A 4編 A4-'52 第 5章 材料力学 で 表 さ れ 、 係 数 m は 漸 変 断 面 部 の 形 状 (ν=1:板厚が一定 で幅が直線的に変化,レ =3 幅 が 1 .0 1 ' 定で板厚が直線的に変化, 。『¥(ご。つ 4・7・2 一 様 強 さ お よ び 最 小 重 量 の 長 柱 で求められるー 0 . 8 1 2 5 レ ニ 4 円すい形〕に応じて表 25 から求められる 7 におい 図 7 て A二O の場合、レ =0.93 で一様強きの長柱 (column having 12.. 0 . 6 0 . 4 T口 二 0 . 2 一定の場合,たわみ却が満たすべき次の基礎方程式を得るー れ れ ν ' i e f l e c t i o nr a t i o )( b u c k l i n gd ) / 10は ば ね の 自 由 10-1, 7 ソン比 断変形の生じ方は柱の内部構造により異なり,これを考慮した 8 ), 件にたいする限界圧縮たわみ比が求まり〔図 7 k- P k l ' I工衣 P, / S )ー 1 P, , 2P / S Sはせん断こわき , P食は曲げこわき Bのみを考慮し た オ イ ラ 一 座 屈 荷 重 が Bi l ' で,常に p, / S値 が Oに近づくにつれて Pザ は 戸 l u分J')記聞 l i -h2~h!2 (n= 1 )の 場 合 九 1 d r dr 1 d(dw け1 P rd r L 'drlr d r ¥ 'drJJI D Txy=fTxyzdz とくに P が一定値の場合,その一般解は c .1 イ Tndz 2+ r '+C , ) l nr+C3 r 町二土iAr'+(C, Dl64' ~'J r r z d Z,Q f である ただし, σ"σe 半径応力および円周応力噌 M" M。 円 周 面 板が荷重を受けてたわんだ および半径面に働く曲げモ . 0 4 6 ) の場合 10/r<7.5 O , 一端固定,他端匝転端 (nニ2 i, 曲 げ 応 力 山 町 内 お よ び とすれ l 数で、その値は円板の周辺条件,接続条件などから決定きれ 0. n 4) の 場 合 1 4 8 となるコイルばね 0/r<1 定端 ( に比例し 2xY は中立面からの距離 I nは自然対数を表す る これらの応力はモーメン卜およびせん断力から次式 メン卜, C" C " C3, C, 積 分 定 後も板刀横断面が平面を保ち、中立面に垂直な位置をとるもの 三 P,>P,/>Pげであり, P k l 'に漸近する. イルが密着するまで座屈しない. 表 2 6 円板のたわみと曲げ応力 4・9 薄 肉 材 よ り な る 柱 の 座 屈 1節を参照きれたい 組立柱については,なお 7・ 4・ 8・ 2 せん断および圧縮変形の影響を受ける場合 zイ ryxzdz,Q 1 I~jlo ) :, . 4 く ) 記7 面すなわち,両端回転端 , P, 1+(P ' S ) ここに, ι 1=foxZ々,Mイ が 命 、 なお前々式右辺の根号内が負: より求まる ( 1 6 3 ) P k 2 ' た わ み 却 の 基 礎 方 程 式 は ,D が一定の場合, 、 図 8 0 ), との曲げモーメン卜,ねじりモーメン卜およびせん l 断力ほこ H らの応力の合成モーメン卜および合成力であるから マ ; ; ¥ つ ; ) 6 4 i r 3 1 図 8 0 応力成分 面に 作用する垂直応力およびせん断応力を σy噌τY X,T Y Z とすれば P,はこのたわみ比と 3・5 節のコイルばねのた f . ' G , P.