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平成26年9月19日版
回路理論II
Part 4:分布定数回路
千葉大学工学部
電気電子工学科
橋本研也
[email protected]
http://www.te.eng.chiba-u.jp/~ken
1
Lが長い時、SWオン後の応答は？
2
Lが長い時、位相電流の遅れは？
伝送路内での位相遅れが無視できる時
⇒ 集中定数回路で解析可能
伝送路内での位相遅れが無視できない時
⇒ 分布定数回路での解析必要
3
連続体の運動方程式
T(x)
Ax
T(x+x)
T: 応力、 : 質量密度、A: 断面積
運動方程式
u: 変位
x→0では
 2u
Ax 2  T ( x  x) A  T ( x) A
t
 2u T ( x  x)  T ( x) T ( x)
 2 

t
x
x
4
フックの法則
u ( x)
T ( x)  cS ( x)  c
x
S: 歪、 c: 弾性率
変形前
波動方程式
運動方程式に代入すると
 2u
 2u ( x )
 2 c
2
t
x
一般解
変形後
1  2u  2u ( x )

2
2
2
v t
x
u ( x, t )  f  (t  x / v)  f  (t  x / v)
+xへの進行波
ここで v  c /  :波の速度
-xへの進行波
5
マクスウェルの方程式
B
Ε  
t
D
H 
t



 0 であるから
z伝播平面波の場合
x y
B y
E y
E x
Bx



z
t
z
t
H y Dx
H x D y



z
t
z
t
6
真空中では
Dx   0 E x , D y   0 E y
Bx   0 H x , B y   0  0 H y
H y
E x
  0
z
t
H y
E x
 0

z
t
E y
Bx
  0

t
z
E y
H x
 0
z
t
波動方程式
 2 Ex 1  2 Ex
 2
2
v t 2
z
2Ey
z
2
2

1 Ey
 2
2
v t
ここで
v  1 /  0 7 0
同軸線路(径が波長より十分小)
e( x, t )
L
i ( x, t )
i
e
  L  Ri
x
t
i
e
  C  Ge
x
t
静電界、静磁界では

L
log(b / a)
2
2
C
log(b / a )
e:電圧
i:+x方向の電流
L:単位長当たりのインダクタ
ンス
R:単位長当たりの抵抗
C:単位長当たりのキャパシ
タンス
G:単位長当たりの漏洩コン
8
ダクタンス
電信方程式
i
e
  L  Ri
x
t
i
e
  C  Ge
x
t
R, Gを無視すると
e
i
 L
t
x
e
i
 C
t
x
回路的表現
 2e 1  2e
 2 2
2
x
v t
 2i 1  2i
 2 2
2
v t
x
ここで v 
1
LC
e( x, t )  e (t  x / v)  e (t  x / v)
i ( x, t )  i (t  x / v)  i (t  x / v)
+xへの進行波
-xへの進行波
9
e( x, t )  e (t  x / v)  e (t  x / v)
i ( x, t )  i (t  x / v)  i (t  x / v)
から
e( x, t ) e (t  x / v) e (t  x / v)


t
 (t  x / v)
 (t  x / v)
1 e (t  x / v) 1 e (t  x / v)
e( x, t )


v  (t  x / v) v  (t  x / v)
x
e
i


L
 L
x
t に代入すると  e (t  x / v)  C i (t  x / v)

 0
i
e
 t  x / v 
 C
x
t
L
e (t  x / v)  
i (t  x / v)
C
10
特性インピーダンスR0
e   R0i
ここで R0  L / C
i(x,t)
e(x,t)
v
R0
e+
e-:-x方向への進行
波の電圧
ei+
e
R0 
i
e+:+x方向への進行
波の電圧
i-
e( x, t )  e (t  x / v)  e (t  x / v)
i ( x, t )  R e (t  x / v)  e (t  x / v)
1
0
11
境界での反射
i(x,t)
e(x,t)
v
Rl
R0
e+
ei+
i-
e(t,L) = R1i(t,L) から
電圧反射率
e (t  L / v) R1  R0


