1. No category

ベクトル
映像：（導入）ベクトル
☆ベクトルの性質
向きと大きさを持つ量
−
→
−
→
A 向き：矢印の向き 大きさ：| A | 矢印の長さ
点Ａ（始点）から点Ｂ（終点）に向かうベクトルは
−→
AB と表記される
☆和と差
和
−
→ −
→
A+B
つなぎ合わせる，平行線の対角線としてとらえる
差
−
→ −
→
B−A
−
→
→
−
A の終点から Ｂ の終点へ矢印をひく
☆始点書きかえ公式
−−→ −−→ −−→
AB = XB − XA
X は必要に応じて選択する
☆ベクトルの成分表示
−
→
p =
(
a
b
)
→
大きさ；|−
p|=
√
a2 + b2
たとえば
Ａ（1,2），B(3,4) とすれば
−→
OA =
(
1
2
)
−→
，OB =
(
3
4
)
となる
また
−→
−→ −→
OP = 2OA + OB = 2
(
1
2
)
(
+
3
4
)
(
=
1
2
4
)
(
+
3
4
)
(
=
5
8
)
☆内分点公式
ＡＢを m : n に内分する点Ｐのベクトルは
−→ −→
OP = OA +
m −→
AB
m+n
−→
m −→ −→
(OB − OA)
= OA +
m+n
−→
−→
nOA + mOB
=
m+n
※重心ベクトル
−→ −→ −→
−−→ OA + OB + OC
OG =
3
☆内積
−
→
→
−
a と b の内積は
−
→ → −
→
−
→
a · b ＝ |−
a || b |cosθ
−
→
→
−
→
→
で定義される。また θ は −
a と b とのなす角である。特に −
a = b とすると
−
→
→
a ·−
a = |a|2
また成分表示での内積は
−
→
a =
(
a1
a2
)
−
→
(
，b =
b1
b2
)
とすると
−
→
−
→
a · b = a1 b1 + a2 b2
ベクトルの内積はスカラー（大きさのみの量）となる
※分配法則
−
→
−
→
−
→
−
→
→
→
−
−
→
→
a (−
a + b)=−
a ·→
a +→
a · b = |−
a |2 + −
a · b
例
√
−
→
→
|−
a + b|= 5
2
のとき両辺を２乗すると
−
→
−
→ → −
→
−
→ −
→ −
→
→
− −
→
→
→
→
→
→
→
→
|−
a + b |2 = ( −
a + b )·(−
a+b)=−
a ·−
a +2−
a ・ b + b ・ b = |−
a |2 +2−
a・ b +| b |2 = 5
と変形可能
☆平行条件・垂直条件
−
→
→
平行：−
a = k b (k : 実数)
−
→
→
垂直：−
a・ b = 0
平面との直交条件は平面上の２ベクトルとの内積０と考える
☆面積公式
→
−
→
−
a , b によって作られる三角形の面積は
√
−
→
−
→
1 −
→
S=
|→
a |2 | b |2 − ( −
a・ b )2
2
☆斜交座標
−
→
−
→
→
p = x−
a +y b
で f (x, y) = 0 の関係が与えられているとき
→
−
→
−
a を x 軸での単位目盛り， b を y 軸での単位目盛りとしてグラフ化する
☆ベクトル方程式
(1) 直線の方程式
定点 A(x1 , y1 , z1 ) を通り方向ベクトル (l, m, n) である直線上の点Ｐ (x, y, z) は


l
−→
AP = t  m 
n




x − x1
l
 y − y1  = t  m 
z − z1
n
∴ (t =)
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
l
m
n
(ii) 平面の方程式
−
→
定点 A(x1 , y1 , z1 ) を通り法線ベクトル h = (a, b, c) である直線上の点Ｐ (x, y, z) は
→ →
−→ −
−
AP・h = 0
3

 

x − x1
a
 y − y1 ・ b  = 0
z − z1
c
∴ ax + by + cz + d = 0(d : 定数)
4
★問題
１
−→
３点Ａ (1,0),B(2,-2),C(-2,c) についてベクトル AB を求めよ。また３点Ａ，Ｂ，Ｃが１直
線上にあるとき c の値を求めよ
２
→
−
→
２つのベクトル −
a = (3, 6), b = (− 21 , k) が平行であるとき k の値を求めよ
