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式と証明
映像：（導入）式と証明
☆相加・相乗平均
a > 0, b > 0 のとき a + b ≥
√
ab （等号成立：a = b）
a, b は正の数 かつ 逆数の関係があるとき和の最小値を押さえることが出来る
☆コーシー・シュワルツの不等式
ベクトルの内積の定義から
−
→ −
→
−
→ −
→
A・B = | A || B |cosθ
両辺 2 乗すると
→
−−
→
→
− −
→
( A B )2 ≤ | A |2 | B |2
−
→
−
→
)
(
が得られる。等号成立は A k B のとき
[証明]
(
n
∑
)(
a2i
k=1
n
∑
≥
b2i
n
∑
)2
ai bi
k=1
k=1
を示す。
n
∑
2
(ai t − bi ) ≥ 0
k=1
n
∑
(a2i t2 − 2ai bi t + b2i ) ≥ 0
k=1
(
n
∑
)
a2i
(
t −2
k=1
2
n
∑
)2
ai bi
(
t+
k=1
n
∑
k=1
判別式 ≤ 0 とすれば示される。
☆解と係数の関係
・２次方程式
ax2 + bx + c = 0 の２解をα, β
1
)
b2i
≥0
b
c
α + β = − αβ =
a
a
・3 次方程式
ax3 + bx2 + cx + d = 0 の 3 解をα, β, γ
b
c
d
α + β + γ = − αβ + βγ + γα = αβγ = −
a
a
a
☆複素数
2 乗すると-1 になる数（虚数）を定義する
i2 = −1
(例)
√
√
−3 = 3i
複素数 z を
z = a + bi 実 (数) 部：a 虚（数）部：bi
これで虚数まで含めた数全体を表すことができる
・複素数の相等
a, b, c, d が実数として
a + bi = c + di としたとき a = c かつ b = d が成立
・共役な複素数
z = a + bi に対し，共役な複素数 z = a − bi を定義すると
zz = a2 + b2 , a =
z+z
z−z
， b =
2
2i
整関数の解において z が解なら必ず z も解になる
☆１の 3 乗根 ω
x3 = 1 の解は (x − 1)(x2 + x + 1) = 0 より
√
−1 ± 3i
x = 1,
≡ 1, ω, ω 2
2
とすると
ω 3 = 1 かつ ω 2 + ω + 1 = 0
この 2 式より次数下げをして解いていく
2
★問題
１
x3 + x2 − 3x + 6 を整式 A でわると商が x + 3，余りが 2x + 3 となった A を求めよ
２
分数式
x2 − x − 12
1
1
2
を約分しなさい。また
−
+ 2
を計算しなさい
2
x + x − 20
2x + 1 2x − 1 4x + 1
３
2x2 − x + 3 = 2(x + 1)2 + a(x + 1) + b が x についての恒等式であるとき a, b の値を求
めよ。
４
x3 + ax2 + bx − 2 が x2 + x − 1 で割り切れるとき a, b の値を求めよ
５
a
a+b
a
c
2a + 3b 5c + 5d
= 2 のとき
の値を求めよ。また = であるとき
−
b
a−b
b
d
3a + 2b 3c + 2d
6
a > 0 のとき a +
9
の最小値を求めよ。またそのときの a の値を求めよ
a
７
実数 a, b, x, y について (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) − (ax + by)2 の最小値を求めよ
８
(3 + i)(3 − i) を計算しなさい。また
(3 + i)2
を計算しなさい
1−i
９
(2i − 3)x + (2 + 3i)y = 5 + i を満たす x, y を求めよ。またこのとき (x − yi)2 を求めよ
１０
2 次方程式 x2 − 2mx + 2m + 3 = 0 が実数解を持たないとき定数 m の範囲を求めよ。ま
たこの 2 次方程式が正の重解を持つとき，その重解を求めよ。
１１
x2 − 2x + 4 = 0 の２つの解を α, β とするとき α2 + β 2 , α1 +
3
1
β
の値を求めよ
１２
実数係数の２次方程式のうちの１つの解が 2 −
√
3i である。もう一つの解と，このような
2 次方程式のうち x2 の係数が１のものを求めよ。
１３
P (x) = x3 + ax + 2 を x + 1 で割ると余りが −2 であった。このときの a の値と P (x) を
