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1
平成 26 年度 琉球大学２次試験前期日程 (数学問題)
理・工・医・農・教育学部 平成 26 年 2 月 25 日
• 理・工・医・教育 [数学] 学部は， 1 ∼ 4 数 I・II・III・A・B・C (120 分)
• 農・教育 (学校教育 [教育実践学・技術・特別支援]，生涯教育 [自然環境科学])
学部は， 5 , 6 数 I・II・A・B (60 分)
1 次の問いに答えよ．
Z
π
4
(1) 定積分
x cos 2x dx を求めよ．
0
(2) AB = AC = 1 である二等辺三角形 ABC において，BC = 2x，内接円の
半径を r とおく．
(i) r を x を用いて表せ．
(ii) r が最大となる x の値を求めよ (最大値そのものは求める必要はない)．
Ã
!
a b
2 a，b，c，d は a + d = 0，ad − bc = 1 をみたす実数とし，A =
，
c d
Ã
!
1 0
E=
とする．次の問いに答えよ．
0 1
(1) A2 = −E を示せ．
(2) p，q は実数で p2 + q 2 6= 0 をみたすとする．実数 x，y に対して
(pA + qE)(xA + yE) = E
が成り立つとき，x，y を p，q で表せ．
(3) θ を実数とする．すべての正の整数 n に対して
{(cos θ)E + (sin θ)A}n = (cos nθ)E + (sin nθ)A
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ここで，(sin θ)A は
行列 A の sin θ 倍を表す．
2
3 整数 m，n は m = 1，n = 2 をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1) x > 0 のとき，y = log x の第 1 次導関数 y 0 と第 2 次導関数 y 00 を求めよ．
答えを記すのみでよい．
(2) 座標平面上の 3 点 A(m, log m)，B(m + 1, log(m + 1)) を頂点とする三
角形の面積を Sm とする．Sm を m を用いて表せ．答えを記すのみでよい．
Z m+1
(3) f (m) = log m + Sm −
log x dx とおく．f (m) < 0 が成り立つことを，
m
y = log x のグラフを用いて説明せよ．
(4) f (1) + f (2) + · · · + f (n − 1) < 0 であることを用いて，不等式
log 1 + log 2 + · · · + log(n − 1) < n log n − n + 1 −
1
log n
2
を証明せよ．
√ ³ n ´n
(5) 不等式 n! < e n
を証明せよ．ただし，e は自然数の底である．
e
4 1 個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品は A と B の
2 種類があり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする．
・ 出た目の数が 6 のときは，景品 A をもらえる．
・ 出た目の数が 4，5 のときは，景品 B をもらえる．
・ 出た目の数が 1，2，3 のときは，景品はもらえない．
・ 景品 A と景品 B の 2 種類とももらえることができたらゲームは終了する．
ちょうど n 回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を pn と
する．次の問いに答えよ．
(1) p2 の値を求めよ．
(2) n を 2 以上の整数とする．pn を n を用いて表せ．
(3) n を 2 以上の整数とする．不等式
2
pn+1 − pn < (pn − pn−1 )
3
を示せ．ただし，p1 = 0 とする．
3
5 4ABC において，辺 AB を 2 : 1 に内分する点を D，辺 AC を 3 : 1 に内分する
点を E とし，線分 CD，BE の交点を P とする．次の問いに答えよ．
−→
−→ −→
(1) AP を，AB と AC を用いて表せ．
√
(2) AB = 3，AC = 4，AP = 7 のとき，∠BAC の大きさを求めよ．
6 a，b を実数とし，放物線 y = x(x − a) を C とする．次の問いに答えよ．
(1) C 上の点 (t, t(t − a)) における C の接線の方程式を求めよ．
(2) 点 (b, 0) から C に，相異なる 2 本の接線が引けるとする．このとき，a，b
がみたす不等式を求め，その不等式が表す領域を，ab 平面上に図示せよ．
(3) C と x 軸が囲む部分の面積を S(a) とする．関数 y = S(a) (−2 5 a 5 2)
のグラフをかけ．
4
正解
Z
1
π
4
(1)
·
x cos 2x dx =
0
1
1
x sin 2x + cos 2x
2
4
¸ π4
0
=
π
8
−
1
4
1
(2) s = (1 + 1 + 2x) = 1 + x とおくと，ヘロンの公式により
2
p
4ABC = s(s − 1)(s − 1)(s − 2x)
p
p
= (1 + x)x·x(1 − x) = x (1 + x)(1 − x)
4ABC = rs に上の諸式を代入すると
x
p
r
(1 + x)(1 − x) = r(1 + x) よって r = x
1−x
1+x
(3) (2) の結果から，f (x) = r2 とおくと (0 < x < 1)
f (x) =
x2 (1 − x)
2
= −x2 + 2x − 2 +
1+x
x+1
2
2x(x2 + x − 1)
=
−
(x + 1)2
(x + 1)2
√
−1 ± 5
f 0 (x) = 0 とすると x = 0,
2
したがって，0 < x < 1 における f (x) の増減表は次のようになる．
ゆえに
f 0 (x) = −2x + 2 −
x
f 0 (x)
f (x)
(0) · · ·
+
%
√
−1+ 5
2
0
最大
f (x) が最大となるとき，r は最大となる．
√
−1 + 5
よって，求める x の値は x =
2
···
−
&
(1)
5
Ã
2
(1) A =
a b
c d
!