３
→
−
−
→
→
−
→
→
→
a = (1, −1), b = (2, 5) のとき −
p = 2−
a + b の大きさ |−
p | を求めよ
4
−
→
→
→
２つのベクトル −
a , b に対して |−
a|=
→
−
b の値を求めよ
√ →
√
−
−
→
→
→
3, | b | = 2, |−
a − 2b| = 7 であるとき内積 −
a・
５
−
→
→
2 つのベクトル −
a = (−1, 2), b = (8, c) が直交するとき c の値を求めよ。また，このと
−
→ → →
−
→
き 2−
a + b ,|2−
a + b | を求めよ
６
平面上に３点Ｏ，Ａ，Ｂがあり，A(2,1),B(−3, k), ただし k > 0 とするとき△ＯＡＢの面
積が
11
2
のときの k の値を求めよ
７
平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＢを 2:1 に内分する点をＥ，ＢＤとＥＣの交点をＦとするとき
−→ −→ −→
AF を AB, AD で表せ
８
−→
−→
−→
△ＯＡＢがあり OP = αOA + β OB とする。ＰがＡＢの中点となるときの α, β の値を求
めよ。また点 P が△ＯＡ B の重心のときの α, β の値を求めよ
９
−→
△ＯＡＢにおいて OC =
1 −→ −→
2 OA, OD
−→
= 2OB となる点をＣ，Ｄととる。ＣＤとＡＢの交点
をＰとするときＡＰ：ＰＢの値を求めよ
5
１０
−→
−→
−
→
原点をＯとする座標平面上の３点Ａ，Ｂ，Ｐの間に 4AP + 3BP = 0 の関係があるとき
−→ −→ −→
OP を OA, OB で表せ。またＰは線分ＡＢをいくらの比に分けるか
１１
直方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨにおいて
D
A
B
C
E
H
F
G
−→ −→ −→
−→
AG + DB + GC + 2CD を簡単にせよ
１２
３点 (1,-2,3),(α,-7,8),(4,-5,α) が１直線上にあるとき α の値を求めよ
１３
−→ −→ −−→ −→
３ 点 A(3,2,4),B(5,3,-3),C(3,-1,-1) と す る と AB, |AC|, ＡＢ・AC の 値 を 求 め よ 。ま た
cos ∠ＢＡＣ の値を求めよ。
6
★．５問題
１
→
−
−
→
−
→
→
→
→
２つのベクトル −
a = (1, 4), b = (2, 2) について −
a + t b を成分で表せ。また |−
a +t b |
が最小となるときの実数 t の値を求めよ
２
→
−
−
→
→
→
２つのベクトル −
a = (3, 2), b = (−1, 4) について m−
a + n b = (2, 8) であるとき実数
−
→ →
→
m, n の値を求めよ。また 3−
a − 2t b が −
a と直交するときの実数 t の値を求めよ
３
平行四辺形ＯＡＢＣの対角線 AC を１：３の比に内分する点をＤとして，ＯＤの延長と辺
→
−
−→ → −→ −
−→ −→ → →
Ａ B との交点をＥとする。OA = −
a , OC = b とするとき OD, OE を −
a , b を用いて表
せ
４
△ＯＡＢにおいて辺ＯＡの中点をＭ，辺ＯＢを３：１に内分する点をＮとし，線分ＢＭと
→
→
−→ → −→ −
−→ → −
線分ＡＮとの交点をＰとする。OA = −
a , OB = b とするとき OP を −
a , b を用いて表
せ
５
−→
−→
−→
−→
△ＡＢＣの内部に点Ｐがあって 2AB + AC = 2(2PB + PC) を満たすとする。このとき，
辺ＡＰと辺ＢＣの交点をＱとする。Ｑの位置を述べよ。また△ＰＡＢ：△ＰＢＣ：△ＰＣ
Ａを求めよ
６
−
→
−
→
→
→
２つのベクトル −
a = (−x + 1, x − 3, 2x − 1), b = (1, 2, 3) について −
a ⊥ b となる実数
−
x を求めよ。また →
a の大きさが最小になるときの x とその最小値を求めよ
７
空間に３点 A(1,2,-3),B(-1,0,-2),C(2,-2,4) があるとき△ＡＢＣの面積を求めよ
８
1 辺の長さが１の正四面体ＯＡＢＣの辺ＯＡ，ＢＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとする。