x − 1 で割ったときの余りを求めよ
１４
P (x) = 2x2 − 5x + a,Q(x) = x3 − bx2 + 2x − 1 がともに x − 1 で割り切れるとき a, b の
値を求めよ。またこのとき Q(x) を因数分解せよ
１５
３次方程式 x3 + 8 = 0 を解け。また４次方程式 x4 + 3x2 + 4x = 0 の解を求めよ
4
★．５問題
１
1
√ のとき x2 − 4x + 1 の値と x3 − 2x2 − 3x + 5 の値を求めよ
2− 3
２
整式 x3 + ax2 + 2 を x2 + b で割ったら余りが −3x + 5 になった。a, b の値を求めよ
３
√
√
5+ 3
√ のとき
x= √
5− 3
x+
1 2
1 √
1
,x + 2, x + √
x
x
x
の値を求めよ
４
x=1−
√
√
2, y = 1 + 2 のとき
x2 + y 2 と 1
1
+
x2 + 1 y 2 + 1
の値を求めよ
５
x が x2 −
√
5x − 1 = 0 を満たすとき
x−
1
1
，x2 + 2
x
x
の値を求めよ
６ x : y : z = 3 : 4 : 5 のとき
(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2
x2 + y 2 + z 2
の値を求めよ
5
７
等式
9x − 4
a
b
=
+
2x2 − x − 6
x − 2 2x + 3
が x についての恒等式であるとき a, b の値を求めよ
８
a, b を定数とするすべての実数 x について等式
x3 + x2 + 1 = x(x − 1)(x − 2) + ax(x − 1) + bx + 1
が成り立つとき a, b の値を求めよ
９
実数 x, y が x2 − 4xy + 5y 2 − 4y + 4 = 0 を満たすとき x, y の値を求めよ
１０
a > 0, b > 0 のとき
a+
9
a
の最小値を求めよ。また
9
1
(a + )(b + )
b
a
の最小値を求めよ
１１
x が実数のとき f (x) = x2 + 2x + 2 の最小値を求めよ。また
g(x) =
x2
1
+ x2 + 2x + 5
+ 2x + 2
の最小値の値を求めよ
１２
6
P =
3−i
2+i
+
x+i
2−i
とするとき P が実数となるような実数 x の値と，そのときの P の値を求
めよ
１３
a を実数の定数とする。2 次方程式 x2 − 3x + a − 2 = 0 が実数解を持つときの a の値の
範囲と，２実数解が異符号になるときの a の値の範囲を求めよ
１４
2 次方程式
x2 + ax + 2b = 0 x2 + bx + 2a = 0
がただ 1 つの共通解を持つとき，共通解を求めよ，また共通でない２つの解の和を求めよ
１５
f (x) を x − a で割ったときの余りが b,x − b で割ったときの余りが a であるとき，
f (x) を x2 − ax − bx + ab (a 6= b) で割ったときの余りを求めよ
１６
３次方程式 x3 − 3x2 + ax + b = 0 の 1 つの解が 2 + i のとき，実数 a, b の値を求めよ。
また残りの解のうちの実数解を求めよ
7
★★問題
１
整式 A を (x + 1)2 でわると商が 2x − 3 で余りが 4x + 4 になる。
(1)A を x の多項式で表せ
(2)A を x2 − x + 1 でわったときの商と余りをもとめよ
(3)A2 を x2 − x + 1 でわったときの余りをもとめよ
２
３つの整式 f (x) = x3 + 6x2 + 15x + 10, g(x) = x2 + ax + b, h(x) = x2 + x + 1 について
(1)f (x) を h(x) で割ったときの商と余りを求めよ
(2)f (x) が g(x) で割り切れ，その商が x + 1 のときの a, b の値を求めよ
(3)(2) のとき xg(x) を h(x) で割った商と余りを求めよ
３
x+y
y+z
z+x
=
=
6= 0
5
7
6
(1)x : y : z を求めよ
(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2
(2) 等式 = 6 が成り立つことを証明せよ。
(x + y − z)2
4
次の不等式を示せ
(1)a > 0 のとき a + 1 >
√
2a + 1
(2)a, b が実数のとき |a − b| ≥ |a| − |b|