をハミルトン・ケリーの定理に適用すると
A2 − (a + d)A + (ad − bc)E = O
これに a + d = 0，ad − bc = 1 を代入すると
A2 + E = O
よって
A2 = −E
(2) (pA + qE)(xA + yE) = E より pxA2 + (qx + py)A + qyE = E
A2 = −E より
(qx + py)A = (px − qy + 1)E
· · · (∗)
qx + py 6= 0 のとき，実数 k を用いて，A = kE とおくと
A2 = k 2 E
これは，A2 = −E に反するので，qx + py = 0 となり，(∗) より
Ã
!Ã ! Ã
!
p −q
x
−1
px − qy = −1, qx + py = 0 すなわち
=
q
p
y
0
Ã
p2 +q 2 6= 0 より
よって
x=−
x
y
!
1
= 2
p + q2
p
p2
+
(3) この等式を (∗) とする．
q2
, y=
Ã
p q
−q p
!Ã
−1
0
!
1
= 2
p + q2
Ã
q
p2
+ q2
i) n = 1 のとき，明らかに (∗) が成り立つ．
ii) n = k のとき
{(cos θ)E + (sin θ)A}k = (cos kθ)E + (sin kθ)A
が成り立つと仮定すると，A2 = −E に注意して
{(cos θ)E + (sin θ)A}k+1
={(cos kθ)E + (sin kθ)A}{(cos θ)E + (sin θ)A}
=(cos kθ cos θ − sin kθ sin θ)E + (sin kθ cos θ + cos kθ sin θ)A
={cos(k + 1)θ}E + {sin(k + 1)θ}A
したがって，n = k + 1 のときも (∗) が成り立つ．
i)，ii) から，すべての自然数 n について (∗) が成り立つ．
−p
q
!
6
3
(1) y 0 =
1
x
，y 00 = −
1
y
x2
(2) (右図により)
Sm =
1
2
C
log(m+1)
log m
O
{log(m + 1) − log m}
A
B
A0
B0
m m+1 x
(3) 右の図のように，2 点 A，B から x 軸にそれぞれ垂線 AA0 ，BB0 を引くと，
台形 AA0 B0 C の面積が log m + Sm であるから，グラフから
Z m+1
log m + Sm <
log x dx
Z
ゆえに
m
m+1
log x dx < 0
log m + Sm −
m
f (m) < 0
よって
(4) (2) の結果から
n−1
X
Sm =
m=1
n−1
X
1
log n
2
f (m) < 0 であるから，上式および (3) の結果から
m=1
n−1 µ
X
Z
¶
m+1
log m + Sm −
log x dx
<0
m
m=1
n−1
X
Z n
1
log m + log n −
log x dx < 0
2
1
m=1
·
¸n
n−1
X
1
− log n
log m < x log −x
2
1
m=1
よって
log 1 + log 2 + · · · + log(n − 1) < n log n − n + 1 −
1
log n
2
(5) (4) の結果から
log 1 + log 2 + · · · + log(n − 1) + log n < 1 +
ゆえに
したがって
log n! < log e + log
√
n + log
√ ³ n ´n
log n! < log e n
e
1
log n + n(log n − 1)
2
³ n ´n
e
よって
√ ³ n ´n
n! < e n
e
7
4
(1) ちょうど 2 回さいころを投げてゲームが終了するのは，1 回目，2 回目に
それぞれ景品 A，景品 B をもらう場合と，1 回目，2 回目にそれぞれ景品
B，景品 A をもらう場合であるから
1
1 2 2 1
p2 = × + × =
6 6 6 6
9
(2) ちょうど n 回さいころを投げてゲームが終了するのは，次の i)，ii) である．
i) n − 1 回までの少なくとも 1 回景品 A をもらい，n 回目で初めて景品
B をもらう場合．
(µ ¶
(µ ¶
µ ¶n−1 )
µ ¶n−1 )
n−1
n−1
2
3
1
2
1
4
−
× =
−
6
6
6
3
3
2
ii) n − 1 回までの少なくとも 1 回景品 B をもらい，n 回目で初めて景品
A をもらう場合．
(µ ¶
(µ ¶
µ ¶n−1 )
µ ¶n−1 )
n−1
n−1
5
3
5
1
1
1