→−→ →
−→ −
−→ −
−−→
OA = →
a , OB = b OC = −
c とするとき MN を求めよ。また線分ＭＮの長さを求めよ
7
★★問題
１
−→
−→
−→
−→
−→
平面上に２つのベクトル OA = (−1, 2), OB = (3, 1) と OC = OA + tOB(t は実数)
−→
(1)t = 12 のとき OC を成分表示せよ
−→
(2)|OC| の最小値とそのときの t を求めよ
−→
−→ −→
(3)(2) の t に対して OA + tOB と OB は垂直であることを示せ
２
−
−→ − −→ →
１辺の長さが l の正６角形ＡＢＣＤＥＦについて AB = →
a ，AF = b とおく
→
−→ −−→ → −
(1)AC，ＡＤ を −
a , b を用いて表せ
→
−
−→ −→
−
(2)→
a , b を AC, AD で表せ
→
−
−→ −−→
−
(3)AC・ＡＤ = 12 のとき l, →
a・ b の値を求めよ
３
→
−→ → −→ −
△ＯＡＢで OA = −
a ,OB = b とする。ＯＢの中点をＭ，ＡＢを１：２に比に内分する点
をＮとし，線分ＡＭ，ＯＮの交点をＰとする
→
−→ → −
(1)ON を −
a , b で表せ
→
−→ → −
(2)OP:ON=k : 1 とおいて OP を −
a , b ,k で表せ。またＡＰ：ＰＭを l : 1 − l とおいて
−
→
−→ −
OP を →
a b ,l で表せ
(3)(2) の k, l の値を求めよ
４
−→
−→
−→
平面上の４点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃについて 5OC = 3OA + 4OB が成立しているとする。直線
→
−→ → −→ −
OA と直線 BC の交点を P, 直線 OB と直線 AC の交点を Q とし，OA = −
a ,OB = b と
する。
→
−→ → −
(1) 線分ＡＢ，ＯＣの交点を D とするとき OD を −
a , b で表せ
→
−→ −→ → −
(2)OP, OQ を −
a , b で表せ
(3) 線分ＯＣの中点をＬ，線分ＡＢの中点をＭ，線分ＰＱの中点をＮとするとき３点Ｌ，
Ｍ，Ｎは１直線上にあることを示せ
５
△ＡＢＣがあり辺ＡＢを２：１に外分する点Ｄ，辺ＢＣを３：１に内分する点をＥ，ＡＣ
→ −→ →
−→ −
とＤＥの延長との交点をＦとする。AB = b , AC = −
c として
→ →
−→ −→ −
(1)AD, AE を b , −
c を用いて表せ
→ −
−→ −
→
(2)AF を b , c をもちいて表せ
8
(3)AB=5,AC=7, ∠ BAC=60°のとき，△ＡＢＦの面積を求めよ
６
△ＯＡＢで OA=2,OB=1 ∠ＡＯＢ＝ 120°とし，頂点Ｏから辺ＡＢに垂線ＯＰを引く。
→
−→ −
−→ −
OA = →
a , OB = b とするとき
−
→
−
(1)→
a・ b を求めよ
−
−→ − →
(2)OPを→
a , b で表せ
(3) ＯＰの中点をＱとし，直線ＡＱと辺ＯＢとの交点をＲとするときＯＲ：ＲＢを求めよ
７
△ＡＢＣとその内部にある点について
−→
−→
−→
3PA + 2PB + 2PC = 0
(1)P の位置を説明せよ
(2) △ＰＢＣと△ＰＣＡと△ＰＡＢの面積比をもっとも簡単な整数比で示せ
８
映像：（典型）ベクトル
座標平面上に３点Ｏ（0,0）,A(6,3),B(2,6) があるとき
(1) 点Ｐ (x, y) が実数 s, t を用いて
−→
−→
−→
OP = sOA + tOB s + t = 1
で表されるとき，点Ｐの描く図形を図示せよ
(2) 点 Q(x, y) が実数 p, q を用いて
−→
−→
−→
OQ = pOA + q OB p + q ≤ 1, p ≥ 0, q ≥ 0
で表されるとき，点 Q の存在領域を図示せよ
(3) 点 R(x, y) が実数 l, m を用いて
−→
−→
−→
OR = lOA + mOB 1 ≤ l + m ≤ 3, l ≥ 0, m ≥ 0
で表されるとき，点 Q の存在領域を図示せよ
9
9
→ −→ →
−→ → −→ −
図の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨで AB = −
