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2014 東京慈恵会医科大学 物理
１
解答
 (v cos m) 2 
2



 (mg cos m)  m



r




問１
(v cos m) 2
m
r
問３
 (v cos m) 2 
2



ma  mg sin m )  (mg cos m)  m



r




2
問２
2
gr
tan  2
f
F 1

cos 
問４
tan   
問５
解説
問１ 小球の速度の水平方向成分の大きさは v cos  なので，遠心力 F は，水平方向で円運動の外向きに，
大きさ F  m
(v cos m) 2
である。
r
N
N
N
F
m
F
m
mg
速度の向きから
見ると図２
図１
問２
図２
小球の速度 v の方向から見ると，小球にはたらく力は，図２のようになる。力のつり合いより，
垂直抗力の大きさ N は重力の速度 v に垂直な成分 mg cos m と，遠心力 F の合力に等しい。よって，
2



(v cos m) 2 


N  (mg cos m)  m



r




2
となるので，動摩擦力の大きさは，
 (v cos m) 2 
2



N   (mg cos m)  m



r




2
問３
ma  mg sin m  N
 (v cos m) 2 
N を代入して， ma  mg sin m )  (mg cos m)  m



r
2
問４ 問３で a  0 とすれば，
1
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2014 東京慈恵会医科大学 物理
 (v cos m) 2 
2


mg sin m   (mg cos m) 2  
m




r




v
∴
gr
tan  2

F 1

cos 
問５ 問４で求めた v が存在すればよい。よって，
f
tan  2
F 1  0

∴
tan   
２
解答
問１
0.40
問２
34 J
問３
/.84 J/(g•K)
問４
8.0 K
問５
F0
x0
問６
1
F0 (x1  x 2 ) x 0 )
2
問７
5.6  10 4 N
問８
0.83mm
解説
問１
鉄球の最初の高さを h  1.0m ，はね上がった後に達した高さを h '  0.16m ，重力加速度の大き
さを g とすると，金属円柱との衝突直前直後の鉄球の速さ v,vÕ は，力学的エネルギー保存則より，
v  2gh ， v '  2gh '
となる。よって，はねかえり係数 e は，
e
v'
h'
0.16m


 0.40
v
h
1.0m
問２ 鉄球の質量 m  4.0kg とすると，鉄球が金属円柱に与えたエネルギー E は，運動エネルギーの減
少量に等しく，それは力学的エネルギー保存則から，重力による位置エネルギーの減少に等しい。す
なわち，
1
1
E  mv 2 ) mv ' 2  mg(h ) h ')
2
2
 4./kg  1/m/s 2  (1.//
m ) .16m)  22.6 J  24J
問３，４
鉄球との衝突により金属円柱が得た熱量 E  33.6 J により，金属円柱の温度が ∆ T だけ上昇
したとすると，金属円柱の比熱を c として，
33.6 J  c  5.0g  ∆ T
これにより，結果的に水温と金属円柱の温度が 2.0 K 上昇したことから，
33.6 J  4.2 J/(g•K)  3./g  2K + c  5./g  2K
２式より， c  /.84 J/(g•K) ， ∆ T  8.0 K
問５ 図３の傾きがばね定数 k に等しいので， k 
F0
x0
2
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2014 東京慈恵会医科大学 物理
問６ 縮んだ長さが，0→x 1 →x 2 となる間は外力は正の仕事をし，x 1 →x 2 となる間は外力は負の仕事を
する。よって，求める仕事 W は，図３で囲まれた面積から，
1
1
1
F0 x 0  F0 (x1 ) x 0 ) ) k(x1 ) x 2 )  F0 (x1  x 2 ) x 0 )
2
2
2
W
問７ 金属円柱が縮むときともとに戻るときでばね定数 k の値が等しいことから，図３において，
x 0  x1  x 2
が成り立つ。これを問６の結果に代入して，
W  F0 x 2
となる。求める最大の力の値は，F 0 の値に等しく， x 2  0.60mm ， W  E  33.6 J より，
F0 
F0
33.6 J

