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Tychonoff の定理と選択公理
alg-d
http://alg-d.com/math/ac/
2014 年 8 月 15 日
定義. (X, OX ) を位相空間とする．
1. X がコンパクト
⇐⇒ 部分集合 U ⊂ OX が X =
∪
U を満たすならば，ある非負整数 n とある
U0 , · · · , Un ∈ U が存在して X = U0 ∪ · · · ∪ Un ．
∪
∩
∪
∩
※ 集合 A に対して A :=
A,
A :=
A である．
A∈A
A∈A
2. F ⊂ AX が有限交差性 (finite intersection property) を持つ
⇐⇒ 任意の整数 n ≥ 0 と任意の F0 , · · · , Fn ∈ F に対して F0 ∩ · · · ∩ Fn ̸= ∅．
補題 1. 位相空間 X に対して次の命題は同値．
1. X がコンパクト
2. F ⊂ AX が有限交差性を持つ =⇒
∩
F ̸= ∅
証明. 補集合を考えれば明らか．
定義. X を位相空間とする．
1. (I, ≤) を有向集合とするとき，{xi }i∈I (xi ∈ X) を X の有向点列という．
2. x ∈ X が X の有向点列 {xi }i∈I の集積点 (cluster point)
⇐⇒ x の任意の開近傍 U ⊂ X と任意の i ∈ I に対して，ある j ≥ i が存在して
xj ∈ U となる．
3. X の有向点列 {xi }i∈I が x ∈ X に収束する
⇐⇒ x の任意の開近傍 U ⊂ X に対してある i ∈ I が存在して，任意の j ≥ i に対
1
して xj ∈ U となる．
定義. (I, ≤), (J, ≤) を有向集合とし，{xi }i∈I を X の有向点列とする．順序を保つ写像
i : J −→ I が「任意の i0 ∈ I に対してある j ∈ J が存在して i0 ≤ i(j)」を満たすとき，
有向点列 {xi(j) }j∈J を {xi }i∈I の部分有向点列という．
次の有向点列に関する性質は認めることにする．
命題. X を位相空間とする．
1. x ∈ X が X の有向点列 {xi }i∈I の集積点である
⇐⇒ x に収束する {xi }i∈I の部分有向点列が存在する．
2. X がコンパクト
⇐⇒ X の任意の有向点列が集積点を持つ．
⇐⇒ X の任意の有向点列が収束する部分有向点列を持つ．
定理. 以下の命題は (ZF 上) 同値．
1. 選択公理
2. コンパクト空間の直積はコンパクト．（Tychonoff の定理）
3. コンパクトな T1 空間の直積はコンパクト．
4. 開集合が有限個な空間の直積はコンパクト．
5. 開集合が丁度 3 個な空間の直積はコンパクト．
∏
証明. (1 =⇒ 2) {Xλ }λ∈Λ をコンパクト空間の族とする．X :=
Xλ がコンパクト
λ∈Λ
であることを示すために，X の有向点列 ξ = {fi | i ∈ I} を取る．Σ ⊂ Λ に対して
ξ|Σ := {fi |Σ | i ∈ I} と書く．(各 fi ∈ X は写像 Λ −→
おく．)
∪
λ∈Λ
Xλ であることに注意して
{ }
∏
A := g Σ ⊂ Λ, g ∈
Xλ , g は ξ|Σ の集積点
λ∈Σ
と定義し，A に包含関係 ⊂ で順序を入れる．A に Zorn の補題を適用する為に，部分全順
序 C ⊂ A を取る．h :=
∪
g∈C
g ，Σ :=
∪
dom(g) と置く．h ∈
g∈C
∏
Xλ は ξ|Σ の集積点で
λ∈Σ
ある．
∏
. .