e (t  L / v) R1  R0
12
電圧反射係数
e (t  L / v) Rl  R0


e (t  L / v) Rl  R0
i(x,t)
e(x,t)
v
R0
Rl
>0の時
<0の時
Rl=の時、 =1
Rl=0の時、 =-1
Rl=R0の時、=0（インピーダンス整合）
Rl0であるから、|1
13
パルスの入射
最初は反射波無し！
x=L
i(x,t)
x=0
Rs
es(t)
v
R0 e(x,t)
Rl
es (t )  Rsi (0, t )  e (0, t ) であるから、
1
0 
i (0, t )  R e (0, t )
R0
e (0, t ) 
es (t )
Rs  R0
R0
e ( x, t ) 
es (t  x / v)
Rs  R0
14
時系列解析
x=0
Rs
片道走行時間 T=L/v
es(t)
i(x,t)
v
x=L
Rl
R0 e(x,t)
0tTではe+のみ
R0
es (t  x / v)
e( x, t )  e ( x, t ) 
Rs  R0
Tt2Tではe-のみ
R0
e( x, t )  e ( x, t )  l
es (t  2T  x / v)
Rs  R0
ここで
Rl  R0
l 
Rl  R0
15
時系列解析
T>0で以下の２つは等価
x=L
x=0
i(x,t)
Rs
es(t)
v
x=0
Rs
i(x,t)
v
Rl
R0 e(x,t)
R0 e(x,t)
x=L
Rl
16
時系列解析続き (nは整数)
2nTt(2n+1)Tではe+のみ
R0
es (t  2nT  x / v)
e( x, t )  e ( x, t )   
Rs  R0
n n
s l
ここで
Rs  R0
s 
Rs  R0
(2n+1)Tt(2n+2)Tではe-のみ
n n 1
s l
e( x, t )  e ( x, t )   
R0
es (t  (2n  2)T  x / v)
Rs  R0
17
一般の信号の場合 ⇒ すべての応答の和
電源
Rs
es(t)
1.
2.
3.
4.
5.
v
R0
負荷
Rl  R0
l 
Rl  R0
Rl
Rs  R0
s 
Rs  R0
右方向へ信号伝搬[伝送信号: es(t)R0/(Rs+R0) ]
左方向へ信号伝搬[伝送信号: les(t)R0/(Rs+R0) ]
右方向へ信号伝搬[伝送信号: sles(t)R0/(Rs+R0) ]
左方向へ信号伝搬[伝送信号： sl2es(t)R0/(Rs+R0)]
以下同様
L=0の時出力最大(反射するほど出力電力少)
S=0の時出力最大(伝送線路へのパワー注入最大)
18
電源
Rs
es(t)
v
R0
負荷
Rl  R0
l 
Rl  R0
Rl
Rs  R0
s 
Rs  R0
直流電源の場合、定常状態では

R0  
Rl
n
n
(l s )   l (l s )  


Rs  R0  n 0
n 0
 Rs  Rl
l=0の時出力最大(反射するほど出力電力少)
s=0の時出力最大(伝送線路へのパワー注入最大)
19
電圧透過係数T
i(x,t)
右端からの反射がない場合
x=0
v1 R1 e(x,t)
i(x,t)
v2 R2 e(x,t)
電圧の連続 e1 (t )  e1 (t )  e2 (t )
1
1


R
e
(
t
)

e
(
t
)

R
電流の連続 1 1
1
2 e2  (t )
1
1
1
1
1
2
1
2
e1 (t ) R  R


e1 (t ) R  R
R2  R1

R2  R1
e2 (t )
2 R11
2 R2
T
 1

1
e1 (t ) R1  R2
R2  R1
右端から反射がない場合、
抵抗との置き換えと等価
T>1となり得る！？ 20
電流反射係数i、電流透過係数Ti
en    Rnin  であるから
i1 (t )
R11e1 (t )
i 
  1
 
i1 (t )
R1 e1 (t )
i2 (t ) R21e2 (t ) R1
Ti 
 1
 T
i1 (t ) R1 e1 (t ) R2
反射パワー
 e1 (t )i1 (t )  i e1 (t )i1 (t )   2 e1 (t )i1 (t )
透過パワー
R1 2
e2 (t )i2 (t )  TTi e1 (t )i1 (t )  T e1 (t )i1 (t )
R2
無損失の場合、入射パワー＝反射パワー＋透過パワー
R1 2
2
  T 1
 i  TTi  1
21
R2
正弦波の伝播
u  u0 cos{2f (t  x / v)}
1
変位
0.5
0
-0.5
-1
5
4
0
20
3
40
60
時間
2
80
100
1
1200
距離x
22
電信方程式
無損失近似
e
i
 L
t
x
e
i
 C
t
x
定常状態
e
  jLi
x
i
  jCe
x
 2 e( x )
2