a , AD = b , AE = −
c とするとき
D
A
B
C
E
H
F
G
→ −
−→ → −
(1) △ＢＤＥの重心をＰとするとき APを−
a , b ,→
c で表せ
(2) 対角線ＡＧは点Ｐを通ることを示し，線分ＡＰ，ＰＧの長さの比を求めよ
(3) 対角線ＡＧは平面ＢＤＥに垂直であることを示せ
１０
空間に A(-1,2,1),B(2,-1,1)C(x,-2,y) がある
−→
(1) 線分ＡＢを t : 1 − t の比に内分する点を P とするときベクトル OP を求めよ
−→
−→ −→
(2)(1) で求めた OP に対して OP・OC を求めよ
−→
(3) 平面ＯＡＢと OC が垂直となるような x, y の値を求めよ
１１
直線 l 上の点 (x, y, z) が媒介変数 t を用いて x = 3t − 2, y = 4t + 3, z = 2t − 4 と表され
るとき
(1) 直線 l と xy 平面との交点の座標を求めよ
(2) 直線 l を含み xy 平面と垂直な平面を α とする。平面 α と xy 平面との交線の方程式
を求めよ
１２
映像：（典型）ベクトル
→ −→ −
−→ → −→ −
四面体ＯＡＢＣにおいて OA = −
a , OB = b , OC = →
c とおｋ
→
|−
a|=
√
√ −
−
→
−
→
−
→ →
→
2, | b | = 5, →
c = 2, −
a・ b = 2, b ・−
c = 4, ∠ＡＯＣ = 45°
(1) 辺ＡＢの長さを求めよ
(2) △ＡＢＣの面積 S を求めよ
(3) 四面体ＯＡＢＣの体積 Ｖ を求めよ
10
★★★問題
１
平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣをＣの方に延長し，その延長上に点ＥをとってＣＥ＝２
ＡＣとなるようにする。また辺ＡＢおよび線分ＤＥの中点をそれぞれＰ，Ｑとする。ただ
−
−→ → −→ →
し AB = −
a , AD = b とする。
−−→ → −
→
(1)A Ｑ を −
a , b で表せ
−−→ → −
→
(2)ＰＱ を −
a , b で表せ
(3)3 点Ｐ，Ｃ，Ｑは一直線上にあり，点Ｃは線分ＰＱの中点であることを示せ
２
図のように△ＯＡＢにおいて，辺ＯＡ，ＡＢ，ＢＯをそれぞれ１：２の比に内分する点をＣ，
Ｄ，Ｅとする。さらに，ＢＣとＯＤ，ＯＤとＡＥ，ＡＥとＢＣの交点をそれぞれＦ，Ｇ，Ｈ
−
−→ → −→ →
とし，辺ＡＢの中点ＭとＧを結ぶ直線がＯＡと交わる点をＮとする。OA = −
a , OB = b
とする。
B
E
H
M
D
G
F
O
C
N
A
−−→ → −
→
(1)ＯＧ を −
a , b で表せ
−−→ → −
→
−−→ −→
(2)MG//BC を示し，ＭＮ を −
a , b で表せ
(3) △ＯＡＢと△ＦＧＨの面積比をもっとも簡単な整数比で表せ
３
1 辺の長さが１の正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて，対角線ＡＣ，ＢＦの交点をＧとする。
−−→ →
−
−→ →
AB = −
a , A Ｆ = b とする
11
A
B
F
G
E
C
D
→
−→ → −
(1)FB を −
a , b で表せ
−
→ −→
−
また内積 →
a・ b ,|FB| を求めよ
−−→ −−→ → −
−−→ −−→
→
(2)ＧＢ，ＧＤ を −
a , b で表せ。また ＧＢ・ＧＤ を求めよ
−−→ −−→
(3)ＧＢ，ＧＤ のなす角を θ とするとき cosθ の値を求めよ
4
△ＡＢＣの 3 辺の長さがそれぞれＡＢ＝８,BC=7,CA=3 のとき
(1) ∠Ａの大きさ A を求めよ
−→ −→
(2) 内積 AB・AC を求めよ
−−→ −→
−→ −→
(3) △ＡＢＣの外心をＯとして A Ｏ を AO = k AB + lAC と表すとき定数 k, l の値を求め
よ
５
映像：（典型）ベクトル
三辺の長さが BC=5,CA=6,AB=7 である△ＡＢＣの内接円と三辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの接
→ −→ −
−→ −
点を P,Q,R とする。線分ＡＰと線分ＢＱとの交点をＳとし，AB = b , AC = →
c とおく。
→ →
−→ −