−
× =
−
6
6
6
6
6
2
(µ ¶
(µ ¶
µ ¶n−1 )
µ ¶n−1 )
n−1
n−1
2
1
5
1
1
1
i)，ii) より pn =
−
+
−
3
3
2
6
6
2
µ ¶
µ ¶
µ ¶n
1 2 n`1
1 5 n`1
1
=
+
−
3 3
6 6
2
( µ ¶
µ
¶
µ ¶n−1 )
n−2
n−2
1
1 2
1 5
(3) (2) より pn−1 − pn =
+
−
3 3
6 6
2
( µ ¶
µ ¶n−1 µ ¶n )
n−1
1
1 2
1 5
−
+
−
3 3
6 6
2
µ ¶n−2
µ ¶n−2 µ ¶n
1 2
1 5
1
=
+
−
9 3
36 6
2
2
したがって
(pn − pn+1 ) − (pn−1 − pn )
3
( µ ¶
µ ¶n−1 µ ¶n+1 )
n−1
1 2
1 5
1
=
+
−
9 3
36 6
2
( µ ¶
µ ¶n−2 µ ¶n )
n−2
2 1 2
1 5
1
−
+
−
3 9 3
36 6
2
µ ¶n−2
µ ¶n
1 1
1
5
+
>0
=
216 6
6 2
2
2
ゆえに pn − pn+1 > (pn−1 − pn ) よって pn+1 − pn < (pn − pn−1 )
3
3
8
5
−→
−→
−→
(1) AP = xAB + y AC とおく．
−→ 3 −→ −→
−→ 3 −→
AB = AD であるから AP = xAD+y AC
2
2
点 P は直線 CD 上にあるから
3
x+y =1
2
−→ 4 −→
−→
−→ 4 −→
AC = AE であるから AP = xAB + y AE
3
3
点 P は直線 BE 上にあるから
よって
3
2
D
1
···°
1
4
x + y = 1 ···°
2
3
1
1
°
1 ，°
2 を解いて x = ，y =
3
2
A
E
P
B
1
C
−→
1 −→ 1 −→
AP = AB + AC
3
2
別解 4ACD と直線 BE について，メネラウスの定理を適用すると
AE CP DB
·
·
= 1 ゆえに
EC PD BA
3 CP 1
×
× =1
1 PD 3
CP = PD となり，P は線分 CD の中点であるから
−→ 1 −→ −→
AP = (AC + AD)
2
−→ 2 −→
これに AD = AB を代入すると
3
¶
µ
−→ 1 −→ 2 −→
1 −→ 1 −→
AC + AB = AB + AC
AP =
2
3
3
2
(2) (1) の結果から
−→
1 −→
1 −→ −→ 1 −→
|AP|2 = |AB|2 + AB·AC + |AC|2
9
3
4
√
−→
−→
−→
これに |AP| = 7，|AB| = 3，|AC| = 4 を代入すると
√
−→ −→
1
1 −→ −→ 1
( 7 )2 = ·32 + AB·AC + ·42 ゆえに AB·AC = 6
9
3
4
−→ −→
1
6
AB·AC
=
よって ∠BAC = 60‹
したがって cos ∠BAC = −→ −→ =
3·4
2
|AB||AC|
9
6
(1) y = x(x − a) = x2 − ax を微分すると y 0 = 2x − a
したがって，C 上の点 (t, t(t − a)) における接線の方程式は
y − t(t − a) = (2t − a)(x − t) すなわち y = (2t − a)x − t2
(2) (1) で求めた接線が点 (b, 0) を通るとき
0 = (2t − a)b − t2
t2 − 2bt + ab = 0
整理すると
このとき，上の t に関する 2 次方程式が異なる 2 つの実数解をもつので
D/4 = (−b)2 − 1·ab > 0 ゆえに b(b − a) > 0
(
(
b>0
b<0
したがって
または
b−a>0
b−a<0
よって，求める領域は下の図の斜線部分．ただし，境界線を含まない．
b
b=a
a
O
(3) C と x 軸が囲む部分の面積 S(a) は
i) −2 5 a < 0 のとき
µ ¶
Z 0
1
1
S(a) = −
x(x − a) dx = − −
(0 − a)3 = − a6
6
6
a
ii) 0 5 a 5 2 のとき
Z
a
S(a) = −
0
µ
1
x(x − a) dx = − −
6
¶
1
(a − 0)3 = a6
6
i)，ii) より，S(a) および y = S(a) のグラフは，次のようになる
 1
y

 − a3 (−2 5 a < 0)
6
4
S(a) =
3

 1 a3
(0 5 a 5 2)
6
O
−2
2 a