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２０１４年５月２０日幾何学２（藤岡敦担当）授業資料
1
§6. Gauss-Weingarten の公式
平面曲線または空間曲線を考える際には, Frenet の標構というものを微分したものを Frenet の
標構自身の 1 次結合で表し, Frenet の公式または Frenet-Serret の公式という線形常微分方程式
を導く. 曲面の場合にこれに対応するものが Gauss の公式と Weingarten の公式という線形偏微
分方程式である.
曲面
p : D → R3
の単位法ベクトルを ν とする.
このとき, 任意の (u, v) ∈ D に対して pu (u, v), pv (u, v), ν(u, v) は R3 の基底となるから, D で定
義されたある関数 Γuuu , Γvuu , . . . , Γvvv が存在し


puu = Γuuu pu + Γvuu pv + Lν,




p = Γu p + Γv p + M ν,
uv
uv u
uv v
(∗)
u
v

p
=
Γ
p
+
Γ
p
+
M
ν,

vu
u
v
vu
vu



p = Γu p + Γv p + N ν
vv
vv u
vv v
と表される. ただし, p の第二基本形式を
Ldu2 + 2M dudv + N dv 2
とおいた. 上の式を Gauss の公式, 関数 Γuuu , Γvuu , . . . , Γvvv を Christoffel の記号という. なお, 関
数は必要に応じて微分可能であるとしているから, puv = pvu で, (∗) の第 2 式と第 3 式は本質的
には同じものである. 特に,
Γuuv = Γuvu , Γvuv = Γvvu
である.
Christoffel の記号は第一基本形式を用いて表すことができる. 上で注意したことより, 以下では
(∗) の第 1 式, 第 2 式, 第 4 式に現れる Christoffel の記号を求めよう.
p の第一基本形式を
Edu2 + 2F dudv + Gdv 2
とする.
まず,
1
hpuu , pu i = hpu , pu iu
2
1
= Eu
2
だから, (∗) の第 1 式と pu の内積を取ると,
1
Eu = Γuuu E + Γvuu F.
2
また,
hpuu , pv i = hpu , pv iu − hpu , pvu i
1
= Fu − hpu , pu iv
2
1
= Fu − Ev
2
§6. Gauss-Weingarten の公式
2
だから, (∗) の第 1 式と pv の内積を取ると,
1
Fu − Ev = Γuuu F + Γvuu G.
2
同様に, (∗) の第 4 式より,
1
1
Gv = Γvvv G + Γuvv F, Fv − Gu = Γvvv F + Γuvv E.
2
2
次に,
1
hpuv , pu i = hpu , pu iv
2
1
= Ev
2
だから, (∗) の第 2 式と pu の内積を取ると,
1
Ev = Γuuv E + Γvuv F.
2
同様に,
1
Gu = Γvuv G + Γuuv F.
2
これらを行列を用いてまとめると,
(
)(
(
)
)
1
E F
Γuuu Γuuv Γuvv
Eu
Ev 2Fv − Gu
.
=
2 2Fu − Ev Gu
F G
Gv
Γvuu Γvuv Γvvv
ここで, EG − F 2 は常に正であることに注意すると,
(
(
)−1 (
)
)
u
u
u
1 E F
Γuu Γuv Γvv
Eu
Ev 2Fv − Gu
=
v
v
v
2 F G
2Fu − Ev Gu
Gv
Γuu Γuv Γvv
(
)(
)
1
G −F
Eu
Ev 2Fv − Gu
=
.
2
2(EG − F ) −F E
2Fu − Ev Gu
Gv
よって,

GEu − 2F Fu + F Ev


,
Γuuu =



2(EG − F 2 )




GEv − F Gu



Γuuv =
,

2)

2(EG
−
F





2GFv − GGu − F Gv


Γuvv =
,


2(EG − F 2 )
2EFu − EEv − F Eu


,
Γvuu =


2(EG − F 2 )





EGu − F Ev


Γvuv =
,



2(EG − F 2 )




EGv − 2F Fv + F Gu


Γvvv =
.



2(EG − F 2 )
次に, Weingarten の公式について述べよう.
§6. Gauss-Weingarten の公式
3
まず,
hν, νi = 1
の両辺を u, v で微分すると,
hνu , νi = hνv , νi = 0
となる.
よって, D 上のある関数 P, Q, R, S が存在し
)
(
) (
)(
νu
P Q
pu
=
R S
pv
νv
と表される.
ここで,
(
)
pu
pv
(t
)
(
)
E F
F G
pu , t pv =
.
一方,
hνu , pu i = hν, pu iu − hν, puu i
= −L.
また,
hνu , pv i = hν, pv iu − hν, pvu i
= −M.
同様に,
hνv , pu i = −M, hνv , pv i = −N
だから,
(
)
νu
νv
(t
(
)
pu , t pv = −
)
L M
M N
.
よって,
(
)
P Q
R S
したがって,
(
=−
)(
L M
M N
E F
F G
)−1
)
(
)
1
G −F
L M
=−
·
EG − F 2
−F E
M N
(
)
1
F M − GL F L − EM
=
.
EG − F 2
F N − GM F M − EN
(