5
1
1
,B =
とするとき
1−x
1+x
1
(1)1 −
を x の既約分数式で表せ
1−A
A+B
(2)
の値を求めよ
AB
(3)AB = mA + nB が x についての恒等式であるとき，定数 m, n の値を求めよ
A=
６
x + y + z = 3, x − y − 3z = 1 が成り立っている
(1)x, y を z の式で表せ
(2)x2 + y 2 + z 2 = 11 のとき x, y, z の値を求めよ
(3)ax2 + by 2 + cz 2 = 5 が x, y, z についての恒等式となるように定数 a, b, c の値を定めよ
8
７
x > 0 のとき
(1)x +
2
1
x
(2)x +
≥ 2 が成り立つことを示せ。また等号が成り立つときの x の値を求めよ
1
x2
の最小値を求めよ
(3)(x − 6x + 1) + ( x12 −
2
6
x
+ 1) の最小値を求めよ
８
f (x) = x4 + ax3 + bx2 + c について f (−1) = 3 であるとする
(1)c を a, b で表せ
(2)f (x) を x2 + 1 で割った余りが 2x + 1 のとき a, b, c の値を求めよ
(3)(2) のときの商を g(x) とする。p > 0, q > 0.p + q = 1 のとき
g(px + qy) ≤ pg(x) + qg(y)
が成り立つことを示せ
９
x2 + (k + 1)x + 2k − 3 = 0 の 2 つの解を α, β とする。ただし k は実数とする。
(1)k の値に関わらず方程式は異なる２つの実数解を持つことを示せ
(2)αβ + 2(α + β) の値を求めよ
(3)α, β が整数で α < β とするとき α, β, k の値を求めよ
１０
x2 + 2(a − b)x + a + b + 8 = 0 a, b は実数とする
(1)b = 2 のとき，この方程式が虚数解をもつように a の範囲を求めよ
(2) 方程式が虚数解 a + bi をもつとき a, b の値を求めよ
１１
x2 + (m − 6)x − 12 = 0 m は実数とする。
(1) この方程式は異なる２つの実数解を持つことを示せ。また，それらの符合を調べよ
(2) この方程式の実数解の絶対値の比が１：３であるとき m の値を求めよ
(3) この方程式の２解を α, β とするとき
1 1
α, β
係数が 12 であるものを m を使って表せ。
12
9
を２つの解に持つ２次方程式のうち，x2 の
P (x) = x4 + 11x3 − 8x2 + ax + b について次の問に答えなさい
(1)P (x) を x − 1 で割った余りを求めよ
(2)P (x) を x2 + x − 2 で割った余りが −3x − 5 であるとき a, b の値を求めよ
(3)(2) のとき P (x) を x + 2 で割った余りを求めよ
１３
整式 A = x3 + x2 + (a − 2)x + b は x − 1 で割り切れる
(1)b を a の式で表せ
(2)A を因数分解せよ
(3)A が平方式 (x + p)2 を因数に持つとき p と a の値をそれぞれ求めよ
１４
実数係数の３次方程式 x3 + mx2 + nx − 18 = 0
の解の１つが i −
(1)i −
2
i
2
i
であるとする
を a + bi(a, b は実数) の形で表せ
(2)m, n の値を求め，他の２解を求めよ
(3)z 2 = i −
2
i
を満たす複素数 z を求めよ
１５
実数係数の３次方程式 f (x) = x3 + ax2 + bx − 5 について
(1)f (x) = 0 の解が x = 1, −5 のとき a, b の値を求めよ
(2)f (x) = 0 の解の 1 つが x = 1 + 2i のとき a, b の値を求めよ
(3)(2) で求めた a, b の値に対して f (x) = 0 の解を x = α, β, γ とするとき α3 + β 3 + γ 3
の値を求めよ
１６
映像：（典型）式と証明
方程式 x3 = 1 の虚数解の１つを ω とする
(1)x3 = 1 のもう一つの解は ω 2 であることを示せ
(2)x3 = −27 の虚数解を ω を用いて表せ
(3)(1 + 2ω + 3ω 2 )(1 + 2ω 2 + 3ω) の値を求めよ
10
★★★問題
１
0 < x < 1 で x2 +
1
x2
= 4 のとき次の式の値を求めよ
(1)x + x1 ,x − x1
(2)x3 + x13 , x3 − x13
