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Wingneo 座標計算ワーク「アフィン２」の計算資料
(1) 特筆事項
 係数の計算精度を向上するために基準座標（平均値）からの相対的な計算としています。
 変換元基準点と変換先基準点の対を、１対１、１対複数、複数対１の指定が可能で、複数指定した
基準点は平均値を基準点座標として採用します。
 式の名称にヘルマートやアフィンといった名称を使用し区別していますが、便宜上の表記です。
(2) 使用する変数記号など
Pn
：変換元基準点 n（Ｘ座標及びＹ座標を含めた表現）
Pnx
：変換元基準点 n のＸ座標（Qn が 1 に対して複数指定の場合平均値）
Pny
：変換元基準点 n のＹ座標（Qn が 1 に対して複数指定の場合平均値）
PA
：Pn の平均値（Ｘ座標及びＹ座標を含めた表現）
PAx
：Pnx の平均値
PAy
：Pny の平均値
Qn
：変換先基準点 n（Ｘ座標及びＹ座標を含めた表現）
Qnx
：変換先基準点 n のＸ座標（Pn が 1 に対して複数指定の場合平均値）
Qny
：変換先基準点 n のＹ座標（Pn が 1 に対して複数指定の場合平均値）
QA
：Qn の平均値（Ｘ座標及びＹ座標を含めた表現）
QAx ：Qnx の平均値
QAy
：Qny の平均値
pm
：変換元対象点 m（Ｘ座標及びＹ座標を含めた表現）
pmx ：変換元対象点 m のＸ座標（係数を使用して計算する場合の与点座標）
pmy ：変換元対象点 m のＹ座標（係数を使用して計算する場合の与点座標）
qm
：変換先対象点 m（Ｘ座標及びＹ座標を含めた表現）
qmx ：変換先対象点 m のＸ座標（係数を使用して計算する場合の求点座標）
qmy ：変換先対象点 m のＹ座標（係数を使用して計算する場合の求点座標）
(3) 変換基準点の扱い
Pn 及び Qn に対して、1 点ずつ既知点を指定する方法を標準とする。
Pn 又は Qn に対して、どちらか一方に 1 点指定し、もう片方に 2 点以上の指定を認め、この場合
は各々の座標値の平均値を Pn 及び Qn と称する。
Pn 及び Qn を 1 対とし、係数計算時には 1 対に対して重量 1 を与える。
計算方式により必要な対数以上を使用し、係数を求める。
(4) 変換対象点の扱い
変換元対象点 pm は 1 点ずつ指定する。
pm に対して変換先対象点 qm を 1 点指定し、これを 1 対とする。
入力された対数分だけ係数に当てはめて変換先対象点を求める。
1
(5) 対応する計算方式名称及び方程式、表示される係数、変換計算式
 「平行移動」
方程式
Qnx = (Pnx − PAx) + QAx
Qny = (Pny − PAy) + QAy
表示される係数
「基準Ｘ1」
「基準Ｙ1」
「基準Ｘ2」
「基準Ｙ2」
変換計算式
X1 = PAx
Y1 = PAy
X2 = QAx
Y2 = QAy
qmx = (pmx − X1) + X2
qmy = (pmy − Y1) + Y2
 「等倍ヘルマート変換」
方程式（ヘルマート）
Qnx = KAh ∙ (Pnx − PAx) − KBh ∙ (Pny − PAy) + KCh + QAx
Qny = KBh ∙ (Pnx − PAx) + KAh ∙ (Pny − PAy) + KDh + QAy
表示される係数
「基準Ｘ1」
「基準Ｙ1」
「基準Ｘ2」
「基準Ｙ2」
「回転角」
X1 = PAx
Y1 = PAy
X2 = KCh + QAx
Y2 = KDh + QAy
|󎣐󎣐󎣐|
α = tan󎣐󎣐 |󎣐󎣐󎣐| 象限を考慮した全方位角度（秒単位）
