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大小２つの円に接する円
大小２つの円に接する円に関する話題を展開しよう。
ここでは、
「成立することは確かめてはある」あるいは「図から成り立ちそう
な」話を載せます。証明等は省略します。
1
スタートの話
図において
円 O に点 A で内接する円 P と
円 O に点 B で内接する円 Q とが
点 M と点 N で交わっている。
この節ではこの状況で、成り立ちそ
うな話を
述べてみよう。
[図１−１]
MN の延長と円 O との交点を
T とおき
AT と円 P との交点を
C とする。(A と異なる)
BT と円 Q との交点を
D とする。(B と異なる)
[図１−２]
1
図１−２と同じ記号の下
CD は円 P と接し
CD は円 Q と接している。
[図１−３]
図１−２と同じ記号の下
CD の延長と
PQ の延長が
点 R で交わっているとき
AB の延長は R を通る
[図１−４]
図１−４と同じ記号の下
A, B, D, C は
同一円周上にある。
[図１−５]
2
図１−４と同じ記号の下
R から円 O に引いた接線の
接点を K とおくと
RK = RM = RN
である。
[図１−６]
2
交わっている大小２つの円
スタートの問題と同様な問題を、裏側から見てみよう、記号は少し変わっ
ています。
ここの話を利用するとスタートの話が確かめられます。
図において
大小２つの円
P, Q が交わっている。
[図２−１]
２本の共通接線が R で交わっていて
E , G は円 P での接点とし F, G は円 Q での接点とする。
R を通る直線をひき 円 P との交点を A, C とし
円 Q との交点を B, D とする。
この状況で成り立つことを幾つか述べていこう。
3
[図２−１] と同じ記号の下
AE と BF との交点を K
AG と BH との交点を L
とするとき
AKBL は円に内接し
その円は 円 P に接し、
円 Q に接している。
[図２−２]
[図２−１] と同じ記号の下
これも成り立っています。
[図２−３]
[図２−２][図２−３] と
同じ記号の下
KL は図の残りの
４点を通っている。
[図２−４]
もう少し易しい話をしよう。
4
[図２−１] と同じ記号の下
ABFE は円に内接し
CDEF も円に内接
している。
[図２−５]
[図２−１] と同じ記号の下
円 P と円 Q の交点の
の一つを I とおくと
RI は
4 ABI, 4 CDI,
4 EFI, 4 HGI,
の外接円に接している。
(図には 4 ABI は省いてあ
ります)
[図２−６]
今までの話の根拠になるものは次の話である
相似の中心に関するものです。
[図２−１] と同じ記号の下
BF と CE
DF と AE
BH と CG
DH と AG
これらは平行である
「図２−７]
今までの図において R は
PQ を円 P の半径と円 Q の半径の比に外分した点でした。
5
3
離れている大小２つの円
今度は大小２円が
離れている場合を
考えてみよう。
[図３−１]
交わっているときと
同様なことが
成り立っていますね
[図３−２]
4
離れている大小２つの円と共通内接線
下図で、何がおきますか？
大小の円 P, Q が図のように
離れてある。
図のように２本の共通接線が
S で交わっている。
S を通る直線が図のように
円 P, Q と A, C, D, B で
交わっている。
[図４−１]
6
S は PQ を円 P の半径と円 Q の半径の比に内分する点である。
[図４−１] と同じ記号の下
B, G, C, H が
同一円周上にある
ように見えますね
[図４−２]
[図４−１] と同じ記号の下
AE と FD との交点を K
AG と HD との交点を L
とおくとき
A, K, D, L は
同一円周上にあり
その円は円 P と円 Q に
接している。
[図４−３]
[図４−１] と同じ記号の下
これも成り立っています。
[図４−４]
7
[図４−３] と [図４−４] と
同じ記号の下
K, M, N, L は一直線上にあ
る。
[図４−５]
5
交わる大小の円と内分点
S は線分 PQ 上の点で PS : QS = 円 P の半径 : 円 Q の半径とする。
図 [５−１] のように S を通る直線が円 P と A, C で
円 Q と B, D で交わっているとする。
