1. No category

Evaluation representations of the
small quantum loop algebras
阿部 友紀∗
1
（上智大・理工）
Introduction
quantum algebra の表現論は、パラメーターが 1 のベキ根であるか、そうでないかによって大き
く異なる。さらに、1 のベキ根の場合は、「制限型」と「非制限型」と呼ばれる、２種類の quantum
algebra が存在し、それぞれ表現論が異なる（[CP94b] §9, §11, [CP97], [BK] 参照）。
しかし、制限型の表現と非制限型の表現、どちらの場合においても、
「small quantum algebra」と
呼ばれる algebra の表現を考えることが重要であることが知られている。Small quantum algebra と
は、制限型 quantum algebra のある subalgebra であり、同時に、非制限型 quantum algebra のある
quotient algebra と同型になっている（§3.2, 3.3 参照）。
このノートでは、まず、small quantum algebra と非制限型 quantum algebra のある quotient algebra
との同型定理や、small quantum algebra の表現論などについて紹介する。その後、small quantum
algebra の表現の中でも、特に、「evaluation 表現」と呼ばれる表現の性質を考える。
2
Notations
最初に、Lie algebra に関する記号を以下で定める：
n ∈ N := {1, 2, · · · },
sln+1 : An 型の有限次元複素単純 Lie algebra,
e n+1 = sln+1 ⊗ C[t, t−1 ]: loop algebra of sln+1 ,
sl
I := {1, 2, · · · , n},
Ie := I t {0}: index set,
e n+1 (resp. sln+1 ),
(ai,j )i,j∈Ie (resp. (ai,j )i,j∈I ): generalized Cartan matrix of sl
e n+1 (resp. sln+1 ),
{αi }i∈Ie (resp. {αi }i∈I ): simple roots of sl
P
e n+1 ,
δ := i∈Ie αi : smallest positive imaginary root of sl
e n+1 (resp. sln+1 ),
e (resp. ∆): root system of sl
∆
e n+1 (resp. sln+1 ),
e + (resp. ∆+ ): the set of positive roots of sl
∆
e n+1 ,
e re := {α + mδ | α ∈ ∆, m ∈ N} t ∆+ : the set of positive real roots of sl
∆
+
e
e im
∆
+ := {mδ | m ∈ N}: the set of positive imaginary roots of sln+1 . ∗ e-mail:
[email protected]
1
3
Small quantum algebras
3.1
quantum algebra の定義 （1 のベキ根でない場合）
q を indeterminate とし、C(q) を rational function field とする。また、C(q) 内の q-integer 等を
以下で定める:
[r]q :=
q r − q −r
,
q − q −1
[m]q ! := [m]q [m − 1]q · · · [1]q ,
[0]q ! := 1
(r ∈ Z, m ∈ N).
この時、indeterminate q における An 型の quantum algebra と quantum loop algebra を、以下で定
義する。
e n+1 ) (resp. Uq := Uq (sln+1 )) を、生成元 {Ei , Fi , K ±1 | i ∈ Ie (resp. i ∈ I)}
eq := Uq (sl
Definition 3.1. U
i
eq (resp. Uq ) を quantum
と以下の基本関係式で与えられる associative C(q)-algebra とする。この時、U
loop algebra (resp. quantum algebra) と呼ぶ：
Ki Ki−1 = Ki−1 Ki = 1,
Ki K j = K j K i ,
K0 =
n
Y
Ki−1 ,
(3.1)
i=1
Ki Ej Ki−1 = q ai,j Ej ,
Ei Fj − Fj Ei =
Ki Fj Ki−1 = q −ai,j Fj ,
(3.3)
1−aij
X
(3.2)
Ki − Ki−1
,
δi,j
q − q −1
1−aij
(m)
(−1)m Ei
(1−ai,j −m)
Ej Ei
m=0
=
X
(m)
(−1)m Fi
(1−ai,j −m)
Fj Fi
=0
i 6= j,
(3.4)
m=0
ただし、
(m)
Ei
:=
1
Em,
[m]q ! i
(m)
Fi
:=
1
Fm
[m]q ! i
(m ∈ Z+ := {0, 1, 2, · · · }).
eq (resp. Uq ) は、Hopf algebra の構造を持ち、その comultiplication ∆H : U
eq −→ U
eq ⊗ U
eq (resp.
U
Uq −→ Uq ⊗ Uq ) は、以下で与えられる：任意の i ∈ Ie (resp. i ∈ I) に対して、
∆H (Ei ) = Ei ⊗ Ki + 1 ⊗ Ei ,
∆H (Fi ) = Fi ⊗ 1 + Ki−1 ⊗ Fi ,
∆H (Ki ) = Ki ⊗ Ki .