(3)x5 − x15
2
2x + y
y+z
z + 2x
=
=
6= 0
5
3
4
のとき
(1)x : y : z を最も簡単な整数比で表せ
(2)
2x2 + y 2 + z 2
の値をもとめよ
xy + yz + zx
(3) x + y + z = 18 のとき x2 + y 2 + z 2 の値を求めよ
３
P = x2 − x − 1
Q = (x5 − 5x − 4)3 + x4 + x3 + x2 − 4x − 6
について
(1)x =
√
5+1
2
のとき P の値を求めよ
5
(2)x を P で割ったときの余りを求めよ
(3)x =
√
5+1
2
のとき Q の値を求めよ
４
a を実数定数として
ax2 − (a2 − 2a + 2)x − 2a2 − 4 = 0
(1)a のどのような値に対しても，方程式は同じ解を持つ。その解をもとめよ。
(2)a 6= 0 のとき (1) 以外の解の取り得る値の範囲を求めよ
11
５
実数 a, b, x, y, z 6= 0 について
z
x y
x z
y
+ = a, + = b, + = 0
x y
z
x
z
y
のとき
(1) xy +
z
y
+
x
z
を a, b の式で表せ。また
y z x
x, y, y
をそれぞれ a, b の式で表せ
(2)(a + b)(a − b) の値をもとめよ 2
(3) 等式 a4 + b4 + 8(a + b) = 2a2 b2 が成り立つことを証明せよ
６
映像：（典型）式と証明
x, y, z を実数とするとき
(1)3(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ (x + y + z)2 が成り立つことを証明せよ。また等号成立条件を求め
よ
(2)x + y + z = 1 のとき x2 + y 2 + z 2 の最小値を求めよ
(3)(2) のとき xy + yz + zx の最大値を求めよ
７
a, b, c, d を正の定数とするとき, 次の不等式を示せ
√
√
√
(1) 2(a + b) ≥ a + b
√
√
√
√
(2) 3(a + b + c) ≥ a + b + c
√
√
√
√
√
(3) 4(a + b + c + d) ≥ a + b + c + d
8
(1)x > 0 のとき
x+
√
1
1
− 2( x + √ ) + 5
x
x
の最小値を求めよ
(2)p, q, r が正の数で pqr = 1 のとき
√
1 1 1 √
√
+ + ≥ p+ q+ r
p q
r
12
が成り立つことを示せ
９
x2 + (2m − 11)x − m + 2 = 0
の２解を α, β とするとき
(1)α, β は実数であることを示せ
(2)2αβ − (α + β) の値を求めよ
(3)α, β がともに整数のとき m の値を求めよ
１０
映像：（典型）式と証明
x2 − (2a + k)x + 2ak − 1 = 0 (a > 0)
のとき
(1) この方程式は異なる２つの実数解を持つことを示せ
(2) この方程式が負でない２つの実数解を持つとき，α + β の最小値を求めよ。またこの
ときの a, k の値を求めよ
１１
x2 − 4x + k = 0………i
の 2 解を α, β とするとき
α + 2, β + 2 を解に持つ 2 次方程式を
x2 + mx + n = 0………ii
とする
(1)m の値を求め，n を k で表せ
(2) この２つの２次方程式が共通解を持つとき k の値を求めよ
(3)s を自然数として α + s, β + s を解とする２次方程式が (i) と同じ解を持つときの k の
最大値と，そのときの共通解を求めよ
１２
13
2 次方程式 x2 + x + 1 = 0 の解を α, β とするとき n を自然数として
Sn = α n + β n
とする
(1)S3 の値を求めよ
3n+1
(2) S3n−1S+S
の値を求めよ
3n
(3)Sn の値を求めよ
１３
x3 − 2ax2 − bx − 1 = 0
が x = 1 を解にもつとき
(1)b を a を用いて表せ
(2)1 以外の解が虚数となるような a の値の範囲を求めよ
(3) ３つの解を α, β, γ とするとき a = 0 のときの α2 + β 2 + γ 2 の値を求めよ
１４
x3 − 11x2 + mx − (m + 2) = 0
が異なる正の解 α, β, γ(α < β < γ) を持つとき
(1)α + β + γ の値を求めよ
(2)0 < α <
11