A で円 P に内接し
D と円 Q 外接する
円がある。
B で円 Q に内接し
C と円 P 外接する
円がある。
[図５−１]
EF, GH を
図 [５−１] の二つの円の
共通外接線とし
K, L を各々
EF, GH の中点とすると
K, S, L は一直線上にある
[図５−２]
8
直線 AB を
このように選んでも
上の図と
同じように見えますね
[図５−３]
[図５−３] と同じ記号の下
D, B, H, G が
同一円周上にある
ように見えますね
[図５−４]
[図５−４] がなりたてば
A, C, H, G も
同一円周上にあり
ますね
[図５−５]
9
この場合も
A, C, H, G も
同一円周上にあり
そうだね
[図５−６]
S を通る直線をもう一本引こう。
図において
E, F, S は一直線上にある。
このとき
A, F, E, D は
同一円周上にあり
B, C, F, E は
同一円周上にある
[図５−７]
これは、上の図の
特殊化したものです
[図５−８]
上の二つは座標幾何では確かめてあるのですが。
10
6
大きい円の内部にある小さい円
この節では大きい円 P のなかに小さい円 Q が入っている状況で話を進めよ
う。二つの円は同心円ではないとしておく。
円 P 上の点 A をとる。
A で円 P に接し
円 Q に接する円を作図しよう。
[図６−１]
PQ を
円 P の半径と
円 Q の半径の比に
外分する点を R
内分する点を S とする。
R と S が大きな働きをします。
[図６−２]
A と S を通る直線を引き
図のように B, C, D をとる。
A で円 P で接し
D で円 Q で接する円がある。
C で円 P で接し
B で円 Q で接する円がある。
[図６−３]
11
図のように
GH を図 [６−３] の
２円の接線とする。
D, B, G, H は同一円周上にある。
AG と CH の延長は
円 P 上にある。
GD と HB の延長は
円 Q 上にある。
G, M, H, T は平行四辺形になる。
[図６−４]
A と R を通る直線を引き
図のように B, C, D をとる。
A で円 P で接し
B で円 Q で接する円がある。
C で円 P で接し
D で円 Q で接する円がある。
[図６−５]
[図６−５] の図での二つの円の
交点をとおる直線は
R を通る。
[図６−６]
12
アレンジ問題
7
ここでは、今までの話を表現をかえたり発展させたりして問題にしてみよ
う。
下の問題は実は [図５−８] そのものです。
三角形 ABC において
D は BC 上の点で
AD は 4BAC の二等分線
4CAE において CA = CE
F は DE 上の点で
BA = BF とする。
このとき
DA は 4AFE の外接円に
接している。
[図７−１]
次は、[図６−３][図６−４] に関係した問題です、図からは成り立ちそうなの
ですが。
大円 P の中に小円 Q がある
S は PQ を
円 P の半径 と 円 Q の半径との比に
内分した点である。
図のように 円 P の円周上に点 A を
とり
直円 AS と二つの円との交点を
C, B, D とする。
A で円 P と接し、
D で円 Q と接する円と
C で円 P と接し、
B で円 Q と接する円とを描く
この二つの円の二つの外接線
の交点を J とおくと
[図７−２]
J は AS 上にある。
J は P の取り方によらず
定直線上にある
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左の図は [図６−６] の
発展したものです。
もっとも、小円はもっと
小さくしてありますが
大円に内接し、
小円が内接する
八個の円が描いてあり、
それらの交点を通る
４本 (+１本) の直線の図です。
次からしばらくは
この図を描く手順です
[図７−３]
出発の図です例により、R は外分点です。
[図７−４]
R を通る直線を描き
A, B, C, D をとる。
[図７−５]
二つの円の交点を通る
この直線をもとに
R を通る新しい直線を描く
２つの円を描く。
[図７−７]
[図７−６]
14
その直線をもとに二つの円を描く
４つの円を描いた [図７−９]
その交点は始めの直線を定める
[図７−８]
新たに加わった２本の直線から
４個の円を描く
大円と小円に８個の円を描くこと
ができる。
これが [図７−３] である。
新たに１本 R を通る直線が引いて