e( x )
2
x
 2i ( x )
2



i ( x)
2
x
時間因子exp(jt)を仮定
:角周波数(単位時間当たりの位相進み)
=/v:波数(位相定数、単位長当たりの位相遅れ)
v=(LC)-0.5:伝送線路内での位相速度
23
一般解
e( x, t ) 
[ A exp( jx)  A exp( jx)] exp( jt )
i( x, t )  R01[ A exp( jx)  A exp( jx)] exp( jt )
+x方向への進行波
i(x,t)
e+
A+:+x方向への進行波の電圧
 R0
e(x,t)
i+
-x方向への進行波
A-:-x方向への進行波の電圧
i-
R0=e+/i+=e-/i-
e-
R0=(L/C)0.5:特性インピーダン
ス(進行波の電圧と電流の比)
進行方向により電流の方向(極
性)が反転することに注意！
24
F行列表示
e(0)  cos( x)
 i (0)    jR 1 sin( x)
  0

固有値：   exp( jx)
 cos(x)
 jR1 sin(x)
 0
jR0 sin( x) e( x)
cos( x)   i ( x) 
 R0
固有ベクトル： 
1
 R0 
1 
jR0 sin(x) R0  R0  exp( jx)
 R0  R0 


cos(x)   1
1  
exp( jx)  1
1 
1
1
R0  R0  e(0) exp( jx)
 R0  R0  e( x)

1



 1
  i( x) 

1
i
(
0
)
exp(
j

x
)
1

 
 

 

直交モードへの変換
e(0), i(0) ⇒
a(0), b(0)
波動の伝搬
直交モードへの変換
e(x), i(x) ⇒
25
a(x), b(x)
1
R, Gがある場合、/t=jとすると
e
i
  L  Ri
t
x
e
i
  C  Ge
t
x
e( x, t ) 
e
  ( jL  R)i
x
i
  ( jC  G )e
x
[ A exp(kx)  A exp(kx)] exp( jt )
i( x, t )  Z 01[ A exp(kx)  A exp(kx)] exp( jt )
+x方向への進行波
k  ( jL  R)( jC  G )
Z 0  ( jL  R) /( jC  G )
-x方向への進行波
:伝搬定数(: 減衰係数)
:特性インピーダンス
26
負荷Zを接続した場合
i(x,t) x=0
e(x,t)
 R0
e(0, t )  Z li(0, t ) であるから
A Zl  R0


A Zl  R0
Zl
（x=0での）電圧反射係数l
伝送線路内での界分布
e( x, t ) 
A [1   exp(2 jx)]exp( jt  jx)
i( x, t )  R01 A [1   exp(2 jx)]exp( jt  jx)
振幅のx依存性
は時間に依らず
定在波(Standing Wave)
27
伝送線路内での界分布
e(x)  e 1  exp(2 jx)
i(x)  R01 e 1  exp(2 jx)
|e(x)|の最大値emax=|e+|(1+||)
@x=2n
|e(x)|の最小値emin=|e+|(1||)
@x=(2n+1)
|i(x)|の最大値imax=R0-1|e+|(1+||) @x=(2n+1)
|i(x)|の最小値imin=R0-1|e+|(1||) @x=2n
電圧定在波比VSWR (Voltage Standing Wave Ratio)
emax 1  

VSWR 
emin 1  
28
極端な場合

e(x)
(1) 負荷が開放(R=)の場合
R0
節
節
腹
R
腹
腹V(x,t)
 1
I(x,t)
(2) 負荷が短絡(R=0)の場合
  1
V(x,t)
I(x,t)
29
反射が無ければ（無限に長ければ）
e(x) 
[e exp( jx)  e exp( jx)]exp(jt)
i(x)  R01[e exp( jx)  e exp( jx)]exp(jt)
i(x,t)
 R0
e(x,t)
e+
i+
R0
特性インピーダン
スの負荷と等価
30
d: 腹までの距離
2d=

e(x)
R0
節
d/=(
Z
節
腹
腹
V(x,t)
(a) ||=1の場合
d
(b) ||1の場合
VSWR-1

VSWR  1
Vmax
Vmin
d
31
境界での反射
線路１
x=0
 R1
V ( x) 
線路１中では
線路２中では
線路２
 R2
V(1) exp( j1x)  V(1) exp( j1x)