変換計算式
qmx = cos α ∙ (pmx − X1) − sin α ∙ (pmy − Y1) + X2
qmy = sin α ∙ (pmx − X1) + cos α ∙ (pmy − Y1) + Y2
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 「相似ヘルマート変換」
方程式（ヘルマート）
Qnx = KAh ∙ (Pnx − PAx) − KBh ∙ (Pny − PAy) + KCh + QAx
Qny = KBh ∙ (Pnx − PAx) + KAh ∙ (Pny − PAy) + KDh + QAy
表示される係数
「基準Ｘ1」
「基準Ｙ1」
「基準Ｘ2」
「基準Ｙ2」
「回転角」
「伸縮率」
変換計算式
X1 = PAx
Y1 = PAy
X2 = KCh + QAx
Y2 = KDh + QAy
|󎣐󎣐󎣐|
α = tan󎣐󎣐 |󎣐󎣐󎣐| 象限を考慮した全方位角度（秒単位）
f = √KAh󎣐 + KBh󎣐 （倍率）
qmx = f ∙ cos α ∙ (pmx − X1) − f ∙ sin α ∙ (pmy − Y1) + X2
qmy = f ∙ sin α ∙ (pmx − X1) + f ∙ cos α ∙ (pmy − Y1) + Y2
 「アフィン変換」
方程式（アフィン）
Qnx = KAa ∙ (Pnx − PAx) + KCa ∙ (Pny − PAy) + KEa + QAx
Qny = KBa ∙ (Pnx − PAx) + KDa ∙ (Pny − PAy) + KFa + QAy
表示される係数
「基準Ｘ1」
「基準Ｙ1」
「基準Ｘ2」
「基準Ｙ2」
「Ｘ係数 1」
「Ｘ係数 2」
「Ｙ係数 1」
「Ｙ係数 2」
変換計算式
X1 = PAx
Y1 = PAy
X2 = KEa + QAx
Y2 = KFa + QAy
KX1 = KAa
KX2 = KCa
KY1 = KBa
KY2 = KDa
qmx = KX1 ∙ (pmx − X1) + KX2 ∙ (pmy − Y1) + X2
qmy = KY1 ∙ (pmx − X1) + KY2 ∙ (pmy − Y1) + Y2
3
(6) 係数の計算
以下の式では次のように置き換えて表現します。
xn = Pnx − PAx （変換元基準点 X 座標の平均値を 0 とした場合の変換元基準点の X 座標）
yn = Pny − PAy （変換元基準点 Y 座標の平均値を 0 とした場合の変換元基準点の Y 座標）
Xn = Qnx − QAx （変換先基準点 X 座標の平均値を 0 とした場合の変換先基準点の X 座標）
Yn = Qny − QAy （変換先基準点 Y 座標の平均値を 0 とした場合の変換先基準点の Y 座標）
cn = 変換元基準点、変換先基準点の対数
 方程式（ヘルマート）の係数計算
方程式は
Xn = KAh ∙ xn − KBh ∙ yn + KCh
Yn = KBh ∙ xn + KAh ∙ yn + KDh
と置き換えることができ、次式により行列と最小 2 乗法を用いて各係数を求める。
Vh = Ah ∙ Xh − Lh、Ph
ただし、
Vh：残差のベクトル（2cn×1）
Xh：未知数のベクトル（4×1）
KAh
KBh
Xh = 󎣐
󎣐
KCh
KDh
Ah：計画行列（2cn×4）
xn −yn 1 0
Ah = 󎣐yn xn 0 1󎣐
⋮
⋮
⋮ ⋮
Lh：定数項のベクトル（2cn×1）
Xn
Lh = 󎣐Yn󎣐
⋮
Ph：重量の行列（2cn×2cn）
1 0 ⋯ 0
0 1 ⋯ 0
Ph = 󎣐