(1)BP=x とおくとき線分ＡＱの長さを x を用いて表せ。また AP を b , −
c で表せ
− →
−→ →
−
(2)AS を b , c で表せ。また 点Ｓは線分ＣＲ上にあることを示せ
−
→
(3)|SP| を求めよ
6
OA=6,OB=4, ∠ＡＯＢ=60°である△ O ＡＢにおいて重心をＧ，垂心をＨとし，線分Ａ
−
−→ − −→ →
0
Ｈの延長と辺ＯＢとの交点を H とする。OA = →
a , OB = b とする
−
→
→
−−→ → −
→
(1) 内積 −
a・ b を求めよ。また OG を −
a , b で表せ
−−→0 −→
−
→
→
(2)AH ，OH をそれぞれ −
a , b で表せ
−−→ − −
→
−→ −→
(3) 点Ｐが 2PG = GH を満たすとき O Ｐ を →
a , b で表せ。また点Ｐは△ＯＡＢの外心
であることを示せ。
12
７
座標平面上に 2 点Ａ (1,4),B(-1,-3) があるとき
−→
−→
(1)3OA + 2OB の大きさを求めよ
−→
−→
−→
(2)α + β = 1 を満たす実数 α, β に対して，ベクトル OP = α2 OA + β 2 OB の終点Ｐはど
んな図形を描くか
８
−
−→ − −→ →
−→ →
座標平面上に 2 点Ａ (1,1),B(-1,1) と動点Ｐ (x, y) に対して OP = →
p , OA = −
a , OB = b
とし，３つの不等式
−
→ →
→
→
−
−
→
|−
p | ≤ 1……i |−
p |2 + 1 ≥ 2→
a・→
p ……ii |−
p |2 + 1 ≥ 2 b ・−
p ……iii
を同時に満たす点Ｐの存在する領域をＤとする
(1) 不等式 (i) を満たす点Ｐの存在する領域の面積を求めよ
(2) Ｄの面積を求めよ
(3) Ｄに属する任意の 2 点Ｑ，Ｒに対して
−→
−→
−→
OS = tOQ + (1 − t)OR (0 ≤ t ≤ 1)
を満たす点Ｓが存在する領域の面積を求めよ
９
映像：（典型）ベクトル 2
−→ −−→
√
平面上に 3 点Ｏ，Ｐ，Ｑがあり，OP・O Ｑ = −2, △ＯＰＱ=2 2 を満たしている。
−→
−→
|OP| = x, |OQ| = y, ∠ＰＯＱ=θ とする
(1)cosθ,xy の値を求めよ
−→
(2)|PQ| の最小値を求めよ
−→ −→
−→
−→
−→
−→
(3)OT = OP + 32 OQ, s ≥ 0, t ≥ 0, s + t ≤ 1 とするとき OR = sOP + tOT を満たす点
Ｒの動く範囲の図形の面積を求めよ
１０
四面体ＯＡＢＣにおいて辺ＡＢの中点をＥ，辺ＯＣを 2:1 に内分する点をＦ，辺ＯＡを
−→
−→
1:2 に内分する点をＰとする。またＱを BP = tBC を満たす辺ＢＣ上の点とする。ＰＱと
ＥＦが交わるとき，実数 t の値を求めよ
１１
→
座標空間内の点 P1 (1, 0, 0) を通りベクトル −
a1 = (1, 1, 0) に平行な直線を l1 とし，点
13
→
P2 (0, 2, 0) を通りベクトル −
a2 = (1, 0, 1) に平行な直線を l2 とする。
(1)l1 上の点 Q1 と l2 上の点 Q2 を結ぶ直線が l1 と l2 の両方に直交するとする。このと
きの Q1 ,Q2 の座標を求めよ
(2) 上で求めた 2 点 Q1 ,Q2 について線分 Q1 Q2 の長さを求めよ
１２
−
−→ − −→ →
原点を O とし，座標空間に 3 点Ａ (1,-1,0),B(0,1,-2),C(3,2,1) がある。OA = →
a , OB = b
とする
(1) △ＯＡＢの面積を S とするとき，
√
−
→
−
→
1 −
→
S=
|→
a |2 | b |2 − ( −
a・ b )2
2
で表されることを示せ。また，これを用いて△ＯＡＢの面積を求めよ
(2) 点Ｃを通り△ＯＡＢを含む平面に垂直な直線が，この平面と交わる点をＨとするとき，
−
→
−→ −
OH を →
a , b を用いて表せ
(3) 四面体ＯＡＢＣの体積 V を求めよ
１３
図の立体で，上面ＯＡＢと下面ＣＤＥは平行であり，これらは互いに合同な直角三角形で
ある。また側面ＯＣ DA はひし形，側面ＡＢＥＤは平行四辺形，側面ＯＢＥＣは長方形で
√
→ −→ →
−→ − −→ −
−
−c = − 3
ある。OA= 3,OB=1,AB=2 また OA = →
