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2014/11/22
4章 ベルヌーイの定理とその応用
4.1
の定理（Bernoulli’s theorem）
非粘性流体に関するオイラーの運動方程式(3.20)は，密度が一定の
非圧縮性流体では流線sに沿って容易に積分でき，次式となる．
v
v2 p
ds

  gz  ct 
 t
2 
ここで，c(t)は
あるので，
(4.1)
で時間の関数である．定常流では第一項は0で
v2 p
  gz  const. [J/kg]
2 
(4.2)
運動エネルギー ＋ 圧力エネルギー ＋ 位置エネルギー ＝ 一定
を表す．流体では，
エネルギーを含む合計が一定であることに注
意を要する．圧力エネルギーpAx/Axは
に働く圧力がなす仕
事／流体質量であり，4.2節では流れエネルギーとも呼ばれる．
式(4.2)に密度をかけると
なる．
当たりのエネルギーを表す次式と
1 2
v  p  gz  const.
2
[J/m3]
(4.3)
ここで，左辺の各項は，
（dynamic pressure），
（static
pressure），
（hydrostatic pressure）と呼ぶ．さらに，式(4.2)
を重力加速度gで割ると次式が得られる．
v2
p

 z  const.  H [m = J/N]
2 g g
(4.4)
ここで，左辺の各項は，
ヘッド（velocity head），圧力ヘッド（
pressure head），
ヘッド（potential head）と呼び，合計を総ヘッド
あるいは全ヘッド（total head）と呼ぶ．ヘッドは
と呼ばれること
もあり，流体の単位重量当たりのエネルギーを表す．
式(4.2)～(4.4)は，いずれも
（非粘性・非圧縮性流体）の定常
流に対するベルヌーイの式（Bernoulli equation）と呼ばれる．
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ベルヌーイの定理は
で成り立
v12
ち，管路内の流れでも摩擦等によるエ
2g
ネルー損失が無視できれば適用できる．
例えば，右図の場合A1 > A2 であるので， p1
g
連続の式より
となるが，速度ヘッ
2
2
ドが v1 / 2 g から v2 / 2 g へ増えた分だけ
p2はp1より低くなり，全ヘッドは一定の
ままである．
全ヘッド
v22
2g
p2
g
圧力ヘッド
v1
A1
ポンプと水車の理論動力と効率
ポンプ（pump）は水などの液体を加圧して
装
置である．例えば，質量m（= V）の水を高さHまで揚げ
るためには，水にVgHの位置エネルギー[J]を与える必要
がある．水に与える動力[W] ＝エネルギー／時間は体積流
量がQ = V/Dt [m3/s]であるので，
．
速度ヘッド
(4.5)
ただし，揚水時に壁面摩擦等の損失ヘッド
Hlossが生じるので，
Hの代わりに全揚
程Hp = Hloss + Hを用いる必要がある．
v2
A2
x
pump
x
ポンプの効率pは，モータやエンジンからポンプに伝えられた
Ps（shaft power）の何割が水に伝わるかを表すものである．
p 
Pp
Ps

QgH p
(4.6)
Ps
（hydraulic turbine）は水の持つ位置エネルギーを使って回転軸に
軸動力Psを伝える装置であり，ポンプとは逆の役割を果たす．水が水
車に入るまでに
の損失ヘッドHlossが生じるので，利用可能な位
置ヘッド，すなわち
（effective head）はHt = H - Hlossに減って
しまう．そのHtによって水車に伝えられる動力Ptを
あるいは
理論出力（theoretical power）と呼び，次式で表わす．
x
(4.7)
水車の効率tは，Ptの何割が発電機を回す回転軸に軸動力
Psとして伝えられるかを表すもので，次式で与えられる．
t 
Ps
Ps

