 を開いた。コンデンサー C に蓄えられた電荷はいく
らか。
(98 東京大)
2
映像：
（難問）交流２ 交流 ★★★★★
図１のように，電気抵抗（抵抗値 R）およびコンデンサー（電気容量 C ）が周波数の変化できる交流電源につ
ながれている。この電源の交流電圧の最大値（以下，振幅と表す）は一定で，その値を V0 とする。電源の内
部抵抗は無視できるとする。
ァ
R
V0
イ
C
ゥ
はじめにスイッチを閉じ，電源の周波数を調整して角周波数 ω0 の交流を回路に流して，十分な時間が経
過した。 問１ このとき回路に流れる交流電流の振幅と，抵抗で消費される電力の時間平均値を求めなさい
問２ 次に，スイッチを開いて十分長い時間が経過すると，抵抗にかかる交流電圧は問１のときの半分の値に
なった。この抵抗の電圧が時刻を t として
V0
2
cos ω0 t と表されるとき，回路を流れる交流電流を表す式と，コ
ンデンサーにかかる交流電圧を表す式を書きなさい。ただし，抵抗の電圧は図１の解と点イに対する点ァの電
位として，コンデンサーの電圧は点ゥに対する点イの電位とする。また，回路の電流は点ァから点イに流れる
向きを正とする。
問３ 抵抗とコンデンサーの交流電圧の和が電源の交流電圧に等しいことを用いて，コンデンサーの電気容量
C を ω, R, t, V0 の中から必要なものを用いて表しなさい。
問４
スイッチが開かれているときに，抵抗とコンデンサーで消費される電力の時間平均値を C, R, t, V0 の中から必
要なものを用いて表しなさい.
4
10
A
交
流
電
圧
の
振
幅
[V]
8
6
B
4
2
0
1
2
3
周波数[kHz]
図２のグラフは，図１の回路のスイッチを開いた状態にして，抵抗とコンデンサーにかかる交流電圧の振幅
を，交流電源の周波数を変えて測定した結果である。
問５ 図２のグラフでコンデンサーにかかる電圧の振幅を示しているのは，曲線 A（実線）
，曲線 B（破線）の
どちらであるか。
問６ 交流電源の周波数が２ kHz のときの抵抗とコンデンサーにかかる電圧をグラフから読み取り，交流電
源の振幅を有効数字２桁で求めなさい
問７ 図１の回路の抵抗値は 100 Ωである。コンデンサーの電気容量を有効数字２桁で求めなさい
問８ 問１から問４の条件で用いた角周波数 ω0 の交流電源のとき，問２で説明したように，抵抗にかかる電
圧の振幅は，スイッチを閉じた状態からスイッチを開いて十分長い時間が経過すると半分になる。この角周波
数 ω0 を有効数字１桁で求めなさい。
(千葉大)
5
変圧器と電力 ★★★★★
I
実効値 V の交流電圧 v =
√
2V sin ωt を発生する、内部抵抗 R0 の電源がある。ただし、ω は角周波数、t は
時刻である。この電源を用いて、抵抗 R に電力を供給する。電力は交流の１周期にわたり平均したものを考
えるものとして以下の設問に答えよ。
図１のように、この電源に抵抗 R をつないだ。
(1) 抵抗 R で消費された電力 P を求めよ
(2) R の値を変化させたとき、この電力 P を最大にする R の値を求めよ。またそのときの P の値はいくら
か。
(3) 電力 P が最大となるとき、電源の内部抵抗 R0 で消費される電力 P0 はいくらか。
R0
R
v
電源
II 次に，電源と抵抗 R の間に図２のように変圧器を入れた。この変圧器は理想的変圧器であり，1 次側のコ
イルの巻き数と２次側のコイルの巻き数の比を 1 : k とすると，１次側の電圧 e1 と 2 次側の電圧 e2 の間には
e2 = ke1 かつ ki2 = i1
の関係が成り立つものとする。ただし，e1 , e2 , i1 , i2 は瞬間値（瞬時値）である。
(1) 抵抗 R で消費される電力 P ! を V.R0 , R, k で表せ。
(2) k の値を変化させたとき，この電力 P ! を最大にする k の値を求めよ。またそのときの P ! の値はいく
らか。
(3) 電力 P ! が最大となるとき，電源の内部抵抗 R0 で消費される電力 P0 はいくらか。
!