 5.6  10 4 N
x2 0.60mm
問８ 縮んだ長さが 0→x 0 →x 1 となる間に外力がした仕事は，鉄球が衝突直前にもつ運動エネルギー，す
なわち，初めに鉄球が蓄えていた重力による位置エネルギー mgh に等しい。
mgh 
1
F0 x0  F0 (x1 ) x0 )
2
x 0  x1  x 2 より，
∴
よって， x1 
mgh 
1
F0 (x1  x2 )
2
2mgh
 x2
F0
2  4./kg  1/m/s 2  1./m
 /.6//
mm  .82mm
5.6  1/ 4 N
あるいは，縮んだ長さが x 1 →x 2 となる間に外力がされた仕事は，鉄球が衝突直後にもつ運動エネル

ギー，すなわち，はね上がった後の最高点での重力による位置エネルギー mghÕ に等しいことから，
1
F0 (x1 ) x 2 )
2
2mgh '
x1 
' x2
F0
mgh ' 
∴
m/s 2  .16m
2  4./kg  1//
mm  .82mm
 /.6//
5.6  1/ 4 N
から求めることもできる。

３
解答
問１
6.2  1/ 2 F/m 2
問１
7
R0
4
Ⅰ
Ⅱ
問２
1.4  10 13 C
問３
1.2  10 6 個
問２
2( ∆ P ) 2
49R0
問３
67
R0
34
解説
Ⅰ．問１
平行板コンデンサーの電気容量 C は，誘電率を ,極板面積を S,極板間隔を d とすると
3
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き，
S
d
と表される。求める単位面積あたりの容量 c は，   7 0 であることに注意して，
C
c
C 7  / 7  8.85  1/ 12 F/m


S
d
1/  1/ 9 m
3
F/m 2  6.2  1/ 3 F/m 2
 6.19  1/ 
問２ 細胞膜の表面積は， S  4  (5m) 2  3.14  10 )10 m 2 なので，電気容量 C は，
C  cS  (6.19  1/ )3 F/m 2 )  (3.14  1/ )1/ m 2 )
 1.94  10 12 F
よって，たくわえている電気量 Q は，
12
Q  1.94  10 
F  70 mV  1.35  10 13 C
 1.4  10 13 C
問３ 電位の変化 ∆ V  30mV ) ( )70mV)  100mV であることから，細胞内へ流入した電気量 ∆ Q は，
12
∆ Q  C∆ V  1.94  10 
F  100 mV  1.94  10 13 C
である。ナトリウム１つあたりの電気量は， e  1.60  10 19 C であるから，流入したナトリウムイオン
の個数は，
1.94  10 13 C
 1.21  10 6 個  1.2  10 6 個
1.60  10 19 C
Ⅱ．問１
図３は右図のような等価な電気回路で考えることが
できる。回路の対称性より図のように流量 Q 1 ,Q 2 を仮定す
ると，キルヒホッフの法則より，
∆ P  3R0 Q1  R0 Q2

3R0 Q1  R0 Q2  2R0 (Q2 ) Q1 )
3R0
Q1
R0
Q2
2R0
3∆ P
5∆ P
， Q2 
となるので，全体の流動
２式より， Q1 
14R0
14R0
Q2 - Q1
R0
Q2
3R0
Q1
抵抗 R は，
R
∆P
Q1  Q2

7
R0
4
問２ この場合の仕事率は，電気回路の電力と同様に考えて，
2R0 (Q2 ) Q1 ) 2 
2(∆ P) 2
49R0
問３ 流動抵抗は管の内径の 4 乗に反比例するため，枝５の流動抵抗が 
1 1
F  16 倍になり， 32R0 と
24
なる。問４と同様に立式して，
4
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∆ P  3R0 Q1  R0 Q2

3R0 Q1  R0 Q2  32R0 (Q2 ) Q1 )
２式より， Q1 
33 ∆ P
35 ∆ P
， Q2 
となるので，全体の流動抵抗 R は，
134R0
134R0
R
∆P
Q1  Q2

67
R0
34
＜講評＞
1（力学）小球にはたらく力を３次元的に想像する必要があり難しい。特に垂直抗力 N の向きには注意
したい。
2（エネルギー変換）図３のグラフの仕事がどういったエネルギーに変換されるのかが分かればよいが，
数値計算もありなかなか手ごわい。
3（直流回路）モデル化された血管の問題であるが内容はコンデンサー，抵抗回路の基本問題である。Ⅱ
は回路の対称性に気づかなければ計算が非常に煩雑になる。
5
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