計算流体力学 (第9回資料) 安定化手法(SUPG法への道) 2014年12月5日 有限要素法(Galerkin法) u (0) 1, u ( L) 0 境界条件 u (0) 1, u ( L) 0 ディリクレ境界条件 厳密解 v(0) 0, v( L) 0 部分積分 Galerkin有限要素法による解 Galerkin有限要素法による解 しかし、Galerkin有限要素法による解は 2節点1次要素 Galerkin法 a ui 1 ui 1 u 2ui ui 1 i 1 0 h 2 (1871-1945) 式変形(両辺をhで割る) 0.1 拡散係数が小さい場合に数値振動が発生する 差分法(中心差分)、有限体積法(中点公式)の結果と同一 0.01 Upwind Galerkin法 Upwind Galerkin法 差分法では移流項に風上(後退)差分(1次精度)を用いる 人工拡散係数を最適なものを用いると(詳細は省略) 中心差分 風上差分 中心差分に書き換えると、 予め人工拡散を加えた式を中心差分近似したことと等価 Upwind Galerkin法 予め人工拡散を加えた式をGalerkin法により離散化する方法 人工拡散係数を加える方法は合理性に欠ける! 安定化有限要素法 安定化有限要素法 Upwind Galerkin法 式変形すると 移流項に関する重み関数と言える T.J.R. Hughes Upwind Petrov-Galerkin法(上記の重み関数を全ての項に用いる) 重み関数 重み関数 多次元問題への応用 安定化有限要素法(まとめ) Galerkin法 (総和規約:summation convention と添字記法:index notation) Upwind Galerkin法 Galerkin項 Upwind Petrov-Galerkin法 安定化項(SUPG項) テンソル異方性をもつ 要素境界で不連続 Galerkin項 部分積分を行えない 安定化項(SUPG項) 安定化の効果:流線方向にのみ作用する 衝撃捕捉項 数値解析例-斜め移流問題- 衝撃捕捉項 ax ax a a y x ax a y a y a y 安定化手法(SUPG有限要素法) SUPG法 定常移流拡散方程式 (教科書の1次元問題) 陰解法(安定化なし:Galerkin法) 1 t=0 t=2 t=4 t=6 t=8 0 0 2 4 6 8 10 (C=0.33) SUPG法 1 t=0 t=2 t=4 t=6 t=8 0 0 2 4 6 8 (C=0.33) SUPG法 GLS(Galerkin Least-squares)法 非定常移流拡散方程式 安定化項(δは何にとっても良い) 安定化項が対称形(GLS項) 安定化項 10 非定常問題における安定化有限要素法 BTD法とSUPG法と関係 非定常問題における安定化有限要素法 BTD法 SUPG法において とし移流項のみに安定化を施した手法と等価 SUPG法 数値解析例-回転移流問題- SUPG法とGLS法 SUPG法 GLS(Galerkin Least Squares)法 残差の最小二乗形式 安定化項が対称になる
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