= t τxz,Y (図中 薄肉材よりなる柱の座屈問題の定式化については 圧 縮コイルばねやゴム製長柱などの軸圧縮による座屈では可曲げ ( 8 4ベ 変形とせん断変形のほかに,圧縮中の柱の長きの減少やこわき s・2 (90 ベ シ〕を,壁面座屈や曲げねじり座屈につい ジ〕を参照きれたい. E i l :i最大応力を示す.応力式の慢号は,上が上面、 下が下面を表す I nは自然対数可*E nはポアソン比レ二 0.3のときの 1 直を表す) たわみ W,Wmax および応力 σ,σmax 荷弔;状態とたわみ形および下表面の応力分布 円佼,周辺単純支持,等分布荷重 叩 二 お( 1 -: : )(岩手) =(W), eo=c(~,土βど~=0.696 pa • 64(1+シ)D . . . . . Eh3 4 第 5章 平 板 の 曲 1 1 σ きく,板が面内荷重を受けなければ,板の中央面は 5・1 横 荷 重 を 受 け る 平 板 a. 曲げの基礎式 p l a t e ) 面 と 任 意 の F面 (y軸 に 垂 直 な 断 面 〕 お よ び 方法できざえられ,その上 交線の曲率半径をそれぞれ ρ町 内 と L,かつ Mx, 面に単位面積当たり pなる および F面 に 作 用 す る そ れ ぞ れ y方 向 お よ び z 垂直荷重を受けると,板は x 当たりの曲げモ←メン卜司 T; r y , Ty たわむ するそれぞれ y方向および 板の両表面から等 Z X z 方向単位長き当たりのね ーメン卜 ,Qx,Qy :x 面 お よ び y面 に 作 用 す る そ れ 面と L,これに垂直に z軸 方向および をとり , z軸方向の変位す 9 ), そ れ ら と た わ み 即 の 間 に は 次 の 関 係 が ば(図 7 なわちたわみを却とする ただし , zお よ び 即 は 荷 重の向きを正とする.板の たわみが板厚にくらべて小 Tx!/ T y x Qy 9 作用する荷重 図 7 ( 6 6 )On e .,Mem. C y u s h uI m p .U n i v .,1 ( 1 9 1 9 ) o l l .E n g .,K ,A , 1 9 6 3 ), 8 0,McGr M e c h a n i c a lS p r i n g s,2 n de d ( 6 8,2 a w 守 方向単位長さ当たりの z方向せん断力, 即 o ' 五 即 o ' 百子 p y ay" ¥ l o ' o'w 一三+レ MT DI l ι =¥ox' "oy'J 刊 ( 6 7 ) 強度設計データブソク, ( 1 ),5 7 2、裳華房 昭4 2¥ r ・ O 3(3+シ) p a2 _ , n,p a2 amax=Cσ 山ー0=作 品 。 = 平 一 五2 一-41243E- 円仮,周辺固定,等分布荷重 面および y 距 離 に あ る 中 央 面 を xy Z ,/. h i ( この中立面の呈する曲面すなわちたわみ 板 厚 hの一様な薄い平板がなんらかの 3 p a 2 " . . " ,=平 ~8h2( 3+")~ 1-; ; 2 ) 3 p a2, (n . , n . n"r2) σ。=平、 , 3+ν〕ー(1+ν 3〕云 J 縮 が Oである中立面となる 1・ 1 平板の弾性曲げ (bending o fp l at e ) 5・ L 五均一ム ω 四 とコイルは接触 Lな い も の と す る . ま た , 上 式 2・ 1 の座屈長き 1 わりに 4・ /n を用いれば, 0 /、 口 、 メン卜およびたわみの関係を示すと Lf+ up column) は 一 般 に せ ん 断 変 形 Lや す い の で , こ れ と 同 じ 曲げこわさと細長比をもっ中実柱より座屈荷重が小きい.