3 ,α
6= 1 であることを示せ
(3)α が整数であるとき m, α, β, γ の値を求めよ
１５
P (x) = x3 + ax2 + bx + 5
について，次の問に答えよ。a, b は実数とする
(1)P (x) を x − 1 で割ると５余り，x − 2 で割ると３余るとき a, b の値を求めよ
(2)P (x) = 0 が 2 + i を解に持つとき a, b の値と他の解を求めよ。ただし i は虚数単位と
する。
14
(3) 整式
Q(x) = x3 + (a + 1)x2 + (b − 2)x + 6
と整式 P (x) が共通因数 (x − b) を持つとき a, b の値を求めよ
１６
x3 − 3x2 + 4x + a = 0 a : 実数定数
(1)a = −4 のときこの方程式を解け
(2) 方程式が 1 + i を解に持つとき，a の値を求めよ
(3) 方程式の３つの解のうち，１つが実数で他の２つが純虚数のとき，a の値を求めよ。
またそのときの３つの解を求めよ
15
★★★★問題
1
a3 − b3 = 217 を満たす整数の組 (a, b) をすべて答よ
2
(1) どのような整数 n に対しても n2 + n + 1 は５で割り切れないことを示せ
(2) 今日は金曜日である
(i) その 106 日後は何曜日か
(ii) その 3100 は何曜日か
３
n を整数とし S = (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3
(1)
S が偶数であれば n は偶数であることを示せ
(2)
S が偶数であればＳは 36 で割れることをしめせ
４
(1)a, b, c, d が実数のとき (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 が成り立つことをしめせ
√
√
√
(2) 全ての正の数 x, y に対し，k x + y ≥ x + y が常に成り立つような k の最小値を
求めよ
5
c を実数として x3 + x2 − x + c = 0 が虚数解 cosθ+isinθ(0° < θ < 90°) を持つとき
(1)θ の値を求めよ
(2)c の値を求めよ。またこの３次方程式を解け
６
実数 a を超えない最大の整数を [a] と表記する
(1) 等式 [x + 1] = [x] + 1 が成り立つことを証明せよ
(2) 等式 [(x + 1)2 ] = 1 が成り立ち，かつ x > 0 である x の値の範囲を求めよ
(3) 等式 [x + 34 ]3 − [x + 13 ]3 − 3[x + 13 ]2 − 13 = 0 が成り立つような x の値の範囲を求めよ
７
16
整数 n に対して P (n) = n3 − n とする
(1)P (n) は６の倍数であることを示せ
(2)n が奇数ならば P (n) は２４の倍数であることを示せ
(3)P (n) が４８の倍数となる偶数 n をすべて求めよ
８
(1)ai , bi (i = 1, 2, 3) を実数とするとき，次の不等式を証明せよ
(a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2
(2) 実数 xi , yi , zi (i = 1, 2) が
x21 + y12 − z12 + 1 = 0 ，x22 + y22 − z22 + 1 = 0 ，z1 z2 > 0
を満たしてるとする。このとき不等式
x1 x2 + y1 y2 − z1 z2 + 1 ≤ 0
が成り立つことを証明せよ。また等号が成立するのは x1 = x2 , y1 = y2 , z1 = z2 のときに
限ることを示せ
９
正の数 x に関して x の整数部分を [x] と表す
(1) すべての正の数 x について等式
1
[x] + [x + ] = [2x]
2
が成り立つことを示せ
(2)N を自然数とするとき
∞ [
∑
N
k=1
1
+
k
2
2
]
を求めよ
１０
映像：（難問）式と証明２
17
実数 x に対して，x 以下の整数のうちで最大のものを [x] と書くことにする。
c > 1 として
an =
[nc]
(n = 1, 2, 3 ゥ)
c
とおく。以下を証明せよ
(1) すべての n に対して [an ] は n または n − 1 に等しい
(2)c が有理数のとき [an ] = n となる n が存在する
(3)c が無理数のときは，すべての n に対して [an ] = n − 1 となる
１1
