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Transverse instability for nonlinear Schr¨odinger
equation with a linear potential
山崎陽平 (京都大学)
次の非線形 Schr¨
odinger 方程式を考える.
(NLS)
i∂t u = −∆u + V (x)u − |u|p−1 u,
(t, x, y) ∈ R × R × TL .
ここで, p > 1, L > 0, V : R → R かつ TL = R/2πZ である. さらに, ポテンシャル V の仮
定として次の 2 つを仮定する.
(V1) ある定数 C, α > 0 が存在して |V (x)| ≤ Ce−α|x| である.
(V2) −∂x2 + V は最小固有値 −λ∗ < 0 を持つ.
Takaoka-Tzvetkov [8] により得られた L4 -Strichartz 評価を用いることで, (NLS) の
H 1 (R × TL ) -局所適切性を示すことができる. さらに, (NLS) は次の 2 つの保存量をもつ.
(
∫
E(u) =
R×TL
1
Q(u) =
2
∫
R×TL
)
1
1
1
2
2
p+1
|∇u| + V (x)|u| −
|u|
dxdy,
2
2
p+1
|u|2 dxdy.
(NLS) は定在波と呼ばれる u(t) = eiωt ϕ という変数分離型の非自明解を持つ. ここで,
u(t) = eiωt ϕ が定在波であることは ϕ が
(SNLS)
−∆ϕ + ωϕ + V (x)ϕ − |ϕ|p−1 ϕ = 0,
(x, y) ∈ R × TL ,
の非自明解であることと同値である. 定在波の軌道が摂動に対して安定であるか調べるた
めに, 定在波の安定性を次で定義する.
Definition 1. 定在波 eiωt ϕ が（軌道）安定であるとは次を満たすときに言う. 任意の ε > 0
に対して, ある δ > 0 が存在して, ku0 − ϕkH 1 < δ を満たす任意の u0 ∈ H 1 (R × TL ) に対
して, u(0) = u0 となる (NLS) の解 u(t) が [0, ∞) で存在して
sup inf u(t) − eiθ ϕH 1 < ε,
t≥0 θ∈R
を満たす. また, 定在波 eiωt ϕ が安定でないときに不安定であるという.
分岐理論を用いて, Rose-Weinstein [4] により, 1 次元の非線形 Schr¨
odinger 方程式
i∂t u = −∂x2 u + V (x)u − |u|p−1 u,
について次の結果が示されている.
1
(t, x) ∈ R × R.
(1)
Proposition 2. ψ∗ を −∂x2 + V (x) の固有値 −λ∗ に対する固有関数で ψ∗ > 0 かつ
kψ∗ kL2 = 1 を満たすものとする. このとき, ω∗ > λ∗ が存在して λ∗ < ω < ω∗ に対して
(1) の安定な定在波が eiωt ϕω が存在して次を満たす.
− p+1
1
1
p−1
(ω − λ∗ ) p−1 ψ∗ + O((ω − λ∗ ) p−1 +1 ).
ϕω = kψ∗ kLp+1
2
p
さらに, 作用素 L+
ω = −∂x + ω + V − p|ϕω | は唯一負固有値 −λω を持ち, 0 固有値は持た
ない.
ここで, (NLS) の線状定在波 eiωt ϕ
˜ω を以下で定義する.
(x, y) ∈ R × TL .
ϕ˜ω (x, y) = ϕω (x),
本講演では 1 次元の方程式では安定であった eiωt ϕω が横方向の摂動を考慮した (NLS)
の定在波 eiωt ϕ
˜ω として不安定であるか安定であるかについて考察する. 横方向の摂動に対
して線状定在波が不安定になるとき, 線状定在波は横方向不安定であるという.
Rousset-Tzvetkov [5, 6, 7] により, KdV 方程式の 1 ソリトン解を KP-I 方程式の線状
ソリトンとして横方向不安定性の研究がなされ, Mizumachi-Tzvetkov [3] と Mizumachi [2]
によって KP-II 方程式の線状ソリトンの安定性の研究がなされている.