(3.5)
eq (resp. Uq ) 表現同士の tensor product も U
eq (resp. Uq ) 表現とみ
この ∆H を用いることにより、U
なすことができる。
eq の有限次元表現を扱うため、U
eq の Drinfel’d realization を紹介する：
ここで、U
eq は以下の基本関係式を満たす、生成元が {X ± , Hi,s , K ±1 | i ∈
Theorem 3.2 ([D], [B94b]). U
i,r
i
I, r, s ∈ Z, s 6= 0} の associative C(q)-algebra である：
Ki Ki−1 = Ki−1 Ki = 1,
Ki Kj = Kj Ki ,
[Ki , Hj,s ] = [Hi,r , Hj,s ] = 0,
[rai,j ]
±
±
±
Ki Xj,r
Ki−1 = q ai,j Xi,r
, [Hj,s , Xi,r
]=±
Xi,r+s ,
r
±
±
±
±
±
±
±
±
Xi,r+1
Xj,s
− q ±ai,j Xj,s
Xi,r+1
= q ±ai,j Xi,r
Xj,s+1
− Xj,s+1
Xi,r
,
−
Ψ+
i,r+s − Ψi,r+s
+
−
,
[Xi,r
, Xj,s
] = δi,j
qi − qi−1
"
#
m
X X
m
±
±
±
±
±
k
(−1)
Xi,r
Xi,r
Xj,s
Xi,r
· · · Xi,r
= 0,
π(1)
π(k)
π(k+1)
π(m)
k
π∈Sm k=0
2
(i 6= j),
ただし、r1 , · · · , rm ∈ Z, m := 1 − ai,j , Sm は m 次の symmetric group であり、Ψ±
i,r は以下で定義
される：
∞
X
±r
Ψ±
:= Ki±1 exp(±(q − q −1 )
i,±r u
r=0
∞
X
Hi,±s u±s )
eq [[u]],
U
in
s=1
Ψ±
i,±r := 0 if r < 0.
3.2
制限型 quantum algebra と small quantum algebra
l を (n + 1) と互いに素である 3 以上の奇整数とし、ε を 1 の原始 l 乗根とする。また、ε における
C 内の q-integer 等を以下で定める:
[r] :=
εr − ε−r
,
ε − ε−1
[m]! := [m][m − 1] · · · [1],
[0]! := 1.
l が (n + 1) と互いに素であるという条件は、次の条件と同値であることが分かる（[BK] 参照）:
l の倍数でない任意の k ∈ Z に対し、det([kai,j ])i,j∈I 6= 0.
(m)
e res (resp. U res ) を {E
今、A := C[q, q −1 ] を Laurent 多項式環とし、U
A
A
i
(m)
, Fi
, Ki±1 |m ∈ N, i ∈
eq (resp. Uq ) の A-subalgebra とする。また、次の演算により、
Ie (resp. i ∈ I)} によって生成される U
C を A-algebra とみなす：
g(q).c := g(ε)c for any g(q) ∈ A, c ∈ C.
この演算により A-algebra とみなした C を、Cε と書くことにする。
Definition 3.3 ([L89], [CP97]). 制限型 quantum loop algebra (resp. 制限型 quantum algebra) を
以下で定義する：
res
eεres := U
eA
U
⊗A Cε
(resp.
res
Uεres := UA
⊗A Cε ).
(3.6)
eεres (resp. Uεres ) の Cまた、{Ei ⊗ 1, Fi ⊗ 1, Ki±1 ⊗ 1 | i ∈ Ie (resp. i ∈ I)} によって生成される U
eεfin (resp. Uεfin )
subalgebra を small quantum loop algebra (resp. small quantum algebra) と呼び、U
と書く。
(m)
ここで、任意の i ∈ I, m ∈ Z+ に対し、ei
(m)
:= Ei
(m)
⊗ 1, fi
(m)
:= Fi
⊗ 1, ki±1 := Ki±1 ⊗ 1 と
書くことにする。
Remark 3.4. (3.5) の ∆H に対し、以下のことが成立する（[CP94b] §9.3 A 参照）
：
res
res
res
eA
eA
eA
∆H (U
)⊂U
⊗U
res
res
res
(resp. ∆H (UA
) ⊂ UA
⊗ UA
).
eq の場合と同様、Uεres , Uεfin , U
eεres , U
eεfin の tensor 表現を定義す
これらを利用することにより、Uq や U
ることができる。
3
3.3
非制限型 quantum algebra と small quantum algebra
任意の i ∈ I, m ∈ N に対し、
[Ki ; m] :=
m
Y
Ki q −s+1 − Ki−1 q s−1
,
q s − q −s
s=1
(3.7)
eA (resp. UA ) を {Ei , Fi , K ±1 , [Ki ; 1] | i ∈ Ie (resp. i ∈ I)} によって生成される U
eq (resp.