せん " , 字 dx, ZZ ) ' ) /1-2 7. ( r / lo 、 46 ここで,コイルばね素線は円形断面とし,座屈開始ま とおりがある σ2" 直応力およびせん断応力 , O をとって応力とモ σσ ) ー 表きれる L叫 P . '計 算 式 に は 次 の こ σY また ι面に作用する垂 MM 3) より導かれ 16 コイル平均半径を r とすれば,式 ( 門板がその中心に対して対称、形の垂直荷重を受 け、軸対称形のたわみを生ずる場合には、中立面内に極座標 r, ポ 1717 とカ 1できる '67: b 円板 4ご 噌 舎内下 E 縦弾性{系数ーレ u r a lr i g i d i t yo fp l a t e ) 立vh口 P/ 刊に対して最小重量条件を定めるこ た断面形状と比荷重 ( プ 7 ロ 一 un 口 一 un 有効巻数の多い,両端回転端の密巻円筒コイルば 長き仁両端回転端の長柱の座屈荷重 】 1 反J J曲げ剛性 ( f l e x . p口ng) が 座 屈 す る 際 の 限 界 圧 縮 た わ み 比 d r i c a ls b u i l t 4・ 1 せん断変形の影響を受ける場合 (63J 組 立 柱 ( 8・ o '即 , o '即 P ' I 64即 y ' D o x ' ' ox'oy' o L Dニ Eh3 1 2(1 はるかに有利である.なお壁画座屈荷重を考慮 Lて,与えられ / 10=0.8125{1 ( 10-1) メン卜およびせん断力 町 円~ P 4 1 ,2¥2 p a 'ん .._.ー 1 64D¥' a'! on' ・ =0.171-:.~ ー ax=C 叩〕戸 0= 三二一 64D....' 3 Eh 21 ' 3 p a ' '" ,, σ,=+、 2 r 1+ν)-(3H); ; 2[ h ( 1 ( 81 、 n 2r . . 2 + レ )-(1+3ν 〕主卜 ) ; 2 1 " σ,=平 の 3pa2 .r. ",,-r.pa2 x=(σr)r=a= :t~;-,~= : .750 : tO 4 h ' I ' : • → t4llI の変化をも考慮しなければならない 座屈荷重 E HA? 8 コイルばねの座屈 図 7 (ただ L, nは固定係数で 4・2・1参照のこ 4・ 8 せん断変形および圧縮変形の影響を受ける長柱の 6I h ' ,,\~ h ' ,\~ 6I ー--z-! ,Tyz=~I----.--z~ x, ! , . ! J ! 記 " ! " X 'YZ-h3¥4 4) h3¥4 ') に 関 す る つ り あ い 方 程 式 を た わ み 却 で 表 す こ と に よ り ,D が 1 0 / νInr Lかも 7・5・2 の 壁 画 座 屈 や 曲 げ ね じ り 座 屈 _ 二 畑 メントをもち、 1 2 ‘ また,上の曲げモーメン卜、ねじりモ 1 0 る 一 定 断 面 の 長 柱 の 87 %の体積となるが(此,最小重量とい を生じない限度の断面形状と断面寸法を選ぶようにするほうが 1 2 1 r 1y x y ,T 百"3Z ; : ; : sZlV1x,σy三 p ;ZlXY σx= t r e s s ) となり,同一荷重をききえ c o n s t a n t maximum normal s う見地からは,断面を薄肉にしてなるべく大きな断面二次モー A4-53 平板の曲け P Ir i 第 5章 平 板 の 曲 げ A 4編 A4-54 τ 7 ー 「 荷重状態とたわみ形および下表面の応力分布| 「 円仮,周辺単純支持,中心に集中荷重 P 四一坦5-3+-"-(,ーヱ'-)_2r~ln~f ← : 心6 π Dl1 +ν¥ a2/ a~ r) 円板,周辺単純支持,同心輪形荷重 〆 E 戸 ( ο 1叫 nf , 子 = + 平 去 恭 詐 か σ戸 戸 戸 Y ων h (川 仙 σ 内ρ Y 山片 〕r ,= ドo 門 ベ = = (a 伊 ( σ a ρ e 山 ル μ ) , , 戸 , = .0 = 下画 1 戸去恭沖(い 山 ο一 → 吋 の ν 刊)+川 l寸 引) , 戸平若干{(1け(1-!:)+叫め lnf} σ= σ ( i i ) b亘r孟a : 2 b l i 2 叫 | . . f → + 、 下函 四 = お ( 〔3 + ; i t J Y 2 ( 1 3 ) 4三 ln-H - 。 