6
１次側
２次側
R0
R
v
電源
変圧器
(93 東大)
7
映像：
（難問）交流１
振動電流 ★★★★★
図１のようにばね定数 k1 ,k2 のばねＡ，Ｂが直列に連結されている。ばねの先には質量 m のおもりが連結さ
れている。またばねの自然長の位置を x = 0 として鉛直下向きに x 軸を設定する。重力加速度を g として以
下の問いに答えよ。
k1
k2
0
m
x
図１
(1) 物体が位置 x にあるとき物体の加速度を a として運動方程式を立式せよ。
(2) 今 x = A の位置から静かに物体を放したとする。このとき時刻を t = 0 としてばねＡの伸びの時間変化を
求めよ。ただし放す位置はつり合いの位置より下方とする。
図２のような回路を考える。電池の起電力を V0 ，コンデンサー A,B の電気容量をそれぞれ C1 , C2 ，コイルの
自己インダクタンスを L とする。はじめスイッチ S1 , S2 は開いており，コンデンサーには電荷は蓄えられて
いない。
S1
S2
A
C1
L
V0
B
C2
図１
(3) スイッチ S1 を入れて充電が完了した後のコンデンサーＡの上極板に蓄えられている電荷を求めよ。
1
スイッチ S1 を開いてスイッチ S2 を入れた。
(4) この時刻を t = 0 としたときのコンデンサーＡの上極板に蓄えられている電荷の時間変化を求めよ。
(5) コンデンサーＡの上極板に蓄えられている電荷が初めてはじめの電気量の半分になるときの時間を求めよ。
コンデンサーＡのみに Q0 (上極板に Q0 ，下極板に −Q0 ) の電荷が蓄えれている状態でスイッチ S2 を入れた。
このときの時刻を t = 0 とする。
(6) コンデンサー B の下極板の電荷の時間変化を求めよ。
(7) このとき回路を流れる電流の最大値となるときのコンデンサーＢの下極板の電荷を求めよ。
(創作問題)
2
過渡現象 ★★★★★
図１のような電圧 E の直流電源をつないだ RC 回路がある。抵抗 R, コンデンサーの電気容量を C とする。
C
R
E
a
b
図１
(1) コンデンサーに蓄えられる電荷 Q と回路を流れる電流の大きさ I の時間変化のグラフを描け。また十分時
間がたった後の電荷 Q は電流のグラフ I の面積でどこにあたるか。斜線で記せ。
(2) コンデンサーの静電エネルギーが 12 CE 2 で与えられることを示せ。
(3) 充電が完了するまでに回路で発生したジュール熱の総和を求めよ。
(4) 十分時間がたった後電源を切った。この直後に電源を流れる電流の大きさを求め，向きを a,b から選べ。
1
図２のような２つの電圧 E の直流電源をつないだ RL 回路を考える。抵抗 R, コイルの自己インダクタンス
を L とする。回路にはスイッチ S1 .S2 が接続されており，S1 から時間 T おきにスイッチを切りかえるとする。
L
S1
E
S2
R
図2
(5)0 < t < 3T で電流の時間変化のグラフを描け。ただし，反時計回りを電流の正の向きとし，T >>
る。
L
R
とす
(6) コイルに I0 の電流が流れているとき，蓄えられる磁気エネルギーが 12 LI02 で与えられることを示せ。
(7) 電池の仕事率が PD ,R で発生するジュール熱 PJ , コイルの磁気エネルギーの単位時間の変化率を ∆UL と
するときこれらの関係式を導け。
(創作問題)
2
交流 ★★★★★
図１のような電圧 V0 sinωt の交流電源をつないだ RCL 回路がある。抵抗 R, コンデンサーの電気容量を C ，
コイルの自己インダクタンスを L とする。
R
L
C
図１
(1) 流れる電流の最大値を I0 としたとき抵抗，コンデンサー，コイルにかかる電圧の最大値を求めよ。
(2)I0 の値を求めよ。また I0 を最大とする交流の周波数を求めよ。
(3) 回路全体で消費される平均消費電力を求めよ。
図２のような電圧 V0 sinωt の交流電源をつないだ RCL 回路がある。抵抗 R, コンデンサーの電気容量を C ，
コイルの自己インダクタンスを L とする。
コイル，コンデンサーの並列部にかかる電圧の実効値を V1 とする。
L
R
C
図2
(4) 抵抗を流れる電流の実効値を求めよ。
周波数をある値にしたところ抵抗には電流が流れなくなった。
(5) このときの周波数と回路全体で消費される平均消費電力を求めよ。
図 3 のような電圧 V0 sinωt の交流電源をつないだ並列 RCL 回路がある。今抵抗体として同一の豆電球を容易
し，抵抗値は R で一定でオームの法則を満たすとする。電源をいれたところ豆電球は交互に点滅をくり返し
1
た。
L
R
R
C
図3
(6) このときの R を L, C を用いて表せ。
(創作問題)
2