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図形と方程式
映像：（導入）図形と方程式
☆内分・外分点公式
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) を m : n に内分する点 P の座標は
(
mx2 + nx1 my2 + ny1
,
)
m+n
m+n
外分のときは n → − n とすればよい。
※重心公式
A(x1 , y1 ),B(x2 , y2 )C(x3 , y3 ) の重心 G
(
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
,
)
3
3
☆直線の直交条件・平行条件
２直線 y = ax + m,y = bx + n が
直交→ a・b = −1
平行→ a = b
※方向ベクトルはそれぞれ (1, a),(1, b) より
内積が 0 として直交条件を導く。
☆直線と対称な点の出し方
ある点 A と直線 l との対称点 B の出し方は
1 B の座標を設定 (p, q)
2 A,B の中点が直線 l 上にある
3 AB と直線 l は直交するので AB の傾き（方向ベクトル）と直線 l の傾きの積が −1
☆点と直線の距離の公式
ある点 (p, q) と直線 ax + by + c = 0 の距離は
d=
|ap + bq + c|
√
a2 + b2
(証明)
外部の点 X(p, q) より，この点から直線に下ろした垂線の足を H とすると，直交条件よ
−→
り，XP の方向ベクトルは (a, b) なので，
−→
OH =
( )
( )
p
a
+t
q
b
1
H は直線上の点より，これを直線の方程式に代入して，
a(p + ta) + b(q + tb) + c = 0 ∴ t = −
ap + bq + c
a2 + b2
ここで面と点の距離を d とすると，
|ap + bq + c|
d
∴ d = √
t = ±√
2
2
a +b
a2 + b2
☆円の方程式
中心 (p, q), 半径 r の円の関数表示は
標準形：(x − p)2 + (y − q)2 = r2
一般形：x2 + y 2 + ax + by + c = 0
☆円と直線
円の半径を r, 直線と中心との距離を d としたとき，円と直線が
２点で交わる→ d < r
接する→ d = r
交わらない→ d > r
☆円と接線
円 (x − p)2 + (y − q)2 = r2 の円上の点 (a, b) での接線の式は
(a − p)(x − p) + (b − q)(y − q) = r2
また外部の点 (c, d) から円に引いた接線の２接点の座標を A(x1 , y1 ),B(x2 , y2 ) とすれば
(x1 − p)(c − p) + (y1 − q)(d − q) = r2 (x2 − p)(c − p) + (y2 − q)(d − q) = r2
2 式より AB の直線式は
(c − p)(x − p) + (d − q)(y − q) = r2
となる
☆２円の交点
それぞれ円の半径を r1 , r2 ,2 円の中心間距離を d としたとき
２点で交わる→ |r1 − r2 | < d < r1 + r2
内接する→ d = |r1 − r2 |
外接する→ d = r1 + r2
2
２円 x2 + y 2 + ax + by + c = 0 と x2 + y 2 + dx + ex + f = 0 の交点を通る図形は
x2 + y 2 + ax + by + c + k(x2 + y 2 + dx + ex + f ) = 0
k = −1：直線，k 6= −1：円 を表す
なお一般的な関数
f (x, y) = 0, g(x, y) = 0
の交点を通る図形の方程式は
f (x, y) + kg(x, y) = 0
と表現される
☆軌跡
条件を満たす点の集合
ステップ１：求める点を (X, Y ) とする
ステップ２：X, Y の関係式を導出する
関係式の求め方は様々である
タイプ１：図形型
（例）A(-1,4),B(3,2) から等距離にある点の軌跡
これは AB の垂直２等分線になることはすぐ分かるのであとは AB の中点を通り，傾きの
積ー１の条件からこの式を出せば完成