非線形 Schr¨
odinger 方程式については, V = 0 のときに相当する
i∂t u = −∂x2 u − |u|p−1 u,
(t, x) ∈ R × R.
(2)
の基底状態解に対する線状定在波の横方向不安定性は p = 3 のときに Rousset-Tzvetkov
[5, 6] により, p 6= 3 のときは [9] により示されている. [9] の議論を用いることにより, 先
行結果と類似の以下の結果を得ることができた.
Theorem 3. λ∗ < ω < ω∗ とする. このとき, 以下が成立する.
(i) 0 < L < (λω )− 2 ならば線状定在波 eiωt ϕ˜ω は安定である.
1
(ii) (λω )− 2 < L ならば線状定在波 eiωt ϕ˜ω は不安定である.
1
さらに, Maeda [1] による議論と分岐理論を用いることで, [10] で用いられた議論によ
1
り, 安定性と不安定性の境界である周期 2πL = 2π(λω )− 2 のときの線状定在波の次の安定
性の結果を得ることができる.
Theorem 4. p ≥ 2 かつ
p∗ =
9+
√
57
,
4
とする. このとき, ある λ∗ < ωp が存在して以下を満たす.
(i) p < p∗ かつ λ∗ < ω < ωp ならば eiωt ϕ˜ω は L = (λω )−1/2 となる (NLS) の線状定在
波として安定である.
(ii) p∗ < p かつ λ∗ < ω < ωp ならば eiωt ϕ˜ω は L = (λω )−1/2 となる (NLS) の線状定在
波として不安定である.
Remark 5. 方程式 (1) はスケール不変性を持たないため, L = 1 に正規化することはで
きない.
2
V = 0 のときの安定性と不安定性の境界である周期では p をパラメータとしてみなし
た時の安定性と不安定性の境目を決定することはできなかった. しかし, ポテンシャルを付
けることにより, 振動数 ω が λ∗ に十分近いときには定在波が線型方程式
i∂t u = −∆u + V (x)u
の最小固有値に対応する固有関数に近くなる. そのため, 振動数 ω が λ∗ に十分近いとき
は線形の影響は支配的になり, 境目となる p∗ を決定できた.
講演ではこれらの内容について紹介する.
References
[1] M. Maeda, Stability of bound states of Hamiltonian PDEs in the degenerate cases, J. Funct.
Anal. 263 (2012), no. 2, 511–528.
[2] T. Mizumachi, Stability of line solitons for the KP-II equation in R2 , arXiv:1303.3532.
[3] T. Mizumachi, N. Tzvetkov, Stability of the line soliton of the KP-II equation under periodic
transverse perturbations, Math. Ann. 352 (2012), no. 3, 659–690.
[4] H. A. Rose and M. I. Weinstein, On the bound states of the nonlinear Schr¨
odinger equation
with a linear potential, Physica D 30 (1988), 207–218.
[5] F. Rousset and N. Tzvetkov, Transverse nonlinear instability of solitary waves for some
Hamiltonian PDE’s, J. Math. Pures. Appl. 90 (2008) 550–590.
[6] F. Rousset and N. Tzvetkov, Transverse nonlinear instability for two-dimensional dispersive
models, Ann. I. Poincar´e-AN 26 (2009) 477–496.
[7] F. Rousset and N. Tzvetkov, Stability and instability of the KdV solitary wave under the
KP-I flow, Comm. Math. Phys., 313 (2012), no. 1, 155–173.
[8] H. Takaoka and N. Tzvetkov, On 2D nonlinear Schr¨
odinger equations with Data on R × T,
J. Funct. Anal. 182 (2001) 427–442.
[9] Y. Yamazaki, Transverse instability for a system of nonlinear Schr¨
odinger equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 19 (2014), no.2, 565–588.
[10] Y. Yamazaki, Stability of line standing waves near the bifurcation point for nonlinear
Schrodinger equations, appear to Kodai Math. J.
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