a , OB = b , OC = −
c とおくと →
a・→
2
である
A
B
O
D
E
C
(1) ∠ＡＯＣの大きさを求めよ。またこの立体の体積を求めよ
→ →
−−→ − −
−−→
(2) △ＡＢＣの重心をＧとするとき，OG を →
a , b ,−
c を用いて表せ。また |OG| を求めよ
(3)(2) で直線ＯＧと平面ＡＢＥＤとの交点をＦとするとき，ＯＧ：ＧＦをもっとも簡単な
整数の比で表せ
14
１４
Ｏを原点とする座標空間に 3 点Ａ，Ｂ，Ｃがあり，
−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→
OA・ＢＣ = OB・Ｃ A＝O Ｃ・A Ｂ = k
→
− →
−
を満たしている。点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルをそれぞれ →
a , b ,−
c とする
−
→ −
→ →
→
→
−
(1)k の値を求め，−
a・−
c =→
a・ b = b ・−
c を示せ
−
→
→
(2) △ＡＢＣの重心Ｇのベクトルを g とする。−
g が△ＡＢＣを含む平面に垂直であると
き，△ＡＢＣは正三角形であることを示せ
−−→
−→ −−→
(3)（２）において OA・O Ｂ = 2, |A Ｂ| = 2 のとき四面体Ｏ-ＡＢＣの体積を求めよ
１５
四面体ＡＢＣＤについて AB⊥CD,AC⊥BD とするとき
−→ −−→
(1)AD・ＢＣ を求めよ
(2) Ｏを四面体ＡＢＣＤに外接する球の中心として，点Ｈを
−→ 1 −→ −→ −→ −→
OH = (OA + OB + OC + OD)
2
−→ −→
により定めるとき AH・BD = 0 であることを示せ
(3) 頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄから対面に下ろした４つの垂線は点Ｈで交わることを示せ
15
★★★★問題
１
−→
ＯＡ：ＯＢ＝ 3:2, ∠ＡＯＢ＝ 60°である△ＯＡＢの外接円の中心をＣとする。OA =
→
−
−→ −
−→ − →
→
−
a , OB = b とするとき OCを→
a ，b で表せ
２
平面上において，点Ｏを始点とする２つの半直線を l1 , l2 とし，それらのなす角は鋭角 θ
とする。点Ａは l1 上の点でＯＡ=1, 点Ｂは l2 上の点で OB= b とする。次に直線ＡＢ上
に点Ｏからおろした垂線と直線ＡＢとの交点をＰとする。
−→ −→
−→ −→
−→
−→
(1)OA, OB により OP を OP = tOA + (1 − t)OB とするとき t を b と θ を用いて表せ
(2)θ を固定し，b を b > 0 の範囲で動かすとき，点Ｐが l1 , l2 で挟まれる部分（ただし，
l1 , l2 も含む）にあるための b の範囲を求めよ
(3)b が (2) で求めた範囲で動くとき，点Ｐの描く軌跡と l1 , l2 で囲まれる部分の面積を求
めよ
3
四面体ＯＡＢＣがあり，∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝ 90°，∠ＢＯＣ＝ 60°，辺ＯＡ，ＯＢ，Ｏ
Ｃの長さはそれぞれ a, a, 2 である。
このとき，点Ｏから三角形ＡＢＣを含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をＰとす
るとき，Ｐが三角形ＡＢＣの内部（辺上を含む) にあるための a の条件を求めよ
４
映像：（典型）ベクトル 2
Ｏを原点とする xyz 空間に３点Ａ（4,-6,-2）,B(1,-5,3),C(1,-9,1) がある。Ｏから△ＡＢ
Ｃを含む平面に下ろした垂線がこの平面と交わる点をＨとし，Ｈから直線ＡＢに下ろした
垂線の足をＱとする。
−→
(1)OH を成分で表せ
−→
(2)AQ を成分で表せ
5 2 つの平面 α : 2x + y + z − 3 = 0…(i),β : x + 2y − z + 6 = 0 について
(1)2 つの平面 α, β のなす角を鋭角で求めよ
(2) ２つの平面 α, β の交線 l の方程式を求めよ
(3) 平面 α 上の点Ａ (1,2,-1) を通り，平面 β と垂直な直線 m の方程式を求めよ。また m
と β との交点 B の座標を求めよ。さらに直線 m を含み，直線 l と垂直な平面 γ の方程式