タイプ２：方程式型
（例）A(-2,0),B(1,0) からの距離の比が 1 : 2 である点 P の軌跡
AP : BP = 1 : 2 ∴ (X + 2)2 + Y 2 : (X − 1)2 + Y 2 = 1 : 22 から導出
タイプ３：パラメタ型
（例）y = x2 − ax + a2 の頂点 P の軌跡
3
a 3
a
y = (x − )2 + a2 ∴ P（ , a2 ）
2
4
2 4
a
3
X − , Y = a2 a を消去して Y = 3X 2
2
4
3
タイプ４：帰着型
（例）A(4,2) と円 x2 + y 2 = 4 上を動く点 B との中点 P の軌跡
X=
4+X
−2 + y
,Y =
より x = 2X − 4, y = 2Y + 2
2
2
これを円の式に代入
(2X − 4)2 + (2Y + 2)2 = 4 ∴(X − 2)2 + (Y + 1)2 = 1
☆領域
（１）y = f (x)
y ≤ f (x) → y = f (x) 以下 境界含む
y ≥ f (x) → y = f (x) 以上 境界含む
y < f (x) → y = f (x) より下 境界含まない
y > f (x) → y = f (x) より上 境界含まない
(2) 円
(x − p)2 + (y − q)2 ≤ r2 →円の内部（境界含む）
(x − p)2 + (y − q)2 ≥ r2 →円の外部（境界含む）
等号がなくなると境界含まなくなる
4
★問題
1
A(−1, 1),B(3,4) を結ぶ線分 AB を 1:2 の比に内分する点の座標を求めよ。また AB の距
離を求めよ。
２
(-2,3),(3,-1) を結ぶ線分を 3:1 の比に外分する点の座標を求めよ。
3
三点 A(-2,4)B(4,0)C(4,8) がるとき，AB の中点の座標を求めよ。また△ ABC の重心の
座標を求めよ。
４ A(7,-6)B(-8-1) に対して，線分 AB を 3:2 の比に内分する点 P の座標を求めよ。また
点 A に対して点 P と対称な点 Q の座標を求めよ。
５
点（3,2）を通り，直線 y = 3x + 7 に平行な直線の方程式を求めよ。また垂直な直線の方
程式を求めよ。
６
直線 y = 2x に対して点 (2,1) と対称な点を求めよ。
７
点 (1,2) から直線 2x + 3y − k = 0 に引いた垂線の長さが
√
13 のとき k を求めよ。
8
x2 + y 2 − 6x + 4y + 8 = 0 の中心の座標とこの円が x 軸から切り取る弦の長さを求めよ
９
（0,1）,（2,3）を直径の両端とする円の中心の座標と半径を求めよ
１０
３点 (0,0),(3,-1),(-1,1) を通る円の中心の座標と面積を求めよ
１１
直線 ax − y − 3a + 2 = 0 はどんな a に対しても１つの定点を通る。このときの定点の座
5
標を求めよ。またこの直線が x2 + y 2 − 4x − 2y = 0 の面積を２等分するときの a の値を
求めよ。
１２
２つの円 x2 + y 2 = 4, (x − 4)2 + (y − 3)2 = r2 が接するときの r を求めよ
１３
円 x2 + y 2 + 6x = 0 の中心の座標と半径を求めよ。またこの円に y = m(x − 2) が接する
ときの m の値を求めよ
１４
A（-1，2）,B(3,4) から等距離にある点の軌跡の方程式を求めよ
１５
実数 x, y が x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 , x + 2y ≤ 6 を満たすときの x + y の最大値と
最小値を求めよ
6
★.5 問題
1
A(-6,7)B(-1,-8) のとき AB を 3:2 に内分する点 P の座標を求めよ。また，点 B に対して
点 P と対称な点 Q の座標を求めよ。
２
A(-2,1)B(4,4) のとき AB を 1:2 に内分する点 C の座標を求めよ。また△ OAC の重心の
座標を求めよ。
３
y = ax + b,y = 2x + c が点（2,2）で直交するとき a, b, c の値を求めよ。
4
2x − y + 1 = 0 に A(p, 2) と対称な点は B(−1, q) である。p, q を求めよ。また△ OAB の