󎣐 変換元基準点、変換先基準点の対に対する重みは全て 1 とする
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 1
※ 行列要素の配置順位は、それぞれ対応している。
正規方程式の行列
Nh ∙ Xh = Uh
ただし、
Nh = Ah󎣐 ∙ Ph ∙ Ah、U = Ah󎣐 ∙ Ph ∙ Lh
Ah󎣐は、Ah の転置行列
4
解
Xh = Nh󎣐󎣐 ∙ Uh
Nh󎣐󎣐は、Nhの逆行列
式の展開
󎣐
󎣐
0
󎣐 (xn) 󎣐 (yn)⎤
⎡󎣐 (xn + yn )
⎢
⎥
⎢
0
󎣐 (xn󎣐 + yn󎣐) − 󎣐 (yn) 󎣐 (xn)⎥
⎥
Nh = ⎢
⎢
󎣐 (xn)
− 󎣐 (yn)
cn
0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
󎣐 (yn)
󎣐 (xn)
0
cn ⎦
⎣
⎡ 󎣐 (xn ∙ Xn + yn ∙ Yn) ⎤
⎢
⎥
⎢󎣐 (−yn ∙ Xn + xn ∙ Yn)⎥
⎥
Uh = ⎢
⎢
⎥
󎣐 (Xn)
⎢
⎥
⎢
⎥
󎣐 (Yn)
⎣
⎦
5
 方程式（アフィン）の係数計算
方程式は
Xn = KAa ∙ xn + KCa ∙ yn + KEa
Yn = KBa ∙ xn + KDa ∙ yn + KFa
と置き換えることができ、次式により行列と最小 2 乗法を用いて各係数を求める。
Va = Aa ∙ Xa − La、Pa
ただし、
Va：残差のベクトル（2cn×1）
Xa：未知数のベクトル（6×1）
KAa
⎡KBa⎤
⎢
⎥
KCa ⎥
Xa = ⎢
⎢KDa⎥
⎢ KEa ⎥
⎣ KFa ⎦
Aa：計画行列（2cn×6）
xn 0 yn 0 1 0
Aa = 󎣐0 xn 0 yn 0 1󎣐
⋮
⋮
⋮
⋮ ⋮ ⋮
La：定数項のベクトル（2cn×1）
Xn
La = 󎣐Yn 󎣐
⋮
Pa：重量の行列（2cn×2cn）
1 0 ⋯ 0
0 1 ⋯ 0
Pa = 󎣐
󎣐 変換元基準点、変換先基準点の対に対する重みは全て 1 とする
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 1
※ 行列要素の配置順位は、それぞれ対応している。
正規方程式の行列
Na ∙ Xa = Ua
ただし、
Na = Aa󎣐 ∙ Pa ∙ Aa、Ua = Aa󎣐 ∙ Pa ∙ La
Aa󎣐は、Aaの転置行列
6
解
Xa = Na󎣐󎣐 ∙ Ua
Na󎣐󎣐は、Naの逆行列
式の展開
󎣐
0
󎣐 (xn ∙ yn)
0
󎣐 (xn)
0 ⎤
⎡ 󎣐 (xn )
⎢
⎥
0
󎣐 (xn󎣐)
0
󎣐 (xn ∙ yn)
0
󎣐 (xn)⎥
⎢
⎢
⎥
⎢󎣐 (xn ∙ yn)
0
󎣐 (yn󎣐)
0
󎣐 (yn)
0 ⎥
⎥
Na = ⎢
󎣐
⎢
0
󎣐 (xn ∙ yn)
0
󎣐 (yn )
0
󎣐 (yn)⎥
⎢
⎥
⎢ 󎣐 (xn)
0
󎣐 (yn)
0
cn
0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
0
󎣐 (xn)
0
󎣐 (yn)
0
cn ⎦
⎣
⎡󎣐 (xn ∙ Xn)⎤
⎢
⎥
⎢ 󎣐 (xn ∙ Yn) ⎥
⎢
⎥
⎢󎣐 (yn ∙ Xn)⎥
⎥
Ua = ⎢
⎢󎣐 (yn ∙ Yn)⎥
⎢
⎥
⎢ 󎣐 (Xn) ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
(Yn)
⎣ 󎣐
⎦
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