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内�容� Contents
[10]�
構造物-地盤系の応答�
 
 
Day 10
Response of a Structure-Soil System�
 
 
 
1層建物の運動方程式� Equation of motion of a 1-story building �
1層スウェイモデル� 1-story sway model �
周期と減衰� Period and dampinb �
伝達関数� Transfer function �
地震応答� Earthquake response
都市防災工学�
Disaster Mitigation in Urban Environment�
構造物−地盤系の応答�
相互作用による建物の動き�
1層建物の運動方程式�
Behavior of a Building under Soil-Structure Interaction
 
Equation of Motion of a 1-Story Building
u0：ベース（建物がない地盤：自由地盤）の地動変位�
 
Displacement of the base, i.e. the free-field ground�
 
u1、u2：ベースからの基礎および上部構造の変位�
(
u0
u0
(
)
m1 (u˙˙1 + u˙˙0 ) + c Hu˙1 − c u˙2 − u˙1 − θ˙H + kH u1 − k (u2 − u1 − θH ) = 0
Displacement of the superstructure due to the ration of the foundation�
u2
  δ：上部構造の弾性変位�
Elastic deformation of the superstructure�
H
m2, I2
u1 ：スウェイ�
θ ：ロッキング�
)
m2 (u˙˙2 + u˙˙0 ) + c u˙2 − u˙1 − θ˙H + k (u2 − u1 − θH) = 0
θH：基礎の回転に伴う上部構造の変位�
（遠方）
自由地盤
力およびモーメントの釣合いより、�
From the equilibrium of the forces and moments,�
Displacement of the superstructure with respect to the base�
 
2
( I1 + I2 )θ˙˙ + c Rθ˙ − c(u˙2 − u˙1 − θ˙H )H + k Rθ − k(u2 − u1 − θ H) H = 0
m2 , I2
u1
H
c
mH
k
m1, I1
スウェイ−ロッキング�
（SR）モデル�
構造物−地盤系の応答�
H
m 1 , I1
kH
近傍地盤
cH
3
構造物−地盤系の応答�
スウェイ
ばね
IR
kR
cR
ロッキング
ばね
I1 , I2 ：回転慣性�
4
マトリックス表示�
1層スウェイモデル�
1-Story Sway Model
Matrix Representation
前式をマトリクス表示すると、�
 
�
�
 
簡単のため、For the sake of simplicity,�
 
The matrix representation of the previous equation:�
[ M ]{u˙˙} + [C ]{u˙} + [ K ]{u} = −[ M ∗ ]{ f }u˙˙0
 
ここに、�
 
in which�
⎡m2
[ M ] = ⎢⎢
⎢⎣
ロッキングは無視し、スウェイのみ考慮する�
Only swaying motion is considered and rocking motion is ignored�
基礎の質量はゼロであるとする�
The foundation is considered as massless�
m1
⎤
⎥
⎥
I ⎥⎦
⎡m2
∗
M
=
[ ] ⎢⎢
⎢⎣
m1
⎡c
−c
−cH ⎤
⎡k
⎢
⎥
⎢
[ C] = ⎢ c + cH
cH ⎥ [K ] = ⎢
⎢⎣
⎢⎣
cH 2 + c R ⎥⎦
⎧u2 ⎫
⎧1 ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
{u} = ⎨u1 ⎬ { f } = ⎨1 ⎬
⎪θ ⎪
⎪0 ⎪
⎩ ⎭
⎩ ⎭
⎤
⎥
⎥
I ⎥⎦
−k
k + kH
 
スウェイばねの付加質量は無視する�
Virtual (equivalent) mass of the sway soil spring (impedance) is
ignored�
m
−kH ⎤
⎥
kH ⎥
k R + kH 2 ⎥⎦
c
kH
c Hu˙1 − c (u˙2 − u˙1 ) + k H u1 − k (u2 − u1 ) = 0
Sway スウェイ
Soil Spring� ばね
5
構造物−地盤系の応答�
6
周期と減衰 (1) �
周期と減衰 (2) �
Period and Damping (1)
Period and Damping (2)
���
Let � u˙˙0 = 0
u˙˙0 =�����とし、
0
�
�
mλ + cλ + k
� − (cλ + k )
2
 