あります。
あと３本ありそうですね。
新たに R を通る直線が２本見つか
る。
[図７−１０]
これは図 [６−３]、[図６−４]
から派生した図です。
KT は S を通っている。
[図７ー１１]
15
図 [７−１１] の記号もと
K, I, M, J を通る円があり、それは
大円と小円に接している。
T, Z, L, W を通る円があり、それは
大円と小円に接している。
[図７ー１２]
図 [７−１１] の記号もと
K, I, M, J を通る円があり、それは
大円と小円に接している。
T, Z, L, W を通る円があり、それは
大円と小円に接している。
[図７ー１３]
図 [７−１２] の記号もと
E, J, I, F, H, W, Z, G は
同一円周上にある。
その円の中心は PQ の中点である。
その円の半径は A の取り方によら
ず一定 (かな？)
[図７ー１４]
16
前の図の「一定かな？」の部分が
正しそうなのを図で見てみよう。
QP の延長上に A をとり、
二つの円を引き
図のように２円の共通接線
EF, GH を引き
PQ の中点を O とする。
E, F, G, H は O を中心とする
一つの円の円周上にある。
オレンジ色の円がそうです。
[図７ー１５]
オレンジ色の円は前図のものです。
円 P 上の別の位置に A を選んで
同様に二つの円を選んで、
E, F, G, H を作ってみると
E, F, G, H はオレンジ色の円上に
ありそうですね。
[図７ー１６]
前の図の A を少しづつずらして
絵を描いていた図です。
どう見ても、主張は正しそうですね
もっと、これの拡張が
成り立ちそうですね。
[図７ー１７]
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4 OEF は A の取り方によらず
皆同型である。
[図７ー１８]
8
円の中の円続き
今までの話を別の角度から見てみよう。同じような図が出てきます。
[図６−３] から派生した図です。
[図７−１１] とよく似ています。
S を通る円 P の弦 AC により、
円 P と円 Q に接する二つの円を描き、
の共通の接線 EF, GH を
図のように描き
EF と HG の中点を通る 円 P の
弦 IJ を図のようにとる。
このとき IJ は S を通っている。
(IJ は図 [７−１１] の KT に一致します）
[ 図８−１]
上の IJ は AC と密接な関係がありそう。
IJ を AC の「連れ合い」ということにします。
18
上の図において
E, F, G, H は
A の取り方によらず
定円の円周上にある。
その円の中心 O は
PQ の中点である。
(図 [７−１４] の主張と同じ)
[ 図８−２]
E は線分 AI 上にある。
(図 [７−１４] の主張の裏側だね)
[ 図８−３]
IJ が AC の「連れ合い」のとき
AC は IJ の 「連れ合い」である。
AC と IJ は「連れ合い」である。
といってもいいね。
[ 図８−４]
19
大円の S を通る弦 AC に付随する
２円の２本の接線と
AC の「連れ合い」に付随する
２円の２本の接線とで
作られる四辺形を考える。
その対角線を通る大円の弦が
２本できる。
その２本の弦は共に S を通る。
[ 図８−５]
[図８−５] で得られた２本の弦は
互いに他の「連れ合い」である。
この「連れ合い」を元の「連れ合い」に
部髄する
「連れ合い」ということにする。
「連れ合い」に部髄する「連れ合い」に
部髄する
「連れ合い」はもとの連れ合いである。
[ 図８−６]
20
9
円の中の円続き２
大円の中に小円があり
大円の中にあり大円に接し
小円を含み小円に接する円
について、再考しよう。
それは大円と小円の中心を
その半径の比に外聞する点を
R とおくとき
そのような円は
R を通る弦により定まる。
R と通る弦に対してはその様な円は
２円ある。
この２円をこの弦に付随する
２円ということにする。
[ 図９−１]
R を通る弦 AC に付随する２円の交点は
PQ の中点 O を中心とする円の
円周上にある。
この円は A の取り方によらず定円であ
る。
この円を大小２円 P, Q の定める円
とでもいうことにしましょう。
[ 図９−２]
21
大小２円 P, Q の定める円の中心は
R を通る弦 AC に付随する２円の中心の
中点である。
[ 図９−３]
R を通る弦に対して