を求めよ
16
６
空間内の点Ａ，Ｂの座標をそれぞれ (0,0,1),(0,0,-1) とし，原点をＯとする。
−→
−→
(1) 点Ｐ (x, y, z) はＡ，Ｂと異なる点でベクトル AP とベクトル BP が垂直になるように
動くものとする。このとき x, y, z の満たす条件を求めよ
(2) Ｐが (1) の条件を満たすとき，直線ＡＰと xy 平面の交点を Q(u, v, 0) とする。u, v を
x, y, z を用いて表せ
(3) このとき x, y, z を u, v をもちいて表せ
−→
→
(4)P が（１）の条件を満たし，さらに OP がベクトル −
α = (1, 1, 1) に垂直になるように
動くとき，Ｑは xy 平面上のどのような図形を描くか答よ。
７
中心Ａ（2,2,2）, 半径 r =
√
3 の球面 S と，z 軸を含む平面 α : x − ky = 0 について
(1) 球面 S と平面 α が１点で接するとき k の値を求めよ
(2)k =
4
3
のとき平面 α と球面 S の交わりの円の半径とその中心の座標を求めよ
8
√
√
1
3 −
1
3
−
→
−
→
→
x1 = (1, 0), x2 = (− ,
), x3 = (− , −
)
2 2
2
2
→, −
→ −
→
とおく。３つのベクトル −
x
1 x2 , x3 の中から等確率
1
3
で１つのベクトルを取り出す試行を
n 回くり返す。ただし，各試行は互いに無関係に行われるものとする。このときベクトル
−
→, −
→, −
→ が取り出された回数をそれぞれ n .n , n（n + n + n = n）とする。
x
x
x
1
2
3
1
2
次の問に答えよ
3
1
2
3
−
→ + b−
→ + c−
→=→
(1)a, b, c を実数とする。このとき a−
x
x
x
0 となるための必要十分条件は
1
2
3
a = b = c であることを示せ
(2)n = 3m(m は自然数) のとき
−
→+n −
→
−
→ →
n1 −
x
1
2 x2 + n3 x3 = 0
となる確率を Pm とする。
(イ)P1 を求めよ
(ロ) 一般に，自然数 m に対して，Pm を求めよ
(3)m > 1 に対して
Pm <
m
Pm−1
m+1
17
であることを示せ。
９
→
座標空間において，原点Ｏを通り，ベクトル −
u = (1, 4, 1) に平行な直線を l, 点Ａ (0,2,1)
を中心とする半径１の球面を S とする。直線 l と球面 S の交点の内，原点Ｏに近いもの
をＰとおく。
(1) 点Ｐの座標を求めよ
−→ −−→
(2) 内積 PO・ＡＰ を求めよ
−→
(3) 平面ＡＰＯ上で，直線ＡＰに関して，点Ｏと対称な点をＲとする。ベクトル PR を成
分で表せ。
(4) 直線ＰＲと xy 平面の交点の座標を求めよ
１０
(1)xy 平面で，動点Ｐは集合 M =｛(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1｝を
動点Ｑは集合 N =｛(x, y)||x| + |y| = 3｝を動くとする。このとき，
−→ −→ −→
OR = OP + OQ で表される点Ｒが動いてできる図形を図示しその面積を求めよ。ただし
Ｏは原点とする。
(2)xyz 空間で，動点Ｐは集合 M =｛(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≤ 1｝を
動点Ｑは集合 N =｛(x, y, z)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1｝を動くとする。このとき，
−→ −→ −→
OR = OP + OQ で表される点Ｒが動いてできる図形の体積を求めよ。ただしＯは原点と
する。
18
★★★★★問題
１
−→ −→ → −→ −→ −
−→−→ →
△ ABC において AB・AC = −
x ，BC・BA＝→
y ，CACB＝−
z とおく。
(1) 各辺の長さをそれぞれ x, y, z を用いて表せ
(2)xy + yz + zx > 0 が成立することを証明せよ
2
映像：（難問）ベクトル１
自然数 k に対して，xy 平面上のベクトル v~k = (cos 45◦ k, sin 45◦ k) を考える。a, b を正の
−
→ −
→ −
→
−
→