I ( x)  R11 V(1) exp( j1x)  V(1) exp( j1x)
V ( x) 
V( 2) exp( j2 x)  V( 2) exp( j2 x)


I ( x)  R21 V( 2) exp( j2 x)  V( 2) exp( j2 x)
境界(x=0)でV, Iが連続
V( 2)  V(1)  V(1)
R21V( 2)  R11[V(1)  V(1) ]
反射が無いから
V(1) R2  R1
  (1) 
V
R2  R1
電圧反射
係数
( 2)
V
電圧透過 T    2R2
32
係数
V(1) R2  R1
電圧透過係数は１より大きくなる！？
電力反射係数
電力透過係数
パワー保存則
1
1
(1) 2

1
2
( 2) 2

1
1
(1) 2

2

R1  R2 
p 

2
2
1 (1)


R
R

R1 V
1
2
R V
Tp 
R V
R V
4R1R2

2
R1  R2 
p  Tp  1
33
入力から見込んだインピーダンスZe
Ar
Ai
Ar/Ai
  0 exp(2 jL)

R0
L
Zl
0
1  0
A  A
 R0
Z l  1
1  0
R0 ( A  A )
Z1  jR0 tan( L)
1 
Z e  R0
 R0
1 
jZ1 tan( L)  R0
A Z l  R0
0 

A Z l  R0
34
Z  jR0 tan( L)
1 
Z e  R0
 R0
1 
jZ tan( L)  R0
Z  0 の時 Z e  jR0 tan( L)
Z   の時 Z e   jR0 cot( L)
R02
L   / 2 ( L   / 4) の時 Z e 
Z
35
多段縦続の再帰的解析
R2, 2
R3, 3
Ze3
L1
L2
L3
Ze2
R1, 1
R0
Ze1
Z en 1  jRn tan(  n Ln )
Z en  Rn
Rn  jZ en 1 tan(  n Ln )
L=/2 (L=/4)の時
Rn2
Z en 
Z en 1
高インピーダンスほど低イ
ンピーダンスに見える！
36
H3
インピーダンス整合
最大電力伝送の為に RL=RS
電源
RS
ES
負荷
RL
この場合ZL=ZS*
電源 負荷
ZS
ES
ZL
PL 
RL ES
2
RL E S
eL 
RS  RL
2RS  RL 
2
PL RS  RL  ES

 0 である故
3
RL
2RS  RL 
ES
e

最大出力の条件では L
2
2
この場合RL=|ZS|
電源 負荷
ZS
ES
RL
37
スライド 37
H3
Hashimoto, 2006/06/26
最大電力伝送の為に RL=RS
電源
負荷
Rs
Rl
Es
Pl 
Pl
Rl
2
Rl Es
eL 
Rs  Rl
2Rs  Rl 
2
Rs  Rl  Es 2

3
2Rs  Rl 
0
である故
es
最大出力の条件では el 
2
時系列的解析
電源
負荷
Rs
v
es
(1) e (0) 
Rl Es
ES
2
当初はL=と等価
Rs
Rl
Rl  Rs

Rl  Rs
(３) e ( L)  e ( L)  e ( L)(1  )
(２) e ( L)0
0=0の時出力最大 38
規格化振幅
e exp( jx) [e( x)  R0i ( x)]

a ( x) 
2 R0
2 2 R0
e exp( jx) [e( x)  R0i ( x)]

b( x ) 
2 R0
2 2 R0
電信方程式に代入
a ( x)
  j a ( x )
x
b( x)
  j b ( x )
x
直交モード方程式
（aとbは独立に伝搬する）
単位長当たりの変化率が純
虚数の場合、波動の伝搬
39
散乱係数
a1
b1
？
am:入射波の規格化振幅
a2
b2
 b1   S11
   
 b2   S 21
S12  a1 
 
S 22  a2 
線形可逆受動回路ではSji=Sij
bm:反射波の規格化振幅
規格化振幅 : |am|2が電力に相当、位相は同一
単位: dBm (mW)、dB (W)
S21 : 透過係数
挿入損失: -20log10|S21|
S11 :反射係数
反射損失: -20log10|S11|
40
無損失伝送線路の散乱行列表示
b1
a1

