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〔東京理科大〕
夏期個別特講 No.3
番号
氏名
【１】2011 理工
解答は解答用紙に記入しなさい。
2 次の多項式 P( x) ， Q ( x) ， R( x) をそれぞれ
1
1
P( x)  ( x 2  x) ， Q ( x)   x 2  1 ， R( x)  ( x 2  x)
2
2
とおく。
(1)
0  x  1 において P( x) ， Q ( x) ， R( x) がとり得る値の範囲をそれぞれ求めよ。
(2)
f ( x) が 2 次以下の多項式ならば，恒等式
f ( x)  f (1) P( x)  f (0)Q ( x)  f (1) R( x)
が成り立つことを示せ。
さて a，b，c を実数として， f ( x)  aP ( x)  bQ ( x)  cR( x) とする。a，b，c を次の条件を満たすように動かす。
0  f (1)  1

0  f (0)  1

0  f (1)  1
(条件)
このとき， xy 平面において関数 y  f ( x) のグラフが通ることのできる部分を D とおく。
(3)
xy 平面において，D のうち x 座標が 0  x  1 の範囲にある部分の面積を求めよ。
【２】2008 理工
次の文章中の
ア
から
ネ
までに当てはまる数字 0～9 を求めて，指定された欄にマークしな
さい。ただし，分数は既約分数として表しなさい。
(1)
すべての項が整数である数列 {an } を
an  17  19n 1  (1) n 3  24 n  4 (n  1 ，2 ，3 ，L )
と定める。このとき， a1 ， a2 をそれぞれ素因数分解すると，
a1 
ア

イ
a2 
ウ

エ ￤ オ
(ただし，
ア

イ
とする)
となる。また，数列 {an } は
an 1  
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カ ￤ キ
an 
ク ￤ ケ ￤ コ
1/4
 19n 1
を満たす。よって，すべての an を割り切る 2 以上の整数は
サ
のみである。

2

実数   0     を cos  
となるように定める。このとき，関数
2
5



f ( x)  2sin x  cos x  0  x  
2

(2)
は，
シ
f ( x) 
sin( x   )
の形に変形できる。よって， f ( x) のとりうる値の範囲は，
ス

 f ( x) 
であり， f ( x) が最大値
セ
セ

をとるのは x 
ソ
のときである。
また，関数


g ( x)  sin 2 x  4sin x cos x  cos 2 x  0  x  
2

は， x 
(3)

2


タ
のとき，最大値
チ
をとる。
定数 k に対して，整式 f ( x) ， g ( x) を
f ( x)  x 4  5kx3  (5k 2  4k  3) x 2  (5k  1) x  5k 2  6k  4
g ( x)  x 2  5kx  5k 2  4k  4
と定める。 f ( x) を g ( x) で割った商を q1 ( x) ，余りを r1 ( x) とすると，
r1 ( x) 
ツ
x
テ
k
となる。さらに， g ( x) を r1 ( x) で割った商を q2 ( x) ，余りを r2 ( x) とすると，
q2 ( x ) 
ト
x
ナ
k
となる。 f ( x) と g ( x) が定数でない共通の因数を持つのは， k 
x
ヌ
ニ
のときであり，その因数は
である。
また，定数 a，b，c，d に対して，整式 A( x) ， B ( x) を
A( x)  x  a ， B ( x)  x3  bx 2  cx  d
と定める。 k  1 のとき， A( x) と B ( x) が，
f ( x) A( x)  g ( x) B ( x)  1
を満たすとすると， a 
【３】2007
ネ
である。
理工
2 つの正の定数 a と p に対し，関数
2
f ( x)  a p xe  ax ( x  0)
を考える。ただし，e は自然対数の底である。
xy 平面において， y  f ( x) のグラフ上の点で，y 座標が最大となる点を M とおく。
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(1)
点 M の座標を a と p を用いて表せ。
(2) p を固定したまま，a を正の範囲で動かすとき，点 M はある関数 y  g ( x) のグラフ上を動く。この
関数 g ( x ) を求め，そのグラフを p の値で場合分けして図示せよ。
(3)
x  0 の範囲で，(2)の y  g ( x) のグラフ上の点から原点までの距離の最小値が存在するような p の
値の範囲を求め，このとき，その最小値を与える x の値を p を用いて表せ。
【４】2005 工学部第一部(工業化学科/経営工学科/機械工学科)
原点を O とする xy 平面において，直線 L : y  x  m が楕円 C : x 2 
y2
 1 と異なる 2 点 A ，B で交わ
3
るとき，以下の問いに答えなさい。
(1)
定数 m がとりうる値の範囲を求めなさい。
(2)
三角形 OAB の面積を m で表しなさい。また， m が変化するとき，三角形 OAB の面積の最大値を
求めなさい。
(3)
直線 y  x に関して対称な 2 点が楕円 C 上に存在する。この 2 点の座標を求めなさい。
(4)
直線 L に関して対称な 2 点が楕円 C 上に存在するとき定数 m がとりうる値の範囲を求めなさい。
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【解答１】2011 理工
(1)
1
  P( x)  0 ， 0  Q( x)  1 ， 0  R( x)  1
8
(2) (省略)
【解答２】2008
(1)
ア
(2)
(3)
理工
イ
2
カキ
7
6
(3)
16
7
クケコ
595
ウ
7
サ
7
セ
2
ソ
2
ナ
3
シ
5
ス
1
タ
4
チ
5
ツ
1
テ
2
ト
1
ニ
2
ヌ
4
ネ
3
エオ 53
【解答３】2007 理工
(略)
【解答４】2005 工学部第一部(工業化学科/経営工学科/機械工学科)
(1)
2  m  2
(2)
面積：
(3)
3m 2 (4  m 2 )
3
，最大値：
4
2
3
3
3
3
(4)
(
) ， (
，
， )
2
2
2
2
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1  m  1