面積を求めよ。
５
(-1,2) を通り 3x + 4y + 5 = 0 に平行な直線の方程式と，これら２直線の距離を求めよ。
6
y = 3x − 4 と x 軸に対して対称な直線と，その直線と原点に対して対称な直線式を求め
よ。
7
x2 + y 2 − 2ax − 2y − 2a = 0 が円を表すときの a の値と a の値に関わらず通る点の座標
を求めよ
８
点 (5, p) を中心とする円が y 軸に接し，点 (8,0) を通るとき，この円の半径と p の値を求
めよ
９
点 (2,-9) を通り，x 軸，y 軸 の両方に接する円のうち，小さい方の円の半径と中心の座標
を求めよ
１０
7
x2 + y 2 − 4x − 2y = 20 の中心の座標を求めよ。また原点を通りこの円に内接する円の半
径 r の範囲を求めよ
１１
２つの円 x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 − 2ax − 4ay + a2 = 0 が２点Ａ，Ｂで交わり，直線ＡＢが
(4,-1) を通るとき，このとき a の値と，原点Ｏ，Ａ，Ｂを通る円の方程式を求めよ
１２
x2 + y 2 = 25 上の点Ａ（3,4）におけるこの円の接線の方程式を求めよ。また点 (7,1) か
らこの円にひいた２本の接点をＱ，Ｒとすると，２点Ｑ，Ｒを通る直線の方程式を求めよ
１３定点Ａ（4,-2）に対して点Ｐが (x − 2)2 + (y + 2)2 = 4 の周上を動くときの線分ＡＰ
の中点Ｑの軌跡を求めよ
１４３つの不等式が
x + y − 1 ≤ 0, x − y + 1 ≥ 0, y ≥ 0
で得られる面積を求めよ。また点 (x, y) がこの領域内にあるとき 2y − x の最大値と最小
値を求めよ
１５
２点 A(2,0),B(0,2) と円 x2 + y 2 = 2 の周上にＰ (x, y) があるとき
|x + y| の範囲を求めよ。また AP2 + BP2 の最大値・最小値を求めよ
8
★★問題
１
２直線 l : y = 2x + 4, m : y = −x + 1 がある。
(1)
点 (2,-2) を通り l に垂直な直線 n の方程式を求めよ。
(2)
l と m の交点 A，l と n の交点 B,m と n の交点 C とするとき，A,B,C の座標を求めよ。
(3)
BC を 1:4 の比に外分する点を D とするとき△ ACD の重心の座標を求めよ。
2
A(-1,-2),B(5,10) とするとき
(1) 線分 AB の垂直２等分線 l の方程式を求めよ
(2) 線分 AB を 2:1 に内分する点を中心として，原点 O を通る円 C の方程式を求めよ
(3)l, C が交わってできる弦の長さを求めよ
３
円 x2 + y 2 + 2ax + ay − a − 2 = 0 について
(1) 原点を通るとき a の値を求めよ
(2) 半径が 3 となるとき a の値を求めよ
(3) この円は a がどんな値をとっても定点を通る。この定点の座標を求めよ
４
A(-2,4),B(6,-2) のとき
(1)AB を直径の両端とする円の方程式を求めよ
(2)A を通り (1) で求めた円に接する直線の方程式を求めよ
(3) （２）の直線が x, y 軸と交わる点と原点の３点を通る円の方程式を求めよ
５
2 つの円 x2 + y 2 = 1…i,x2 + y 2 − 6x + 8y + k = 0…ii について
(1)ii が円を表すとき，実数 k のとる値の範囲を求めよ
(2)i と ii が共有点を持つとき，実数 k のとる値の範囲を求めよ
(3)i と ii が異なる２点を共有し，この２点を結ぶ直線が原点を通るときこの直線の方程式
を求めよ
9
６
円 x2 + y 2 − 6x − 8y + 21 = 0 について
(1) 円の中心座標と半径を求めよ
(2) 点 P がこの円の周上をうごくとき OP の最大値と最小値を求めよ
(3) 点 P がこの円の周上をうごくとき線分 OP の中点 Q の軌跡を求めよ
７
2 つの円 x2 + y 2 = 4…i,x2 + y 2 − 4x + 3 = 0…ii について
(1)ii の円の中心と半径を求めよ
