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高３数 γ
No. 2
整数部分・格子点等（２）
（理系問題演習／柳生）
2014/5/12
（平成９年京大）
問4
a, m は自然数で a は定数とする．xy 平面上の点 (a, m) を頂点とし，原点と (2a, 0) を通る放物
線を考える．この放物線と x 軸で囲まれた部分の面積を Sm ，この領域の内部および境界上にある格子
点の数を Lm とする．
Lm
を求めよ．
m→∞ Sm
(解) 問題の放物線を C : y = f (x) とすると，
m
m
2m
f (x) = − 2 (x − a)2 + m = − 2 x2 +
x
a
a
a
よって
#
" #
! 2a "
m 2 2m
m
1
4am
Sm =
− 2x +
x dx = − 2 −
(2a)3 =
a
a
a
6
3
0
このとき，極限値 lim
また，直線 x = k (k = 0, 1, · · · , 2a) 上の求めたい格子点の個数を lk とおくと，Lm =
.y
ここで f (k) ! lk ! f (k) + 1 が成り立つので，
2a
$
f (k) ! Lm !
k=0
ゆえに
2a
$
.(a, m)
2a
$
lk
k=0
.f (k)
f (k) + (2a + 1)
k=0
.lk 個
2a
2a
3 $
Lm
3 $
3(2a + 1)
f (k) !
!
f (k) +
···"
1
4am k=0
Sm 4am k=0
4am
が成り立つ．
.lk
.O .
.2a
.x
.x = k
ここで
#
2a
2a "
3 $
3 $
m 2 2m
f (k) =
− 2k +
k
4am k=0
4am k=0
a
a
3 (2a)(2a + 1)(4a + 1)
3 (2a)(2a + 1)
·
+ 2·
3
4a
6
2a
2
2
(2a + 1)
4a − 1
=
{−(4a
+
1)
+
6a}
=
4a2
4a2
4a2 − 1
よって "
の最左辺，最右辺は
m
→
∞
のときともに
に収束する．
1
4a2
=−
Lm 4a2 − 1
1
=
=1− 2
2
m→∞ Sm
4a
4a
よって，はさみうちの原理より， lim
（解説）
関数 y = f (x) のグラフ内の格子点の個数を，x = k (k ∈ Z) で切って f (k) を使って上と下からはさん
だ不等式を作って評価するのは典型手法である．しっかり身につけて欲しい．
なお，市販の参考書の中には「極限をとったときの領域内の格子点の個数 ≈ 領域の面積（体積）が成
り立つ」などと書いてあるものがあるが，本問を解いて分かる通り，それは必ずしも正しいわけではな
いので注意してください．
（平成１５年京大）
問5
n を自然数とする．原点を中心とする半径 n の円の，内部と周をあわせたものを Cn で表す．次
の条件（＊）を満たす 1 辺の長さが 1 の正方形の個数を N (n) とする．
（＊）正方形の４頂点はすべて Cn に含まれ，４頂点の x および y 座標はすべて整数
N (n)
このとき， lim
= π を証明せよ．
n→∞ n2
(解) 条件（＊）を満たす単位正方形は第１象限から第４象限までに対称的に等しく存在するから，領
域 x ! 0, y ! 0 内の正方形をまず数える．
n
N (n) ! √ 2
[ x ] で x を越えない最大の整数を表すことにすると，
=
[ n − k 2 ] が成り立つ．
4
k=1
ここで
√
√
√
.y
n2 − k 2 − 1 " [ n2 − k 2 ] " n2 − k 2
が成り立つから，
n
n
n
!
!
√
√
N (n) ! √ 2
2
2
2
2
( n − k − 1) "
[ n −k ]=
"
n − k2
4
k=1
k=1
よって
n
!
√
( n2 − k 2 − 1)
4
k=1
n2
"
.y =
√
n 2 − x2
k=1
N (n)
"4
n2
n
!
√
k=1
n2 − k 2
n2
すなわち
" n √
#
" n √
#
! n2 − k 2
! n2 − k 2
4 N (n)
4
− " 2 "4
···#
1
n2
n
n
n2
k=1
.
.1
.n − 1 .n
.x
k=1
が成り立つ．
ここで
n √ 2
!
n − k2
k=1
n2
$
n
!
1
% &2
' 1√
k
π
=
1−
−→(n→∞)
1 − x2 dx = （４分円の面積）
n
n
4
0
k=1
π
であるから，n → ∞ のとき，#
1 の最左辺と最右辺はともに 4 · = π に収束する．
4
N (n)
= π である．
（証明終）
n→∞ n2
よって，はさみうちの原理より， lim
(別解) n は十分に大きいものとする．
このとき，条件（＊）を満たす 1 辺の長さが 1 の正方形の個数は，そのような正方形を合わせた領域の
面積に等しいので， N (n) " πn2 が成り立つ．
√
また，原点を中心とする半径 n − 2 の円上の任意の点は，条件（＊）を満たす少なくとも 1 つの正方
√
形に含まれるので， π(n − 2)2 " N (n) が成り立つ．
√
(n − 2)2 N (n)
よって，不等式 π
" 2 " π が成り立ち，
n2
n
√ 2
(n − 2)
N (n)
lim π
=
π
なので，はさみうちの原理より
lim
= π が成り立つ．
（証明終）
n→∞
n→∞ n2
n2