ここで、 in which�
k
2
= ω1
m
kH
= ω 20
m
構造物−地盤系の応答�
− (cλ + k )
=0
( c + cH )λ + ( k + k H )
c
= 2h1ω1
m
cH
= 2h0ω 0
m
(
3
�
とおくと、 Then,�
�
λ � = φω 1 �とおくと、
Let eigenvalues be � λ = φω 1
� 2( h1 + h0φ 0 )φ + 1 + φ 0 + 4h1h0 φ0
⎧u2 ⎫ ⎧u2 ⎫ λt
⎨ ⎬ = ⎨ ⎬e
� ⎩ u1 ⎭ ⎩ u1 ⎭
�
固有値を
 
�
 
H
mu˙˙2 + c (u˙2 + u˙1 ) + k( u2 − u1 ) = − mu˙˙0
cH
構造物−地盤系の応答�
 
k
 
(
)
2
)φ
2
� +2 h0φ 0 + h1φ 0 φ + φ0 = 0
系の固有値は、上式の共役複素根より、 From which eigenvalues can
2
2
be computed as conjugate complex solutions�
λ = φω 1 = λ R + λ I i = −hω ± 1− h 2 ω i
ω = λ = λ2R + λ2I
h=−
ω 0 = φ 0ω 1
7
λR
λ
構造物−地盤系の応答�
8
周期と減衰 (3) �
周期と減衰 (4) �
Period and Damping (3)
ここで、下記の例を考える。
 
example:�
Period and Damping (4)
Let us consider the following
 
VS
m = 100 t
k ( a0 = 0) = 5.283
k H2 ( a0 = 1.48) = 5.023
G = ρVs2 = 1.6 × 1502 = 36000 kN m
k H = Gbk1H = 36000 × 5 × 5.283 = 950940 kN m
= 1.6 t/m3
196 × 10
= 44.3
100 × 10 3
2π
T=
= 0.14 ( s )
ω1
ω1 =
6
cH =
GbkH2 (ω 1 ) 36000 × 5 × 5.023
=
= 20409 kNs m
ω1
44.3
kH
950940
ω
97.5
=
= 97.52 → ϕ 0 = 0 =
= 2.20
m
100
ω1 44.3
c 1
20409
h0 = H
=
= 1.046
m 2ω 0 100 × 2 × 97.52
ω0 =
構造物−地盤系の応答�
9
構造物−地盤系の応答�
周期と減衰 (5) �
1-Story 2-DOF Sway Model
従って、 Therefore,�
� 4.647φ 3 + 6.024φ 2 + 4.800φ + 4.84 = 0
 
以下、2質点スウェイモデルを考える。�
Let us go back to a 2-DOF sway system�
�
� ∴ λ = ω 1φ = 44.3 × (−0.06178 ± 0.9404 )
 
� ω = λ = 44.3 × 0.06178 + 0.9404 = 41.75
�
2π
= 0.15 (s)
� T=
 
�
2
2
スウェイばねの付加質量は無視する�
Ignore virtual (equivalent) mass of sway soil spring�
u2
ω
λR
�
� h = − λ = 0.066
c
mH=0
すなわち、固有周期が延び（0.14→0.15 s）、減衰は増大した
（0.02→0.066）�
ü0
This means that natural period is elongated and damping is increased due
to soil-structure interaction�
�
kH
cH
Sway スウェイ
Soil Spring� ばね
→ 動的相互作用効果 Effect of soil-structure interaction�
構造物−地盤系の応答�
ロッキングは無視し、スウェイのみ考慮する�
Ignore rocking, consider swaying�
�
 
10
1層2質点スウェイモデル�
Period and Damping (5)
 