(2) 円 i の外部の点 P(p, q) から円 i にひいた接線の長さを求めよ
(3) 点 P から２つの円に引いた接線の長さが等しいとき，点 P の軌跡を求めよ
８
２次関数 y = x2 − 4mx + 3m2 − 6 について
(1) 点 (1,2) を通るように m を定めよ
(2) 頂点の座標を m で表せ
(3)1 ≤ m ≤ 4 の範囲で m が変化するとき，頂点の動く範囲を図示せよ
９
２つの不等式 y ≥ x2 − 1，y ≤ x + 1 を同時に満たす点 (x, y) の存在する領域 D について
(1)D を図示せよ
(2)x + y の最大値，最小値を求めよ
(3)x2 + y 2 の最大値，最小値を求めよ
１０
映像：（典型）図形と方程式
点 P(x, y) が x2 + y 2 ≤ 4 を満たしながら動くとき
(1) 点 P の存在範囲を図示せよ
(2)x + y = X,xy = Y とするとき点 Q(X, Y ) の存在範囲を図示せよ
(3)2x + 2y + 3xy の取りうる値の範囲を求めよ
10
★★★問題
１
直線 l の方程式を (2k + 1)x − (k − 2)y − (k + 8) = 0(k : 定数)
とし２点Ｐ（1,6）Ｑ (3,4) がある
(1)l か k によらず定点を通る。この定点の座標を求めよ
(2)l と線分ＰＱが共有点をもつような k の範囲を求めよ
(3)k のどんな値に対しても線分ＰＱ上に l の通らない点がある。この点の座標を求めよ
２座標平面上に直線 l : (a − 2)y = (2a − 1)x − 3 がある
(1)l は実数 a によらず定点を通る。この定点の座標を求めよ
(2)l が x2 + y 2 = 1 と共有点をもたないとき実数 a のとりうる範囲を求めよ
(3)l の傾きが負で l と x, y 軸で囲まれる部分の面積が
9
2
のとき a の値を求めよ
３
0
Ａ（1,2）に対して円 C : x2 + y 2 = 9 と対称な円を C とする
0
(1) 円 C の方程式を求めよ
0
(2)2 つの円 C, C の交点を通る直線の方程式を求めよ
0
(3)2 つの円 C, C の交点を通り，x 軸に接する円の方程式を求めよ
４
直線 x − y = a, 円 x2 + y 2 = 4 が点Ｐ，Ｑで交わっている。ただし a > 0 とする
(1)P とＱが一致するとき a の値を求めよ
(2) △ＯＰＱが鋭角三角形となるような a の値を求めよ
(3)a = 1 のとき弦ＰＱの長さを求めよ
５
円 C : x2 + y 2 − 4kx − 2ky + 20k − 25 = 0
について次の問に答えよ。ただし k は実数である
(1) 円 C が点 (5,2) を通るとき，k の値を求めよ。またこのときの円の中心の座標と半径
を求めよ
(2) どのような k についても円 C はつねに定点を通る。その定点の座標を求めよ。また k
がどのような値をとっても円 C が通らない点はどのような図形上にあるか
(3) 円 x2 + y 2 = 5 が円 C に内接するように k の値を求めよ
６
11
Ｏを原点とする座標平面上に点Ｃ (4,0) を中心とする半径３の円 C と点Ｐ (0,
√
2) がある
とき
(1) 点Ｐから円 C に引いた２本の接線は直交することを示せ
(2)(1) の接点をＱ，Ｒとするとき，４点Ｐ，Ｑ，Ｃ，Ｒを通る円の方程式を求め，直線Ｏ
ＱとＯＲが直交することを示せ
７
２つの円
O : x2 + y 2 = 4 C : x2 + y 2 − 4x − 8y + 19 = 0
(1) 円 C の中心と半径を求めよ。また O, C を同時に２等分する直線の方程式を求めよ
(2) 円 O, C の共通外接線の交点Ａの座標を求めよ
(3) 共通外接線と円Ｏとの接点の１つをＢとするとき，線分ＡＢの長さを求めよ
８
円と放物線
C : x2 + y 2 = 1 H : y = 2x2 + k
円 C 上の点 (α, β) における接線を l とする（αβ 6= 1）
(1)l の式は αx + βy = 1 となることを示せ
(2)l が H に接するとき β と k の関係式を求めよ
(3) 円 Ｃ と放物線 H が点Ｐ (α, β) を共有し，かつこの点における２つの曲線の接線が一
致しているとき k, α, β の値を求めよ