それに付随する円の
２つの交点を通る大円の弦は
R を通っている。
その弦を元の弦の「連れ合い」
ということにする。
図においては、 IJ は
AC の「連れ合い」である。
[ 図９−４]
IJ が AC の「連れ合い」のとき
AC は IJ の「連れ合い」になっている。
その意味で AC, IJ は「連れ合い」である
といっても良い。
[ 図９−５]
22
弦 AC と IJ が「連れ合い」のとき
当然
AC に付随する２円の二つの交点
IJ に付随する２円の二つの交点
これら４点は大小２円 P, Q の
定める円の円周上にある。
[ 図９−６]
弦 AC と IJ が「連れ合い」のとき
AC に付随する円と
IJ に付随する円との組み合わせは
４組ある。
その各々に交点が２点ずつある。
計８点できる。
この８点を
「連れ合い」AC, IJ の定める
８点ということにしよう。
[ 図９−７]
「連れ合い」の定める８点のうち
４点づつが
大円の R を通る弦上にある。
大円の R を通る２本の弦が定まる。
[ 図９−８]
23
上の２本の弦は「連れ合い」に
なっている。
この「連れ合い」を
「連れ合い」AC, IJ の定める
「連れ合い」ということにする。
「連れ合い」の定める「連れ合い」の定
める「連れ合い」は
始めの「連れ合い」に戻る。
[ 図９−９]
「連れ合い」AC, IJ の定める８点の内
４点は小円を含み、円 O に含まれる
円の円周上にある
大小の２円が定まる。
各々「連れ合い」AC, IJ の定める
大円、小円ということにする。
[ 図９−１０]
「連れ合い」AC, IJ の定める
大円、小円と
「連れ合い」AC, IJ の「連れ合い」
の定める大円、小円とは
一致する。
この大小の２円は、「連れ合い」の
選び方によらず定まる。
[ 図９−１１]
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大小２円 P, Q の定める円と
「連れ合い」AC, IJ の定める
大小２円の定める円とは
一致する。
大小２円に対して
その「連れ合い」の定める
大小２円をもとの２円の
子供２円ということにしよう。
[ 図９−１２]
大小２円の定める円と
子供２円です。
子供ではだめかな？
ネーミングを変えないと！
[ 図９−１３]
先ほどの図に
二つの円を追加しました。
どの様な性質をもつ円なのか
今までの話を再構築しながら
調べて行こう。 [ 図９−１４]
25
円 P 上の２点 E, F に対して
大円 P 上の点 E に対して
円 P 上の点 G で GR が
円 P と点 E で接し
ER で定まる円と FR で定まる円との交点とを
円 Q を内部に持ち接している円を
通るものを考える。
ER で定まる円ということにする。
ただし F, G, E が反時計回りに並ぶとする
このとき RG を ERF の擬二等分線と
いうことにする。
[ 図９−１５]
[ 図９−１６]
円 P の R を通る弦 AC に対して
AR で定まる円と
CR で定まる円との交点は
A の取り方によらず
定円上にある。
その円は PQ の中点を
中心とする円である。
その円を円 P と円 Q の
中円ということにする。
[ 図９−１７]
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円 P の R を通る弦 AC に対して
ER を ARC の擬二等分線とする。
AR で定まる円と
ER で定まる円との交点は
各々 A の取り方によらず
定円上にある。(二つの定円)
この大小の円を
円 P, Q の擬９０度の定める大小の円
ということにしよう。
[ 図９−１８]
円 P, Q の中円と
円 P, Q の擬９０度の定める大小の円
の
中円は一致する。
[ 図９−１９]
こちらの図のほうが
分かりやすいかな？
[ 図９−２０]
27
円 P の R を通る弦 AC に対して
ER を ARC の擬二等分線とする。
FR を ERC の擬二等分線とする。
AR で定まる円と
FR で定まる円との交点は
各々 A の取り方によらず
定円上にある。(二つの定円)
この大小の円を
円 P, Q の擬１３５度の定める大小の
円
ということにしよう。
[ 図９−２１]
円 P, Q の中円と
円 P, Q の擬１３５度の定める大小の
円の
中円は一致する。
[ 図９−２２]
10 円の中の円続き (擬等角)
前の節の話を一般化しよう (証明無しのお話です)