p, q を整数とし，f (x) = x2 + px + q とする。f (1) も f (2) も 2 で割り切れないとき，方
程式 f (x) = 0 は整数の解を持たないことを示せ
1２
5x + 8y = 3000 を満たす自然数 x, y に対して u = xy とおく
(1) 自然数 x, y の組 (x, y) は全部で何組あるか
(2) すべての組 (x, y) の中で u のとる値の最大値と最小値を求めよ
１3
ｍ は７で割れば３余る整数、n は７で割れば４余る整数である。
(1)m + 2n を 7 で割ったときの余りを求めよ。
(2)mn を７で割ったときの余りを求めよ。
(3)n3 を７で割ったときの余りを求めよ。
(4)n2001 を７で割ったときの余りを求めよ。
14
a2 + b2 が 3 で割り切れるならば a, b はともに 3 で割り切れることを示せ。
15
n を自然数とするとき 3n+1 + 42n−1 は 13 で割り切れることをしめせ。
18
★★★★★問題
１
p, q を素数とし，２次関数 f (x) = x2 + px + q が２つの条件を満たすとする。このとき
f (x) を求めよ
(A) ある実数 a に対して f (a) < 0
(B) 任意の整数 n に対して f (n) ≥ 0
2
(1) ２つの自然数の組 (a, b) は条件
1 1
1
a < b かつ + <
a b
4
を満たす。このような組 (a, b) のうち，b のもっとも小さいものすべて求めよ
(2) ３つの自然数の組 (a, b, c) は条件
1 1 1
1
a < b < c かつ + + <
a b
c
3
を満たす。このような組 (a, b, c) のうち，c のもっとも小さいものをすべて求めよ
3
３以上 9999 以下の奇数 a で a2 − a が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ
4
映像：（難問）式と証明１
自然数 n の約数の個数を d とする。n の約数すべてを小さい順にならべて得られる数列
を ak (1 ≤ k ≤ d) とする。したがって a1 = 1, ad = n, ak < ak+1 である。このとき，n
に対する２つの条件（イ），（ロ）は互いに同値であることを示せ
(イ)n は６０の倍数である
(ロ)n は６個以上の約数を持ち
1
1
1
+
=
a3
a6
a2
となる
5
19
x についての方程式 px2 + (p2 − q)x − (2p − q − 1) = 0 が解を持ち，すべての解の実部が負
となるような実数の組 (p, q) の範囲を pq 平面上に図示せよ。ただし，複素数 a + bi(a, b は
実数，i は虚数単位) に対し，a をこの複素数の実部という
6
(1) 実数 x, y が等式 x2 − 2xy + y 2 − x − y = 0 を満たし，x − y が整数ならば x も y も
整数であることを示せ
(2)（1）の等式をみたす格子点 (x, y) のうちで点（100,100）に最も近いものを求めよ。た
だし，格子点とは x, y 座標がともに整数であるような座標平面上の点のことである。
7
３次方程式 x3 − (p − 3)x2 − 3x + p − 1 = 0 の３つの解がすべて整数となるような実数 p
の値を求めよ
8
a, b を整数とする。３次方程式 x3 + ax2 + bx − 1 = 0 は３実数解 α, β, γ をもち，
0 < α < β < γ < 3 で α, β, γ のうちどれかは整数である。このとき a, b を求めよ
9
f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 は整数を係数とする x の４次式とする。４次方程式
f (x) = 0 の重解も含めた４つの解のうち，２つは整数で残りの２つは虚数であるという。
このとき a, b, c の値を求めよ
10
a, b は実数とする。x の方程式 |x2 + ax + b| = |x2 + bx + a| の異なる実数解の個数を n
とする。
(1)n = 1 となる (a, b) の範囲を図示せよ
(2)n = 2 であるとき，この方程式の実数解を求めよ
11
(1)
1
1
1
+ =
x y
2
を満たす自然数 x, y の組をすべて求めよ
(2)n を自然数，r を正の有理数とする。このとき
20
n
∑
1
=r
xk
k=1
を満たす自然数 xk の組 (x1 , x2 , ………, xn ) の個数は有限であることを示せ。
21