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解析学 IV 演習試験問題 No.2 2014.12.9
問題 1
集合 G = {(x, x) | x ∈ [0, 1]} は面積確定で |G| = 0 であることを示せ．
(解答例) G を含む有界閉区間 K = [0, 1] × [0, 1] を取る．任意の ε > 0 を取り，n > 3/ε をみた
す自然数 n をとる．K の分割 ∆ = {Ji,j | 1 ≤ i, j ≤ n} を
Ji,j = [(i − 1)/n, i/n] × [(j − 1)/n, j/n] (1 ≤ i, j ≤ n)
で定める．G の定義関数を 1G ，不足和，過剰和を R∗ [1G ; ∆], R∗ [1G ; ∆] で表すと，
R∗ [1G ; ∆] = 0,
R∗ [1G ; ∆] =
n
∑
|Ji,i | +
i=1
n−1
∑
3
3n − 2
< < ε.
(||Ji,i+1 | + |Ji+1,i |) =
2
n
n
i=1
∗
R [1G ; ∆] − R∗ [1G ; ∆] < ε だから 1G は K で可積分，よって G は面積確定． 0 ≤ R∗ [1G ; ∆] < ε
より |G| = 0.
問題 2
集合 A = {(x, y) | 0 ≤ x, y ≤ 1, x, y ∈ Q} が面積確定でないことを A の定義関数を用いて示せ．
(解答例) A を含む有界閉区間 K = [0, 1]×[0, 1] を取る．∆ = {Ji,j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} を K
の任意の分割とする．各 i, j に対して，有理数の稠密性および無理数の稠密性より，Ji,j ∩ A ̸= ∅,
Ji,j ∩ Ac ̸= ∅ が成り立つ．これより
R∗ [1A ; ∆] = 0,
R∗ [1A ; ∆] = 1.
∆ は任意だから，R∗ [1A ] = 0, R∗ [1A ] = 1 となり 1A は可積分でない．よって，A は面積確定で
ない．(R∗ [1A ], R∗ [1A ] はそれぞれ 1A の下積分，上積分を表す．)
問題 3
∫ 1 (∫
√
)
y
sin x dx
dy の積分順序を交換し，その積分値を求めよ．また，積分領域を x-y 平
−y
0
面に描け．
√
(解答例) D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, − y ≤ x ≤ y}, E1 = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 0, − x ≤ y ≤ 1},
E2 = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1} とおく．D は第 1 軸方向に縦線集合，E1 , E2 は第 2 軸方
向に縦線集合で面積確定かつ D = E1 ∪ E2 が成立つ．f (z) = sin x は z = (x, y) の連続関数で
|E1 ∩ E2 | = 0 だから，
)
∫
∫
∫
∫ 1 (∫ √y
sin x dx dy =
f (z) dz =
f (z) dz +
f (z) dz
−y
D
E1
E2
0
)
)
∫ 0 (∫ 1
∫ 1 (∫ 1
=
sin x dy dx +
sin x dy dx
−1
−x
0
x2
∫ 0
∫ 1
=
(1 + x) sin x dx +
(1 − x2 ) sin x dx = 2 − 2 cos 1 − sin 1.
−1
y
y = x2
1
-1
O
1x
y = −x
0