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コンピュータによる統計分析
2014 年度 美添泰人
10/28 : 正規分布，QQ plot
（Reading Assignment: 統計入門 VI 章 4 節，VI 章 1 節; 余裕があれば 5 節も解説）
参考：統計学基礎 第 3 章
正規分布
(normal-ex1.R)
(1) x1 , · · · , xn を無作為標本，すなわち，独立に同じ分布に従う確率変数とする（任意の分布）．以下，
xi の共通の期待値を µ ，分散を σ 2 とする．このとき和 S = ∑ni=1 xi の期待値と分散は E(S) = nµ ,
var(S) = nσ 2 となる．また標本平均 x¯ = S/n の期待値と分散は E(x)
¯ = σ 2 /n となる．
¯ = µ , var(x)
(2) 二項分布で n が大きいときのグラフを見ると，次第に期待値を中心とする対称な美しい分布と
なることがわかる． p の値を変化させると中心の位置が変わり，ちらばり（分散）が変化する
が，基本的な形は似ている．歴史的にも，二項分布の極限として得られたものが正規分布であ
る．(binom-ex1.R 参照．最後の部分が「中心極限定理」の特別な場合を表している図）
(3) 正規分布は平均 µ と分散 σ 2（または標準偏差 σ ）によって定められる．正規分布に従う確率
変数を x ∼ N(µ , σ 2 ) と表わす．
(4) 極限だから，最も簡単な形になっている．µ = 0, σ = 1 という標準的な場合を考えると 0 を中心
とした対称な分布である．x = 0 で最大値を取る最も簡単な関数は −x2 だから, つねに p(x) > 0
2
とするために正の数 a を取って a−x に比例する p(x) が最も単純な形と考えることができる．
一般の a を選ぶ代わりに自然対数の底 e を選び，x2 /2 としたものが，正規分布の基本形であ
√
2
る： p(x) = ce−x /2 ．ここで c = 1/ 2π は確率の合計を 1 とするための比例定数である．
(5) とくに z ∼ N(0, 1) と表わされる確率分布を標準正規分布と呼ぶ．その確率密度関数を φ (z) と
書き，分布関数を Pr{Z <
= z} = Φ(z) と表わすのが慣例である．
(6) 一般の正規分布 x ∼ N(µ , σ 2 ) は標準正規分布から x = µ + σ z として定められる分布である．そ
の期待値と分散は容易に求められる．
E(x) = E(µ + σ z) = µ + σ E(z) = µ
var(x) = var(µ + σ z) = σ 2 var(z) = σ 2
(7) µ と σ の値を変えて，正規分布の密度関数を描くことが望ましい．水平方向に µ だけ平行移
動して σ だけ拡大（面積を一定にするために縦方向には 1/σ だけ縮小）する．結果として，
x ∼ N(µ , σ 2 ) の密度関数は，次のようになる．
1 (x− µ )
f (x) =
φ
σ
σ
(8) σ はちらばりの尺度を与えている．0.68, 0.95, 0.997 という数値を覚える．それぞれ x が µ の
周囲 µ ± σ , µ ± 2σ , µ ± 3σ の範囲に含まれる確率である．
多変量正規分布
(normal-dist1.R)
(1) 2 変量正規分布（密度関数による定義は教科書参照）
：(x1 , x2 ) ∼ N2 （2 変量正規分布）は，a1 ,
a2 を任意の定数としたとき，1 次式 ℓ = a1 x1 + a2 x2 が正規分布に従うような分布として特徴
づけることができる．3 変数以上の多変量正規分布も，同様にして任意の ai に対して 1 次式
n
ℓ = ∑ ai xi が正規分布に従うような分布として定義される．
i=1
1
(2) （逆の命題）
：x1 , · · · xn が正規分布に従うとき，ある定数 c1 , . . . , cn の 1 次式 ℓ =
n
∑ c j x j は正規
j=1
分布に従うことは定義から明らかである．
(3) 任意の確率変数 xi (i = 1, · · · , n) が独立かつ同一の確率分布に従う場合（無作為標本 : random
sample）を考える．期待値を E(x) = µ , 分散を var(x) = E[(x − µ )2 ] = σ 2 とするとき，確率変
数 xi (i = 1, · · · , n) の和 S = x1 + · · · + xn = ∑ni=1 xi の確率分布，あるいはその定数倍である標本
平均（確率変数 xi (i = 1, · · · , n) の平均）x¯ = S/n の確率分布を考えることが重要である．