と定義し、U
i
Uq ) の A-subalgebra とする。
Definition 3.5 ([DK], [BK]). 非制限型 quantum loop algebra (resp. 非制限型 quantum algebra) を
以下で定義する：
eε := U
eA ⊗A Cε
U
(resp.
Uε := UA ⊗A Cε ).
(3.8)
簡単のため、Ei ⊗ 1, Fi ⊗ 1, Ki±1 ⊗ 1 を、それぞれ Ei , Fi , Ki±1 と書くことにする。
eε (resp. Uε ) は、生成元が {Ei , Fi , K ±1 | i ∈ Ie (resp. i ∈ I)} で基本関係式が (3.1)–
Remark 3.6. U
i
(3.4) （において q を ε に置き換えたもの）である associative C-algebra とみなすこともできる ([BK]
(resp. [DK]) 参照)。
ここで、以下の記号を定義する：
e im
e im
∆
+ (I) := I × ∆+ = {(i, mδ) | i ∈ I, m ∈ N},
e im
e + (I) := ∆
e re
∆
+ t ∆+ (I),
eq (resp. Uq ) の root vector を利用することにより、U
eε (resp. Uε ) の root vector
(see §2)。この時、U
eε (resp. Uε ) の root vector を {E
eβ , Feβ | β ∈ ∆
e + (I)} (resp. {Eγ , Fγ | γ ∈
を構成することができる。U
eq や Uq の root vector については [L90a], [B94b] 等を参照）。
∆+ }) と書くことにする。（U
l
l
eαl , Feαl , E
e(i,mlδ) , Fe(i,mlδ) | α ∈ ∆
e re
e
今、Je0 := {E
+ , i ∈ I, m ∈ N} ⊂ Uε , J0 := {Eγ , Fγ | γ ∈ ∆+ } ⊂ Uε
eε (resp. Uε ) の両
とし、Je (resp. J) を Je0 ∪ {Ki2l − 1}i∈I (resp. J0 ∪ {Ki2l − 1}i∈I ) で生成される U
側 ideal とする。
Theorem 3.7.
eε /J,
e
eεfin ∼
U
=U
Uεfin ∼
= Uε /J
(as a C-algebra).
証明方針：それぞれの algebra の PBW basis を利用する。Uεfin は [L90a] において、Uε は [DK] に
e res の PBW basis が、[B94a]
おいて、それぞれ PBW basis が与えられている。また、[G] において U
A
eq の PBW basis が与えられているため、それらを利用すると U
eεfin と U
eε の PBW basis が
において U
得られる。
eεfin (resp. Uεfin ) の表現を考えることは、U
eε (resp. Uε ) の表現であって、U
eε
表現論レベルでは、U
(resp. Uε ) の center がほぼ自明に作用する表現達を考えることと同じである。このことは、以下の
命題によって分かる。
eε ) (resp. Z(Uε )) を U
eε (resp. Uε ) の center とし、Ze0 (resp. Z0 ) を Je0 ∪ {K ±l }i∈I (resp.
今、Z(U
i
eε (resp. Uε ) の C-subalgebra とする。
J0 ∪ {Ki±l }i∈I ) で生成される U
4
eε ) = Ze0 .
Proposition 3.8 ([BK]). Z(U
Proposition 3.9 ([DK]). Z0 ⊂ Z(Uε ). さらに、Z(Uε ) は Z0 上 integral な有限生成 algebra.
4
Small quantum algebra の表現論
4.1
Triangular decomposition
任意の i ∈ I, m ∈ N に対し、[Ki ; m] を (3.7) で定義したものとする。この時、[L89] §4.1 より、
res
となる（[CP94b] §9.3A も参照）。よって、[ki ; m] := [Ki ; m] ⊗ 1 は Uεres の元になる。
[Ki ; m] ∈ UA
(m)
今、(Uεres )+ (resp. (Uεres )− , (Uεres )0 ) を {ei
{ki , [ki ; l] | i ∈
I}) によって生成される Uεres
(m)
| i ∈ I, m ∈ N} (resp. {fi
| i ∈ I, m ∈ N},
の C-subalgebra とする。同様に、(Uεfin )+
(resp. (Uεfin )− ,
(Uεfin )0 ) を {ei }i∈I (resp. {fi }i∈I , {ki }i∈I ) によって生成される Uεfin の C-subalgebra とする。この
時、以下の（弱い意味での）triangular decomposition を得る ([CP94b] §9.3 A 参照)：
Uεres = (Uεres )− (Uεres )0 (Uεres )+ ,
Uεfin = (Uεfin )− (Uεfin )0 (Uεfin )+ .