没 たわみ叫肌,叫山 n ( 九(ω り〉住 i 己 γ 叫 亘 計b : : P 一」主丘竺 L=0551fι ・ 3 四 max=(W) , ~o= u i π (1 +ν)D -_._-~ Eh A4-55 σ" J汽y , . . . - /σT 0 " ' " 一 一 一 一 一 一 一-'0 叩 = £ 蒜 吉 [ 日 ( ←1+志 缶 試 討 ( ←1 f 芸 軒 L 引 判ト ト 1一 引 云 f お L り ) σ ( ο 1一 → 叫 吟 ν ) ( 得 与一 f 号 お ; わ )+2山 ) l n; } 叫 い , 戸 = + 平♂ 子 ぺ ヰ 巾 ( か い σ, = 手 五 , { ( 1 叫( 2 -与号)は (1山 引 ι ι Pn2 印 刷 引司叩)月氷別ト}(川炉( ・ x=(日 )'=0=α7 示,-.(α7:図 81) μ. σmax=(σ 山 一 = ( σ ル=ト,=判7"h2 '(s7 図位) 円板,周辺固定,中心に集中荷重 I~ , <)1~~\~ì 円板,周辺固定,同心輪形荷重 一 一 一 六 1-(1+21n-)--ノ:-a;"-f 一1 6 πD l ¥ r ) Pa2 P (. w = : : - " , 1 7W 世 max=( 的 ~o= 1~;D =O.2 ・ i ωY ド , = .0 = r 血 下面 "a . . 1 3P ( , _ σ 向戸 Y= 平蒜 E 芸 寺 和 バ E 出 ド 巾 { ( ο 似 1 1+ 山 4 T1 寸 ア - 〆 、 川 。 判 円板,周辺単純支持,同心円内に等分布荷重 =σ 3P _ _ .1b ,=平 (1 +ν)(¥ω 一 τ+21n' e ー 1) Z州 内 ) 2 ¥ ~ ( i i ) b亘r豆a: ー 四=旦'-f.U , ↓ !:'-V ,_~\_!::..士竺 In ~ì 8 πD I 2¥~. a2八 a 2J a 2 rr A 山 2 .1 b 3P ( . ¥ b 2 , = 平 石 / ; 2l ( 1 + 川 :2+21n7}+( 1 の主 2} 、 み 3P ( 1b σ, = 平 示 五2 (( 1+川云 +21n引一 (1ーめす一引 σ 2 2 ¥ 品 川 町 max=(W). ,= o=α' W -'(的:図 81) pb' ( r ' 坐と♀ _")b ~-(2三 +1 Iln手 十 ¥ が ノ b _2 ; T .f 、 (1+制下J ←平笠竺 ~4( 1+ ν) l n与+4ー (1ν 〉 宇 一 (3+ν) 8h 1 ' 2 一 σ凋=平旦巴~4( , . 8h2 1-'1+の ln 与 +4 ー (1 ー ν〉手 '(s, :f ' i ) 8 2 ) P' bfa>0.320のとき σmax=Cσ 山 =a=: t :ss '; ' 2 • (ss ' 図8 2 ) 2 b2 μ. bfa<O.却のとき σmax=(σ 山=日 =(σルー=吋 '~2 ( i ) O~玉 r~玉 b:- 世=函Dl 厄,- 2 ( 1 + ν) a ' 円輪仮,外周単純支持,内周に輪形荷重 _2 Pn2 ( 2 ¥ ¥ 川 四 =8お j (1 +A)(I-~)-(B+ 王子 )ln 引 7" ノ 、/ ワト ( i i ) b~五 r~玉 a 一向、『 2¥ l 2 ( 1 +ν〕¥ rノ 、 σ ,=ジ些~4(1+めlι+(1 め(~22 -1)予 8h 1, r ¥ 16D a¥ 3P ( ._ _ .1 . 