中心極限定理
(CLT.R)
(1) x¯ の期待値は E(x)
¯ = µ と n によらず一定だが，分散は var(x)
¯ = σ 2 /n と n が大きくなるにつれ
√
て次第に小さくなる．そこで x¯ の代わりに n(x¯ − µ ) を考えると，その期待値は 0，分散は σ 2
√
と n によらず一定となる．ここで n → ∞ とすると， n(x¯ − µ ) の確率分布は正規分布 N(0, σ 2 )
に近づくことが証明できる．これは中心極限定理 (CLT: Central Limit Theorem) の最も簡単な
場合 (iid case) である．中心極限定理に関する実験：(CLT.R 参照）
(2) 身長の分布や誤差の分布は，なぜ正規分布に近いか．CLT による理解
正規分布に関する補足
(1) x1 , · · · , xn が独立に正規分布 N(µi , σi2 ) に従うとき，その合計 S = ∑ xi は正規分布に従う．S の
期待値と分散は一般の場合に得られている： E(S) = ∑ µi , var(S) = ∑ σi2
(2) 特に x1 , · · · , xn が独立に同じ正規分布 N(µ , σ 2 ) に従うとき，すなわち正規分布からの無作為標
本のときは，標本平均 x¯ = S/n も厳密に正規分布に従う： x¯ ∼ N(µ , σ 2 /n)
(3) x1 , · · · , xn が独立に同じ分布に従うものとする（正規分布とは限らないが無作為標本である）．
その期待値と分散を E(x) = µ , var(x) = σ 2 とするとき，標本平均 x¯ の分布は n が大きいとき
近似的に正規分布にしたがう：中心極限定理 (Central Limit Theorem) の応用
√
(4) 正確な表現は次のとおりである． n(x¯ − µ ) の期待値は 0，分散は σ 2 と一定である．そこで
√
n → ∞ とすると， n(x¯ − µ ) の分布は正規分布 N(0, σ 2 ) に近づく．これを分布収束と呼び
√
D
n(x¯ − µ ) −→ N(0, σ 2 ) と表わす．現実的な意味は，ある程度大きな n に対して，近似的に
x¯ ∼ N(µ , σ 2 /n) とみなせること．
(5) 体重の分布は正規分布とはかなり違っている．しかし，10 人程度でも体重の合計は中心極限
定理によって正規分布で近似できるため，確率的な評価が可能となる．
(6) 所得の分布は強い正の歪みを持つ．それでも n = 200 から n = 1000 程度の観測値があれば，そ
の合計または算術平均の分布は正規分布で近似される．
(7) 二項分布の正規近似：連続修正（半数補正）の効果：x ∼ B(n, p) のとき，µ = np, σ 2 = npq だ
から，近似的に x ∼ N(np, npq) となる．しかし，x <
= r （r は整数）となる確率は，正規分布で
Pr{x < r} とするよりも Pr{x < r + 0.5} とする方が，良い近似を与える．
その理由を図およびいくつかの数値例によって確認する．
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コンピュータによる演習 R による中心極限定理の例示，QQ plot
normal-ex1.R, qqplot.R, CLT.R,lognorm.R）
（参考プログラム：
(1) 観測の分布が正規分布に近いことを表現するグラフである Q-Q プロットを描く． qqplot 関数
(2) 二項分布の正規近似：連続修正（binom-ex2.R 参照）．
(3) 二項分布，一様分布，t 分布から抽出される標本について，中心極限定理が成立する様子を観
察する（CLT.R による）．
(4) 平均と標準偏差を変えながら，正規分布の密度関数をグラフに描く．平均と標準偏差は，それ
ぞれ分布の位置とちらばりを表現していることを，グラフから確かめる．標準偏差を 2(k) 倍
すると密度関数の高さは 1/2(1/k) になることを確かめ，その理由を考える．
(5) 次の問題で確率を求めよ．
(6) 平均が 170cm，標準偏差が 10cm の母集団から無作為に選んだ人の身長が (a) 180cm 以上，(b)
160cm と 180cm の間，(c) 190cm 未満
(7) 試験の平均が 500 点，標準偏差が 80 点のとき，無作為に選んだ受験者の得点が (a) 660 点以
上，(b) 460 点と 540 点の間，(c) 420 点未満
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