F L − EM
F M − GL


pu +
pv ,
νu =
2
EG − F
EG − F 2

F N − GM
F M − EN

νv =
pu +
pv .
2
EG − F
EG − F 2
この式が Weingarten の公式である.
§6. Gauss-Weingarten の公式
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問題 6
1. 曲面
p:D→R
上の弧長により径数付けられた曲線
γ : I → R3
を
γ(s) = p(u(s), v(s)) (s ∈ I)
と表しておき, Γuuu , Γvuu , . . . , Γvvv を p に対する Christoffel の記号とする.
(1) γ の測地的曲率ベクトルを Christoffel の記号を用いて表せ.
(2) γ が測地線となるとき, γ がみたす微分方程式を求めよ. この微分方程式を測地線の方程
式という.
(3) p が
p(u, v) = (u, v, 0) ((u, v) ∈ R2 )
により定められる平面のとき, 測地線の方程式は
u00 = v 00 = 0
となることを示せ. 特に, 平面の測地線は直線の一部となることが分かる.
2. 曲面
p : D → R3
の第一基本形式が
Edu2 + Gdv 2
と表されるとき, p に対する Christoffel の記号は
Γuuu =
Ev
Gu
Ev
Gu
Gv
Eu
, Γuuv =
, Γuvv = − , Γvuu = − , Γvuv =
, Γvvv =
2E
2E
2E
2G
2G
2G
によりあたえられる.
(1) §4 において扱ったように, 柱面の第一基本形式は
(x˙ 2 + y˙ 2 )du2 + dv 2
によりあたえられる. ただし, x, y は u のみの関数である. このとき, 上の Christoffel の記
号を求めよ.
(2) a > 0 とする. 問題 4 において扱ったように, 半径 a の球面の一部の第一基本形式は
a2 du2 + a2 sin2 udv 2
によりあたえられる. このとき, 上の Christoffel の記号を求めよ.
(3) 問題 4 において扱ったように, 回転面の第一基本形式は
{
}
(f 0 (u))2 + (g 0 (u))2 du2 + (f (u))2 dv 2
によりあたえられる. このとき, 上の Christoffel の記号を求めよ.
§6. Gauss-Weingarten の公式
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問題 6 の解答
1. (1) 合成関数の微分法より,
γ 0 = pu u0 + pv v 0 .
ν を p の単位法ベクトル,
Ldu2 + 2M dudv + N dv 2
を p の第二基本形式とすると,
γ 00 = puu (u0 )2 + puv v 0 u0 + pu u00 + pvu u0 v 0 + pvv (v 0 )2 + pv v 00
= pu u00 + pv v 00 + puu (u0 )2 + 2puv u0 v 0 + pvv (v 0 )2
= pu u00 + pv v 00 + (Γuuu pu + Γvuu pv + Lν) (u0 )2 + 2 (Γuuv pu + Γvuv pv + M ν) u0 v 0
+ (Γuvv pu + Γvvv pv + N ν) (v 0 )2
}
{
= u00 + Γuuu (u0 )2 + 2Γuuv u0 v 0 + Γuvv (v 0 )2 pu
{
}
{
}
+ v 00 + Γvuu (u0 )2 + 2Γvuv u0 v 0 + Γvvv (v 0 )2 pv + L(u0 )2 + 2M u0 v 0 + N (v 0 )2 ν.
よって, γ の測地的曲率ベクトルは
{
}
u00 + Γuuu (u0 )2 + 2Γuuv u0 v 0 + Γuvv (v 0 )2 pu
{
}
+ v 00 + Γvuu (u0 )2 + 2Γvuv u0 v 0 + Γvvv (v 0 )2 pv .
(2) (1) より, 求める微分方程式は
{
u00 + Γuuu (u0 )2 + 2Γuuv u0 v 0 + Γuvv (v 0 )2 = 0,
v 00 + Γvuu (u0 )2 + 2Γvuv u0 v 0 + Γvvv (v 0 )2 = 0.
(3) まず,
pu = (1, 0, 0), pv = (0, 1, 0)
だから, p の第一基本形式は
du2 + dv 2 .
よって, p に対する Christoffel の記号はすべて 0.
したがって, (2) より, 測地線の微分方程式は
u00 = v 00 = 0.
2. (1) Christoffel の記号の式に
E = x˙ 2 + y˙ 2 , G = 1
を代入すると,
Γuuv = Γuvv = Γvuu = Γvuv = Γvvv = 0.
また,
(x˙ 2 + y˙ 2 )u
2 (x˙ 2 + y˙ 2 )
x¨
˙ x + y˙ y¨
.
= 2
x˙ + y˙ 2
Γuuu =
§6. Gauss-Weingarten の公式
6
(2) Christoffel の記号の式に
E = a2 , G = a2 sin2 u
を代入すると,
Γuuu = Γuuv = Γvuu = Γvvv = 0.
また,
(a2 sin2 u)u
2a2
= − sin u cos u.
Γuvv = −
更に,
(a2 sin2 u)u
2a2 sin2 u
cos u
=
sin u
= cot u.
Γvuv =
(3) Christoffel の記号の式に
E = (f 0 (u))2 + (g 0 (u))2 , G = (f (u))2
を代入すると,
Γuuv = Γvuu = Γvvv = 0.
また,
{(f 0 (u))2 + (g 0 (u))2 }u
2 {(f 0 (u))2 + (g 0 (u))2 }
f 0 (u)f 00 (u) + g 0 (u)g 00 (u)
=
.
(f 0 (u))2 + (g 0 (u))2
Γuuu =
更に,
{(f (u))2 }u
2 {(f 0 (u))2 + (g 0 (u))2 }
f (u)f 0 (u)
=− 0
.
(f (u))2 + (g 0 (u))2
Γuvv = −
最後に,
{(f (u))2 }u
2(f (u))2
f 0 (u)
.
=
f (u)
Γvuv =