. ) 任意の開近傍 U ∋ h と i ∈ I を取る．U =
Uλ ，有限個の λ を除いて
λ∈Λ
Uλ = Xλ ，としてよい．Uλ ⊊ Xλ となる λ 全体を λ1 , · · · , λn とする．このときあ
2
∏
る g ∈ C が存在して λ1 , · · · , λn ∈ dom(g) となる．g ∈
Uλ であり，g が
λ∈dom(g)
ξ|dom(g) の集積点だから，ある j ≥ i が存在して fj |dom(g) ∈
∏
Uλ となる．こ
λ∈dom(g)
のとき定義から明らかに fj |Σ ∈ U である．よって h が ξ|Σ の集積点であることが分
かった．
故に h ∈ A となるから，h が C の上界である．従って Zorn の補題により A の極大元
g が存在する．
Σ := dom(g) ⊊ Λ と仮定する．µ ∈ Λ \ Σ を取る．g は ξ|Σ の集積点だから，g に収束
する部分有向点列 η = {fφ(j) | j ∈ J} が存在する．このとき η(µ) := {fφ(j) (µ) | j ∈ J}
は Xµ の有向点列である．今 Xµ はコンパクトだったから，η(µ) の集積点 a ∈ Xµ が存在
e := Σ ∪ {µ} として ge ∈
する．このとき Σ
∏
Xλ を
e
λ∈Σ
{
ge(λ) :=
g(λ)
a
(λ ∈ Σ)
(λ = µ)
と定めれば g
e ∈ A である．
. .
. ) ge が ξ|Σ
eと
e の集積点であることを示せばよい．その為に任意の開近傍 U ∋ g
∏
Uλ ，有限個の λ を除いて Uλ = Xλ ，としてよい．Uµ = Xµ
i ∈ I を取る．U =
λ∈Λ
の時は簡単に分かる．Uµ ⊊ Xµ とする．η が g に収束するから，ある j0 ≥ i が存在
して j ≥ j0 に対して fi |Σ ∈
∏
Uλ である．一方 a = ge(µ) が η(µ) の集積点だった
λ∈Σ
e ∈ U である．
から，ある j ≥ j0 が存在して fj (µ) ∈ Uµ となる．よって fi |Σ
よって g
e ⊋ g だから g の極大性に矛盾する．故に dom(g) = Λ であり，g は ξ の集積
点である．
(2 =⇒ 3) 明らか
(3 =⇒ 1) {Xλ }λ∈Λ を非空集合の族とする．どの Xλ にも含まれない元 ∞ ∈
/
∪
λ∈Λ
Xλ
を用意し，Yλ := Xλ ∪ {∞} とする．各 Yλ の位相を
OYλ := {U ⊂ Yλ | Yλ \ U は有限集合 } ∪ {∅, {∞}}
で定義する．各 (Yλ , OYλ ) はコンパクトである．
. .
. ) {Ui }i∈I を Yλ の開被覆とする．OYλ の定義から，Yλ \ Ui0 が有限集合となるよ
うな i0 ∈ I が存在する．Yλ \ Ui0 = {y1 , · · · , yn } と書く．{Ui }i∈I が開被覆である
3
ことから yk ∈ Uik となる ik が存在する．この時 Yλ = Ui0 ∪ Ui1 ∪ · · · ∪ Uin ．従って
Yλ はコンパクト．
また明らかに Yλ は T1 空間でもある．故に仮定 3 から直積空間 Y :=
∏
λ∈Λ
Yλ も
コンパクトである．OYλ の定義から，Xλ = Yλ \ {∞} ⊂ Yλ は閉集合．閉集合の族
{πλ−1 (Xλ )}λ∈Λ は有限交差性をもつ．
. .