大円 P の中に小円 Q があり
R は PQ を大円小円の半径比に外分した点である。
擬等角という概念を展開しよう。
28
図のように、大円の円周上に点
A, B, C, D がある。
BRC の擬中線と
ARD の擬中線が一致するとき
ARB と CRD は擬等である
ということにしよう。
[ 図１０−１]
図において
ARB と CRD は擬等である
CRD と ERF は擬等である
このとき
ARB と ERF は擬等になって
ほしいですね。
[ 図１０−２]
この図では
上の主張が正しそう
に見えます。
[ 図１０−３]
29
ARB と ERF が擬等で
BRC と DRE が擬等のとき
ARC と DRF は擬等である
これは擬等の定義より明らかだね
[ 図１０−４]
ARB と DRE が擬等で
BRC と ERF が擬等のとき
ARC と DRF は擬等である
(図からは正しそうに見えます)
[ 図１０−５]
ある擬角が与えられたとき
ARB がその角と擬等のとき
AR で定まる円と
BR で定まる円の
交点は、A の取り方によらず
始めに与えられた擬角に
依存する二つの大小の
定円上にある。
図１０−６]
30
擬角が与えられたとき
上図により、その擬角により
定まる大小の円の中円は
元の大小の円 P, Q の中円に一致する。
[ 図１０−７]
大きい擬角が与えられた時の図
[ 図１０−９]
[ 図１０−８]
小さい擬角が与えられた時の図
[ 図１０−１１]
[ 図１０−１０]
31
11 円の中の円続き (もう一つの型の擬等角)
前の節の話のアナロジーとして、大円に内接し小円に外接する円の関して
の擬等角の話をしよう。[図６−３]、[図６−４] 及び [図７−１１] から [図
７−１７] に関連した話です。
今までと同様に、大円 P の中に小円 Q が
入っていて (同心円ではない)、S は PQ を
大円 P の半径と小円 Q の半径の比に内分
した点で
O は PQ の中点とする。
[ 図１１−１]
A, B, C, D を大円 P 上の点とする。
A 及び B における大円 P の接線の
交点を W とする。
C, D, S, W が一直線線上にあるとして
A, C, B, D が反時計回りに並んでいると
する。
このとき
CS を ASB の中線といい
DS を BSA の中線ということにする。
[ 図１１−２]
A 及び B における大円 P の接線が平行の
とき
CD はその接線と平行な S を通る大円 P
の弦とする。
32
上の定義において
AS で定まる円と BS で定まる円が
交わる時
CD はその交点を通っている弦である。
[ 図１１−３]
A, B, C, D を大円 P 上の点とする。
BSC の中線または CSB の中線が
ASD の中線と一致しているとき
ASB と CSD は擬等であるということに
する。
ASB と CSD が擬等のとき
ASC と BSD も擬等である。
[ 図１１−４]
上の図に共通外接線を付け加えました。
中線上に交点が乗っている。
ように見えますね
[ 図１１−５]
33
ASB と CSD が擬等のとき
AS で定まる円と BS で定まる円の
２本の外接線の４個の接点
及び
CS で定まる円と DS で定まる円の
２本の外接線の４個の接点
の計８個の点のうち
外側の４点及び内側４点は
各々同一円周上にある。
[ 図１１−６]
一つの擬角が与えられたとき
ASB が与えられた擬角と擬等のとき
AS で定まる円と BS で定まる円の
２本の外接線の４個の接点のうち
外側の２点及び内側の２点は
各々 A の取り方によらない
定円上にある
ASB が一直線上にないときとき
大円と小円が定まる。
ASB が一直線上にあるときは
一つの円、中円が定まる。
[ 図１１−７]
一つの擬角 (平角ではない) が与えら
れたとき
上のように、
その擬角で定まる大小の円の中円と
元の大小の円の中円とは一致する。
[ 図１１−８]
34
この図からも
物語が
できそうですね
[ 図１１−９]
次は擬等という言葉を使っても
良いことを保証する図です。
BSC と DSE は擬等で
ASB と ESF が擬等のとき
ASC と DSF は擬等である。
定義より明らかですね。
[ 図１１−１０]
ASB と DSE は擬等で
BSC と ESF が擬等のとき
ASC と DSF は擬等である。
図から正しそうに見えます。
[ 図１１−１１]
35