Pt QgH t
turbine
(4.8)
x
2
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4.2 流体のもつエネルギー
ここでは圧力のエネルギーについて説明する．
pの流体が
シリンダー内に入っていて，受圧面積Aのピストンの外側には大気圧
が働いている．そのゲージ圧によってピストンを距離xだけ移動した
ら，シリンダー内の圧力が大気圧と等しくなったとする．その間に流
体は
[J]の仕事をしたので，圧力は仕事をする能力を表すと
考えることができる．そのような圧力のエネルギー[J]を単位質量あた
りで表わすと，pV/V = p/となる．
A
p
x
4.3 全圧と動圧
球面状の先端を持つ円柱に沿う流れにおいて先端Oに衝突する流線を
考える．上流の地点A（円柱の影響なし，O点と同じ高さ）からO点に
近づくにつれて流線上の速度vは減速し，O点でゼロとなる．そのよう
なO点を
（Stagnation point）と呼び，そこでの圧力pOはA点－
O点間のベルヌーイの式より次式で与えられる．
(4.9)
ここで，左辺第一項は
（dynamic pressure）あるいはよどみ圧，第
二項は動圧と区別するために
（static pressure）と呼ばれる．そし
て，両者の和pOは全圧あるいは
（total pressure）と呼ばれる．
Stream line
Ax
O
x
Stagnation point
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4.4 タンクオリフィスからの流れ
大きなタンクの底や側面に設けた小
孔を
（tank orifice）
と呼ぶ．ここでは，そのような小孔か
らの水の流出を数式化する．
小孔の面積Agがタンク水面の面積A
と比べて極端に小さければ，水の流出
に伴う水面の降下は無視できるほどに
小さい．このような場合について，ベ
ルヌーイの式を
に適用する．
p1 
v12
2
 gz1  p 2 
v22
2
(p1 = p2)
p2
縮流部
(ベナコン
トラクタ)
水平基準面
 gz 2
(4.10)
ここで，p1 = p2 = 大気圧，
の条件を上のベルヌーイ式に適用
すると
の定理と呼ばれる次式が得られる．
v22  2 g ( z1  z 2 )  2 gh ⇒
しかし，実際の流出速度vexpは摩擦等
によるエネルギー損失のためにv2よ
りも少し小さくなる．
(4.13)
ここで，Cvを速度係数（velocity
coefficient）と呼ぶ．式(4.13)のvexp
に小孔の断面積Agをかけると体積
流量Qが出そうではあるが，
（contraction）が生じて小孔の有効
断面積が小さくなるので，Qは次
式で与えられる．
(4.11)
1
(p1 = p2)
p2
縮流部
(ベナコン
トラクタ)
水平基準面
Cd：流出係数(= Cv×Cc，discharge coefficient) ≒ 0.6
Cc：縮流係数（= Aj/Ag ，contraction coefficient）≒ 0.65
（ベナコントラクタ部の断面積は穴65%くらいになるとういうこと）
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小孔面積Agが水面の面積Aと比べて無視できな
ければ，水の流出に伴って水面は降下し，式
(4.10)におけるv1は値を持つ．そのような場合，
連続の式
を式(4.10)に代入して整理
すると次式を得る．
v2 
2 gh
1  Ag A
2
2 gh
1  Ag A
2
A 1  Ag A
t1
C d Ag 2 g

h2
h2
dh
h1
h
2 gh
1  Ag A
2
2 A 1  Ag A
2

小孔の
断面積
 Adh
C d Ag
2
(t 2  t1 )   dt  
h
容器の断面積
 dt 
dt  dh  A
（hが減少するのでマイナス）
t2
h1
(4.12)
次に，水位がh1からh2まで低下する時間を求
める．高さhから
間に－dhだけ低下す
ると，流出した体積dVは次式で与えられる．
dV  C d Ag
- dh
C d Ag 2 g

h1  h2
pa
4.5ピトー管（Pitot tube）：流速測定に使用
まず，
を持つ流れ（open channel flow）
に関する速度測定法を説明する．ピトー管よりも
十分に上流の点Aと
の先端点Bの間にベ
ルヌーイの式を適用すると次式を得る．
1
p A  v A2  p B ⇒ v A 
2
p  pA
(4.17)
2g B
g
ここで，
p B  pa  g h  z 

h
pa
，
z
A
B
Open channel flow
(4.18)
を式(4.17)に代入すると
v  v A  2 gh
(4.20)
次に，
（pipe flow）の場合を説明する．点A－点B間の距離
は短く，その間の圧力損失は無視できると考えると（細管内の流れで
は不適であるが），次式が成り立つ．
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pa pa
，
p B  pa  g h0  z 
(4.21)
h
これを式(4.17)に代入すると
v  v A  2 g h0  h
z
(4.23)
A
ただし，上の各式は理論上のものであって，実
際にはピトー管製作時の加工精度や粘性の影響
を考慮して，
Cv（velocity coefficient 
1）を乗じて速度を求める．
pB  p A
g
v  Cv 2 g
h0
B
Pipe flow
(4.24)
圧力差 (PB - PA)は，気流ではU字管水（あるいはアルコール）マノメ
ータで，水流でも流速が大であれば
水銀マノメータや差圧変換
器で測る．その場合，式(4.20)と(4.23)は使えないので，測定法に応じ
て（pB - pA）を正しく求めて式(4.24)に代入して速度を求める．
4.6ベンチュリ管 (Venturi tube)
ベンチュリ管は管内流の流量測定に使われる．水平なベンチュリ管
の上流1と
（throat）2間にベルヌーイの式を立てると
すると
v2 
(4.25)
，v1 = (A2/A1)v2，を代入して整理
1
2
1  ( A2 / A1 ) 2