数とし，次の xy 平面上のベクトル P0 , P1 , P2 , ……P8 を
−
→
P0 = (0, 0)
−−−−−−→
−→
P2n P2n+1 = a−
v−
2n+1 (n = 0, 1, 2, 3)
−−−−−−−−→
−→
P2n+1 P2n+2 = b−
v−
2n+2 (n = 0, 1, 2, 3)
により定める
(1)P0 = P8 を示せ
(2)P0 , P1 , P2 ………P8 を順に結んで得られる八角形の面積を a, b で表せ
√
(3) 面積 S が７，線分 P0 P4 の長さが 10 のとき a, b の値を求めよ
3
四面体 OABC の面 ABC の重心を G とする。線分 OG を t : 1 − t の比に内分する点を
P とする。また直線 AP と面 OBC の交点を A’，直線 BP と面 OCA の交点を B’，直線
CP と面 OAB の交点を C’ とする。このとき三角形 A’B’C’ と三角形 ABC は相似である
ことを示し，相似比を求めよ。
4
空間に点 A(0,0,6) と球面 S:x2 + y 2 + z 2 − 2y − 2z + 1 = 0 がある。A から S に接線を
引き，その接点を P とする。またその接線が xy 平面と交わる点を Q とする。接点 P が
S 上を動くとき，点 Q の軌跡を表す方程式を求めよ。
5
半径 r の球面上に４点 A,B,C,D がある。四面体 ABCD の各辺の長さは
AB =
√
3, AC = AD = BC = BD = CD = 2
19
を満たしている。このとき r の値を求めよ。
6
四面体 OABC は次の２つの条件
(i)OA ⊥ BC，OB ⊥ AC，OC ⊥ AB
(ii) ４つの面の面積はすべて等しい
を満たしている。この四面体は正四面体であることを示せ
7
三角錐 ABCD において辺 CD は底面 ABC に⊥である。AB=3 で辺 AB 上の 2 点 E,F
は AE=EF=FB=1 を満たし，∠ DAC=30°，∠ DEC=45 °，∠ DBC=60°である。
(1) 辺 CD の長さを求めよ
(2)θ=∠ DFC とおくとき cos θ を求めよ。
8
映像：（難問）ベクトル２
四面体 OABC において OA=OB=2,OC=1, ∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=60°とする。
−→
−→
−→
辺 OA 上に点 P を OP = xOA となるようにとり，三角形 OBC の内部に点 Q を内積 PQ
−→
−→ −→
・OB と PQ・OC がともに 0 になるようにとる。
−→
−→ −→
(1)OQ を x, OB, OC を用いて表せ
(2)x が 0 < x < 1 の間を動くとき，四面体 BCPQ の体積の最大値と，その最大値を与え
る x の値を求めよ
9
r は 0 < r < 1 をみたす実数とする。xyz 空間に原点 (0,0,0) と 2 点 A(1,0,0),B(0,1,0) を
とる。
−→
−→
−→
(1)xyz 空間の点 P で条件 |PA| = |PB| = r ・|PO| を満たすものが存在するような r の範
囲を求めよ
−→ −→
(2) 点 P が (1) の条件をみたして動くとき，内積 PA・PB の最大値，最小値を r の関数と
考えてそれぞれ M (r), m(r) で表す。このとき左からの極限
lim (1 − r)2 (M (r) − m(r))
r → 1−0
を求めよ。
10
C を底面が半径２の円で高さが６の直円錐とし，これを xyz 空間に頂点が原点 (0,0,0) で
20
√
√
底面の中心が A(0, 3 2, 3 2) となるようにおく。C の表面のうち底面と頂点以外の部分
を側面と呼ぶ
(1)P(a, b, c) を C の側面上の点とする。P から線分 OA に下ろした垂線の長さを b, c で表
せ。
(2)(x, y, 2) が C の表面上の点であることを表す x と y の方程式を求めよ。
11
xyz 空間において，xy 平面上に原点を中心とする半径２の円 C がある。また，点 (0,1,0)
を通りベクトル (1,1,-2) に平行な直線を l とする。この l 上の動点 P から最短距離にある
C 上の点を Q とする。点 P が l 全体を動くとき，点 Q が動く範囲を図示せよ。
21