. ) 任意の λ1 , · · · , λn ∈ Λ に対し πλ−1
(Xλ1 ) ∩ · · · ∩ πλ−1
(Xλn ) ̸= ∅ となることを示
1
n
せばよい．各 Xλ は空でないから，xλ1 ∈ Xλ1 , · · · , xλn ∈ Xλn が取れる．λi 以外の
λ ∈ Λ に対しては xλ := ∞ として x := (xλ ) ∈ Y を考える．明らかに πλi (x) ∈ Xλi
だから x ∈ πλ−1
(Xλ1 ) ∩ · · · ∩ πλ−1
(Xλn )．
1
n
よって補題 1 の条件 2 から ∅ =
̸
∩
πλ−1 (Xλ ) =
λ∈Λ
∏
Xλ である．
λ∈Λ
(2 =⇒ 4) 開集合が有限個の空間はコンパクトなので明らか．
(4 =⇒ 5) 明らか．
(5 =⇒ 1) 3 =⇒ 1 の証明において，Yλ の位相を
OYλ := {∅, {∞}, Yλ }
で定めればよい．
定理. 任意の整数 n ≥ 3 に対して
選択公理 ⇐⇒ 開集合が丁度 n 個な空間の直積はコンパクト．
証明. Yλ := Xλ ⊔ N として
{
}
OYλ := ∅, N, Yλ , {4}, {4, 5}, · · · , {4, 5, · · · , n}
と定めればよい．
定理. 任意の整数 n ≥ 3 に対して，以下の命題は (ZF 上) 同値．
1. 選択公理
2. 互いに同相なコンパクト空間の直積はコンパクト．
3. 互いに同相な，開集合が丁度 n 個ある空間の直積はコンパクト．
証明. 1 =⇒ 2 と 2 =⇒ 3 は明らか．
4
(3 =⇒ 1) 選択公理は
非空集合の族 {Xλ }λ∈Λ で全ての Xλ の濃度が等しいもの，に対して
∏
Xλ ̸= ∅.
λ∈Λ
と同値だった (集合に関する命題を参照) ことから明らか．
しかし，直接選択公理を示すことも出来るので，その証明を書いておく．簡単のため
n = 3 とする．{Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．
∪
X := λ∈Λ Xλ , Y := X × NX として Y の位相 Oλ を
Oλ := {∅, Y, (X \ Xλ ) × NX }
で定める．λ, µ ∈ Λ とすると |Xλ × NX | = |Xµ × NX | である．
. .
. ) ⟨x, f ⟩ ∈ X × NX に対し g = g(x, f ) ∈ NX を
{
2f (y)
(y ̸= x のとき)
g(y) :=
2f (y) + 1
(y = x のとき)
と定める．a ∈ Xµ を取り φ : Xλ × NX −→ Xµ × NX を φ(x, f ) := (a, g(x, f )) で
定める．すると φ は単射である．よって |Xλ × NX | ≤ |Xµ × NX | となる．同様にし
て ≥ も言えるから Bernstein の定理より = が分かる．
そこで，全単射 F : Xλ × NX −→ Xµ × NX により写像 G : (Y, Oλ ) −→ (Y, Oµ ) を

 F (x, f )
F −1 (x, f )
G(x, f ) :=

(x, f )
(x ∈ Xλ のとき)
(x ∈ Xµ のとき)
(それ以外のとき)
Y = (Xλ × NX ) ⊔ (Xµ × NX ) ⊔ (Xν × NX ) ⊔ · · ·
F
G
F −1
id
Y = (Xλ × NX ) ⊔ (Xµ × NX ) ⊔ (Xν × NX ) ⊔ · · ·
と定める．すると G は同相写像である．故に族 {(Y, Oλ )}λ∈Λ は仮定 3 の条件を満たす
ので
∏
(Y, Oλ ) はコンパクトである．閉集合の族 {πλ−1 (Xλ × NX )}λ∈Λ は有限交差性を
λ∈Λ
持つから，
∅ ̸=
∩
πλ−1 (Xλ × NX ) =
λ∈Λ
∏
λ∈Λ
5
Xλ × NX
となり，故に
∏
Xλ ̸= ∅ である．
λ∈Λ
※ 「コンパクト Hausdorff 空間の直積はコンパクト」は選択公理と同値でないことが
知られている．(BPI (= Boolean Prime Ideal Theorem) と同値である．) また「コ
ンパクトの可算直積はコンパクト」は可算選択公理からでは証明できないことも知ら
れている．
参考文献
[1] Horst Herrlich, Axiom of Choice，Springer, 2006
[2] Ofelia T. Alas, the Axiom of Choice and two particular forms of Tychonoff Theorem, Portugaliae Math., 28 (1969), 75–76, http://purl.pt/2594
[3] Paul R. Chernoff, A Simple Proof of Tychonoff’s Theorem Via Nets, Amer.
Math. Monthly, Vol. 99, No. 10 (1992), 932–934, http://www.jstor.org/stable/
2324485
6