よって，理論
Qth  A2 v2 
throat
2
1
p1 v12
p 2 v 22



∵z1 = z2
g 2 g g 2 g
z
’
 p1  p2 
(4.26)
ノズル形ベンチュリ管
Qth [m3/s]は
A2
1  ( A2 / A1 )
2
2

 p1  p2 
(4.27)
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実際には二つの断面間でエネルギーの損失があるので，
Q  Cd
A2
2
1  ( A2 / A1 )
2

 p1  p2   A2
2

 p1  p2 
(4.29), (4.31)
であり，は流量係数（discharge
ここで，Cdは0.98～0.97の
coefficient）である．
なお，図示のマノメータでは
は次式となる．
p1  g z  h  p2  gz   ' gh より，
p1  p2   '  gh
これを式(4.31)に代入すると，次式となる．
 ' 
Q  A2 2 gh  1


throat
2
1
z
’
4.7オリフィスとノズル （Orifice, Nozzle）
とノズルは，ベンチュリ管と同じく管内流の流量測定に
使われる．体積流量はベンチュリ管に関する式（4.31）と同じく次式
で求められる．
Q  A2
2

 p1  p2 
(4.38)
ただし，
の値はベンチュリ管におけるの値とは違うので，
使用に際しては次に示す
規格を調べること．
•オリフィス（テキストの図4.7(a)）： JIS Z 8762-2
•ノズル（テキストの図4.7(b)）及びノズル形ベンチュリ管：
JIS Z 8762-3
•円錐形ベンチュリ管（テキストの図4.6と同じ形）： JIS Z 8762-4
オリフィス前後の流れの様子と壁面静圧分布を図4.8に示す．
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オリフィスの1D上流（Dは
管内径）の断面1付近からオリ
フィスによる
の影響が
現れ，縮流が始まり圧力は上
昇し始める．オリフィス通過
後に
は急低下し，縮流は
0.5 D下流の断面2まで続く．そ
の後，
は徐々に広がって，
オリフィスから5Dの地点で元
に戻る．それに伴い，圧力は
次第に回復し，
流れ
における圧力勾配と同じ勾配
をとるようになっていく．
オリフィスは容易に製作できるが，ノズルやベンチュリ管と比べて
圧力損失が大きいのが難点である．なお，圧力p1とp2の測定位置は，
図4.8の断面1と2をとることもあるが，通常はオリフィス板の直前と直
後からとる．
2
4.8サイホン（siphon）
x
h1
右図(a)，(b)において管内を水で満たし
1
x
ておくと，水面の
を駆動力として水
が流下する．このような管路をサイホンと Tank 1
呼ぶ．ここでは，サイホンを通る水のエネ
ルギー損失が無視できるとして，
ならびに流出速度を与える式を導く．
作動限界
水面上の点1と最高点2の間の
式より，
p1
p
v2
 2 
 h1
g g 2 g
h2
3
x
Tank 2
(a)
2
の
(4.39)
x
h1
1x
h2
⇒
 

p 2  p a   gh1  v 2 
2 

(4.40)
3
x
(b)
これより，h1とvが大きいほど圧力p2が下がることが分かる．
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液体の
pvまでp2が下がると，液体中の溶存ガスと水蒸気の気
泡が現れ，その気泡によって流れが途切れてサイホン機能は停止する．
すなわち，サイホンの
は次式で表わされる．
p2  pv
2
(4.41)
x
h1
1
流出速度
x
h2
3
水面上の点1と地点3の間のベルヌーイの Tank 1
式より，
p3 v 2
p1
 h2 

g
g 2 g
x
Tank 2
(4.42)
(a)
なお，図(a)の場合には，サイホンからタンク2に入る水流の持つエネ
ルギーがタンク内で
消散されるので，その消散分として
2
v /2gを右辺に加えた．これを
あるいは廃棄損失と呼び，詳
しくは8.2.2項で述べる．式(4.42)にp1 = p3 = paを代入すると
v  2gh2
(4.43)
9