9
円と直線
C : x2 + y 2 + 2ax − 4ay + 10a − 5 = 0 l : y = −x （a 6= 1）
(1) 円 C の中心の座標と半径を求めよ
(2) 円 C が l に接するとき a の値を求めよ
√
(3)C と l が異なる２点で交わり C が l から切り取る弦の長さは 2 3 であるときの a の
値を求めよ
１０
12
座標平面上に原点Ｏとは異なる点Ｑをとり，原点Ｏと点Ｑを結ぶ線分上に点Ｐをとる。点
Ｑの座標を (X, Y )，点Ｐの座標を (x, y) とする。ただしＱの x 座標は正である
(1)0 < k < 1 となる k を用いて X = xk , Y =
y
k
となることを示せ
(2)OP・ＯＱ=12 のとき
X=
12x
12y
，Y = 2
x2 + y 2
x + y2
であることを示せ
(3) 点Ｑが x = 9 上を動くとき OP・ＯＱ=12 を満たす点Ｐの軌跡を求めよ
１１
円Ｃ：x2 + y 2 − 6x − 2y + 6 = 0 直線 l : y = −x − 1
0
(1) 直線 l に対して円 C と対称な円 C の方程式を求めよ
(2) 点Ｐの座標を (-1,5), 直線 l 上の動点をＱ，円 C の周上の動点ＲとするときＰＱ＋Ｑ
Ｒの最小値を求めよ
(3) 点 (x, y) が円 C の内部および周上を動くとき
y−5
x+1
の値を最大にする点をＡ，最小に
する点をＢとするとき，直線の方程式を求めよ
１２
2x + y − 2 ≥ 0, 3x − y − 8 ≤ 0, x − 2y + 9 ≥ 0
とするとき
(1) 連立不等式が満たす領域を図示せよ
(2) 点Ｐ (x, y) が領域内を動くとき，x + y の最大値を求めよ
(3) 点 (x, y) が領域内を動くとき x2 + y 2 の最小値を求めよ
１３
(1) 円 C : x2 + y 2 − x − y = k(k > 21 ) の中心の座標と半径を求めよ
(2)a がすべての実数値をとるとき 2ay = x2 − 2x − a2 を表すグラフの通る領域 D を図
示せよ
(3) 円 C が領域 D を通らないように k の値の範囲を求めよ
13
★★★★問題
１
0° ≤ θ ≤ 180° の範囲で |2cosθ + sinθ| ≤ 1 を満たす
(1)sinθ の取り得る範囲を求めよ
(2)cosθ + 2sinθ の取り得る値の範囲を求めよ
２
映像：（典型）図形と方程式
k を実数として次の方程式を考える
Ck : x2 + y 2 + x + (2k + 1)y + k 2 + 1 = 0
(1)Ck が円を表すような k の値の範囲を求めよ
(2)C1 , C2 の表す２円の交点と原点を通る円の中心と半径を求めよ
(3)k をどのような実数にとっても Ck を満たさない点からなる平面上の領域を求め xy 平
面上に図示せよ。
3
映像：（難問）図形と方程式２
O を原点とする xy 平面上で，円Ｃ：x2 + y 2 = 1 の外部にある点Ｐ (a, b) から円Ｃに引
いた２つの接線の接点を Q1 , Q2 として，線分 Q1 Q2 の中点を Q とする。点Ｐは円Ｃの外
部の点でかつ a(a − b + 1) < 0 を満たすとするとき，点Ｑの存在範囲を図示せよ
4
実数 x, y が x2 + y 2 − 2(x + y) − 6 = 0 を満たすとき
(1)x + y の取り得る値の範囲を示せ
(2)x + y − 2xy の最大値を求めよ
５
(1) 連立方程式
1
1
4x + y = P ，− 3x + y = Q
6
8
を (x, y) について解け
(2) 上の解において (P.Q) の値に条件 (I)
14
P ≥ 0, Q ≥ 0, P 2 + Q2 ≤ 100
が課されているとき，x の値を最小とする (P, Q) の値を求めよ。また，そのときの x の
値を求めよ
(3) 同じ条件 (I) のもとで，y の値を最大にする (P, Q) の値とそのときの y の値を求めよ
６
(1)0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 の範囲において (x − 1)(y − x)(y − x)2 ≥ 0 を満たす点 (x, y) の