150
1
H
k = 196 MN/m
h = 0.02
Vs = 150 m/s
= 0.4
各定数を計算すると、 Each characteristic values are given by�
bω 5 × 44.3
a0 (ω 1 ) =
=
= 1.48
11
構造物−地盤系の応答�
m2
k
u1
H
m1
m2u2 + c ( u2 − u1 ) + k ( u2 − u1 ) = −m2u0
m1u1 + cH u1 − c ( u2 − u1 ) + kH u1 − k ( u2 − u1 ) = −m1u0
12
伝達関数 (1) �
伝達関数 (2) �
Transfer Function (1)
Transfer Function (2)
運動方程式をマトリクス表示すると�
 
変位の伝達関数は、�
 
Matrix representation of the equation of motion is�
�⎡
�⎢
m2
� ⎢⎣ 0
�
⎡
� = −⎢
⎢⎣
�
0 ⎤ ⎧⎪ u2 ⎫⎪ ⎡ c
−c ⎤ ⎧⎪ u2 ⎫⎪ ⎡ k
⎥⎨
⎬ + ⎢ −c c + c ⎥ ⎨
⎬ + ⎢ −k
m1 ⎥ ⎪ u1 ⎪ ⎣⎢
H ⎥⎪ u
⎦ ⎩ 1 ⎪⎭ ⎢⎣
⎦⎩
⎭
m2 0 ⎤ ⎧ 1 ⎫
⎥ ⎨ ⎬ u0
0 m1 ⎥ ⎩ 1 ⎭
⎦
Displacement transfer function is given by�
�
−1
1
{U} = ( −ω 2 [ M ] + i ω [C] + [ K ]) (ω 2 [ M ]{ f })
� {HD (ω )} =
−k ⎤ ⎧⎪ u2 ⎫⎪
⎥
k + kH ⎥ ⎨ u1 ⎬
⎦ ⎪⎩
⎭⎪
 
 
加速度の伝達関数は、�
Acceleration transfer function is expressed as�
{ H A (ω )} =
すなわち、�
That is�
� [ M ]{u˙˙} + [C ]{u˙} + [ K ]{u} = −[ M ]{ f }u˙˙0
これをフーリエ変換すると、�
 
U0
�
(
)
1 ˙˙ ˙˙
1
1
U + U0 } = ˙˙ {U˙˙} + {U˙˙0 } =
{U} + {1}
{
˙
˙
U0
U0
U0
= {HD (ω )} + {1}
Taking Fourier transform of this equation yields�
�
(− ω
2
[M ] + iω [C ] + [ K]){U} = ω 2 [M ]{ f }U0
構造物−地盤系の応答�
13
構造物−地盤系の応答�
構造物−地盤系の応答�
演�習�問�題�[4(最終)] �
Response of a Soil-Structure System
 
Assignment 4 (Final)
下記の手順による： Follow the procedure below:�
 
 
 
基準地震動2Enを規定する�
Define the input ground motion as 2En�
基盤への入射波（の2倍）が与えられたとき、下記を計算し、結果を
図示しなさい。�
地動の伝達関数： 2E1 / 2E2 （演習3参照）�
地盤ばねkGと減衰係数cG （演習2参照）�
地動に対する構造物第1層・第2層の伝達関数：(ü1 +ü0)/ü0, (ü2 +ü0)/ü0�
基盤への入射波に対する構造物第1層・第2層の伝達関数：�
(ü1 +ü0)/2E2, (ü2 +ü0)/2E2�
応答はいずれも加速度とする�
 
一次元波動伝播解析により入力地震動2E1を求める�
 
Compute the surface ground motion 2E1 by 1-D wave propagation theory�
 
14
 
2E1を入力地震動とする構造物−地盤系の地震応答解析を行う�
 
Perform response analysis of the structure-soil system by considering 2E1
as an input�
 
�
�
ü0=E1+F1=2E1
E1
F1
構造物−地盤系の応答�
 
Fn
E1
F1
E2
F2
ü0
15
En
For English, see the document�
ü2+ü0
ü0=E1+F1=2E1
構造物−地盤系の応答�
ü1+ü0
ü0
16