R0
a2
b2
L
b1  a2 exp( j L)
b2  a1 exp( j L)
 S11

 S 21
S12  
0
exp( j L) 
  

S 22   exp( j L)
0

41
型回路の散乱行列表示
i1
b1
a1
e1 Y1
em  R0im
am 
2 2 R0
em  R0im
bm 
2 2 R0
ゆえに
i2
Yt
Y1
e2
a2
b2
 i1   Y11 Y12  e1 
   
 
 i2   Y12 Y11  e2 
Y11  Y1  Yt
Y12  Yt
em  2 R0 (am  bm )
im  2 / R0 (am  bm )
 a1   b1 
 Y11 Y12   a1   b1 
      R0 
     
 a2   b2 
 Y12 Y11   a2   b2 42
 1 0 
 Y11 Y12  a1 
 Y11 Y12  b1   1 0 
 
   
  R0 
  R0 

 Y12 Y11  a2 
 Y12 Y11  b2   0 1 
 0 1 
R0Y12 
 b1  1  R0Y11

   
1  R0Y11 
 b2   R0Y12
1
1  R0Y11  R0Y12  a1 
 

  R0Y12 1  R0Y11  a2 
従って
 S11

 S12
1  R0Y11  R0Y12 1  R0Y11  R0Y12 
S12 
1 


  D 
S11 
  R0Y12 1  R0Y11   R0Y12 1  R0Y11 
2
2


1
(
R
Y
)
(
R
Y
)


 2 R0Y12
1
0 11
0 12

 D 
2
2
2
R
Y
1
(
R
Y
)
(
R
Y
)



0 12
0 11
0 12


2
2
D  (1  R0Y11 )  ( R0Y12 )
ここで
43
b
無損失(Unitary)条件
b1
 S11*
 *
 S12
b2 
*
 b1 
b   a1
 2
*
  S11
S 21
* 
S 22   S 21
a2 
*
S

S
*
11
*
21
S12  1 


S 22   1
2
m
m
* t
12
*
22
S   S11
 
S   S 21
  am
2
m
S12   a1 



S 22  a2 
| S11 |2  | S 21 |2  1
| S12 |2  | S 22 |2  1
*
S11S12*  S 21S 22
0
ユニタリ行列： S-1=St* (固有値の絶対値が全て1)
1 | S11 |2  | S 21 |2
1 | S 22 |  | S12 |
2
2
入射エネルギーと
散逸エネルギー
の比
44
周波数によるの変化
+j
Z=+jR0
群遅延  

Z=R0

-1
[]

周波数に対し
て時計回り
+1



Z=0
Z=-jR0
-j
Z=
45
スミスチャート(インピーダンス)
1.0
L
R

実線定Rプロット
破線定Xプロット
2
0.5
5
0.2
ba
-0.2
R=0
10
5
2
1.0
b'
R0
b
L
C
R
0.5
0.2
0.0
10
-10
-5

-2
-0.5
ab (r)a
a
C
R
-1.0
ab
46
スミスチャート(アドミタンス)
R=
L R
ba
2

1.0
0.5
R
実線定Gプロット
破線定Bプロット
0.2
5
b
0.0
0.2
0.5
1.0
2
5
10
10
a'
-10
a
-5
-0.2

-2
L C R
ba (r)b
-0.5
-1.0
C R
ab
47
インピーダンス整合回路
イミタンス
チャート
直列チューニング
並列チューニング
RS  Re[Y ]1
RS  Re[Y 1 ]
L p   Im[Y ]1
Ls   Im[Y 1 ]
RS
ES
RS
Lp
Y
Ls
ES
Y
48
Source
IDT
Source
IDT
直並列チューニング
Y 1  jX s  ( RS1  jB p ) 1
RS
jXs
RS
ES
Y  jB p  ( RS  jX s ) 1
Y
jBp
Source
IDT
ES
jXs
Y
jBp
Source
49
IDT
直並列チューニング
原理的には可能
Y 1  jX s  ( RS1  jB p ) 1
RS
jXs
RS
ES
Y  jB p  ( RS  jX s ) 1
Y
jBp
Source
IDT
ES
jXs
Y
jBp
Source
50
IDT
伝送線路の集中
定数等価回路
R0
Es
半セクションで見れば、
理想トランスと等価
R0
Ls Ls
Cp Cp
R0
Es
Ls
Ls
Cp
Cp
R0
51