存在範囲を図示せよ
(2) 点（x, y ）が (1) で求めた存在範囲を動くとき
5
x2 + y 2 − y + 1
2
の最小値を求めよ
７
(x − 4)2 + (y − 8)2 ≤ 5 で表される領域 D 上の点 (x, y) に対して，
|y + 2x| + |y − 2x|
の最大値，最小値をそれぞれ求めよ
8
xy 平面上の２点 (t, t), (t − 1, 1 − t) を通る直線を lt とする
(1)lt の方程式を求めよ
(2)t が 0 ≤ t ≤ 1 を動くとき lt の取り得る範囲を図示せよ
9
実数 a に対して曲線 Ca を方程式 (x − a)2 + ay 2 = a2 + 3a + 1 によって定める
(1)Ca は a と無関係に４つの定点を通ることを示し，その４定点の座標を求めよ
(2)a が正の実数全体を動くとき Ca が通過する範囲を図示せよ
15
★★★★★問題
１
座標平面の x 軸上に３点 A（-3,0）,B(0,0),C(c,0) がある。この平面上に PA:PB:PC=4:2:1
になるような点 P が存在するのは，c がどのような範囲にあるときか
2
2 つの実数 a, b のうち，大きい方を max(a, b) で表す。（a = b のときは max(a, b) = a）
である。次の不等式を満たす点 (x, y) の存在する範囲を図示せよ
1 ≤ max(4x + 4y − 3, x2 + y 2 ) ≤ 5
3
xy 平面上の点 A(-1,2),B(2,5) を通るすべての放物線 y = ax2 + bx + c を考えるとき，ど
の放物線も通らない点の集合を求め，それを図示せよ
4
映像：（難問）図形と方程式１
a を正の実数とする。次の２つの不等式を同時に満たす点 (x, y) 全体からなる領域を D
とする。
y ≥ x2 ，y ≤ −2x2 + 3ax + 6a2
領域 D における x + y の最大値，最小値を求めよ
５
xy 平面上に円 Cx2 + y 2 = 1 がある。円 C の外部の点 P(a, b)(a2 + b2 > 1) から円 C に
引いた 2 接線のそれぞれの接点を Q,R とおく。
(1) 直線 QR の方程式を求めよ
(2) 直線 QR 上の点で円 C の外部の点を S(c, d)(c2 + d2 > 1) とおく。点 S から円 C に引
いた 2 接線のそれぞれの接点を T,U とおくと，直線 TU は点 P を通ることを示せ。
6
半径 r の円は連立不等式
y ≤ x2 ，y ≥ −(x − 6)2
の表す平面上の領域の中を自由に動かすことができる。r の最大値を求めよ。
16
7
a, b を正の数とし，xy 平面上の２点 A（a, 0）,B(0, b) を頂点とする正３角形を ABC と
する。ただし，C は第 1 象限の点とする。
(1)3 角形 ABC が正方形 D =｛(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1｝に含まれるような (a, b) の
範囲を求めよ
(2)(a, b) が (1) の範囲を動くとき，３角形 ABC の面積 S が最大となるような (a, b) を求
めよ。また，そのときの S の値を求めよ。
8
(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0) を頂点にもつ立体を考える。
平面 x + y + z = k(0 < k < 2) によるこの立体の切り口の断面積を S(k) とおく。
(1) この断面積 S(k) を k の関数として求め，グラフをえがけ
(2)S(k) の最大値はいくらか。またこのときの k の値と，そのときの断面の形を述べよ
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xy 平面内の領域 −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1 において、
1 − ax − by − axy
の最小値が正となるような定数 a, b を座標とする点 (a, b) の存在範囲を図示せよ
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