3P ( ._ _ .1. . a¥ _a2い ,=平五示[2(1+ν)(A+ln7)ー(1ー の(I-B云) f σ a寸 町-~竺I~土--c.ú-~ìi2(山〉主ー (1 一川一 (1 十三τ)ln干」 5 : . . . Jlん が ¥ / 唱 r2¥ b2 + r 2 .a) 8 πD ( 2 ¥ ' ; ; ; -)\~-r~ )--a2-l l l b J 四}主 Pa2 P2 ( i ) 0 亘 r~b:~ ι _a2 , = 手 五 / ; 2j2(1+ν)(A+ln7)+(1 ーの (I-B~2)¥1ト σ 2 ,=平 ~~214(1+めln三一 (1 ー νぽ +1 ) 手4 r 8h2 L, r ¥ ただし r ~ 町田刊一長 σmax=川 円板,周辺固定,同心円内に等分布荷重 347仙 図82) ? 1 寸 ア グ~: o ・ max=C叫 吋 =α9示2 • (α9 図8 3 ) μ. ,I σmax=Cσ 山 =b=吋 9 古, (ん:図 84) | σ ( i ) 0 豆 r~五 b:ー、 Pn2 日 Ge/ I = 0 = ( σ山 = 平 0 J ← Ø'-!~ 一三十手_(1+ ln~-~f 。2'1.2-¥ 伊判r -h 41 16D14 b ' 6 α5: 図 8 1) A=. ,1 三L + L ln三b' B=-~旦士"2.._土工 ln~ 2 ( 1 +ν ーa土 - ーν a2 _b2 ーが 1+ ~a' ¥ 円輪板,外周固定,内周に輪形荷重 (1+の(手+4 1n~) 一 σ+ν〉予) σ戸平等{ 四 , σ"σe は No.9 の 式 と 同 形 た だ L 日 書((1+ν)(手+4寸)-山〕云) ( i i ) b: 玉r ; ; 玉a : ー 町=誌 { ( 1 -::)長一手一(1+与)片+-t} σ 7 4 3 子(川(山手+手)山〉与 } 4 Pn2・ 四 ) , = , =α10ニヱ ,. , ( α 1 0 : 図8 3 ) x=( ,=平等{(1+の(41nト会)-(1吋芸ーむ) 百四〉同=α6長子,同:図 81) b f a<O . 3 8 5 のとき ma ~.2 ・ b f 吋 5 6 9 のとき bfa>0.569 のとき σmax=Cσ , ) 戸 内 山 = 吋eJF , (ん・図 8 2 ) σmax=Cσ ん ( 6 9 ) Tim田 h e n k o,5 .P .a n dW o i n o w s k y K r i e g e r,5 .,Theory ofPlates aTldS h e l l s . .2 n d吋, ム2 B=-. _ 2 b ( _ _ •. a _1 ( 1_ ν ") ' ¥ n 2 . . : . . r ' . . . . J , . . . ") ' ¥ 1 .2 ( I+ ν ). l nbー 1 卜 2 2i ( 1 ー a + ( 1 ・ + ν b l'~ . , ~J 1 0 σ 日 、 、 1 .2 . . . . . 2 A =ー ム ー 2( 1 + ν ): . , -l nニ +(1ν)(1 -: 2) f 2l 2( 1 ν )a2 +( 1+ν)bパ , ,-/ a2•.. b ¥ a2J[ 、 ( 1959).70. McGraw.Hi l I 】" σmax=(σル =b=吋 μ. } ; 2 J (8i o・図 8 4 ) I O μ. O bfa>
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