(4.1)
eεres と U
eεfin の triangular decomposition を紹介する。任意の i ∈ I, r ∈ Z に対し、X ± ,
次に、U
i,r
1
± (m)
± m
Ψ±
を
Theorem
3.2
の
Drinfel’d
generator
とし、
(X
)
:=
(X
)
と定義する
(m
∈
N)
。
i,r
i,r
[m]q ! i,r
± (m)
± (m)
± (m)
e res
この時、(Xi,r
) , Ψ±
:= (Xi,r
)
⊗ 1,
i,r ∈ UA となることが知られている。よって、(xi,r )
±
±
±
e res
e fin
ψi,r
:= Ψ±
i,r ⊗ 1 は、Uε の元になる。特に、xi,r , ψi,r は、Uε の元になる。
eq の元 Pi,±m を以下で定義する：
今、任意の i ∈ I, m ∈ Z+ に対し、U
∞
X
Pi,±m u
m
:= exp(−
m=0
∞
X
q ±s
s=1
[s]q
Hi,±s us ) in
eq [[u]],
U
e res となることが知られている ([CP97] §3 参照)。よって、pi,±m := Pi,±m ⊗ 1 は
この時、Pi,±m ∈ U
A
eεres の元になる。
U
eεres )0 ) を {(x+ )(m) | i ∈ I, r ∈ Z, m ∈ N} (resp. {(x− )(m) | i ∈
eεres )+ (resp. (U
eεres )− , (U
今、(U
i,r
i,r
res
e
I, r ∈ Z, m ∈ N}, {ki , [ki ; l], pi,r | i ∈ I, r ∈ Z}) によって生成される Uε の C-subalgebra とす
eεfin )+ (resp. (U
eεfin )− , (U
eεfin )0 ) を {x+ | i ∈ I, r ∈ Z} (resp. {x− | i ∈ I, r ∈ Z},
る。同様に、(U
i,r
i,r
±
eεfin の C-subalgebra とする。
{ψi,r
| i ∈ I, r ∈ Z}) によって生成される U
この時、以下の（弱い意味での）triangular decomposition を得る (see [CP97] Proposition 6.1)：
eεres = (U
eεres )− (U
eεres )0 (U
eεres )+ ,
U
4.2
eεfin = (U
eεfin )− (U
eεfin )0 (U
eεfin )+ .
U
(4.2)
Highest weight 表現と pseudo-highest weight 表現
e res 表現 (resp. U res 表現) とし、Λ を (U
e res )0 (resp. (U res )0 ) から C への
Definition 4.1. V を U
ε
ε
ε
ε
C-algebra 準同型とする。
(i) VΛ := {v ∈ V | uv = Λ(u)v
eεres )0
∀u ∈ (U
weight space (resp. weight space) と呼ぶ。
5
(resp. (Uεres )0 )} と定義し、VΛ を V の pseudo-
(ii)
(m)
Peεres (V ) := {v ∈ V | (x+
v=0
i,r )
(m)
Pεres (V ) := {v ∈ V | ei
(resp.
∀i ∈ I, r ∈ Z, m ∈ N}
v=0
∀i ∈ I, m ∈ N}),
と定義し、Peεres (V ) (resp. Pεres (V )) の元を V の pseudo-primitive vector (resp. primitive vector ) と
呼ぶ。
e res 表現 (resp. U res 表
(iii) V が、零でない VΛ ∩ Peεres (V ) (resp. VΛ ∩ Pεres (V )) の元 vΛ によって U
ε
ε
現) として生成されているとする。この時、V を pseudo-highest weight (resp. highest weight) Λ の
eεres 表現 (resp. highest-weight Uεres 表現 ) と呼び、vΛ を V の pseudo-highest
pseudo-highest weight U
weight vector (resp. highest-weight vector ) と呼ぶ。
このとき、generic な場合と同様、次の proposition を得る ([CP97] Proposition 7.3 等参照)。
eεres )0 −→ C (resp. Λ : (Uεres )0 −→ C) に対し、
Proposition 4.2. (a) 任意の C-algebra 準同型 Λ : (U
eεres 表現 Veεres (Λ)
pseudo-highest weight (resp. highest weight) Λ の既約な pseudo-highest weight U
(resp. highest-weight Uεres 表現 Vεres (Λ)) が（同型を除いて）ただ一つ存在する。
0
eεres )0 −→ C (resp. (Uεres )0 −→ C) を C-algebra 準同型とする。Veεres (Λ) と Veεres (Λ0 )
(b) Λ, Λ : (U
0
eεres 表現 (resp. Uεres 表現) として同型になる必要十分条件は、
と (resp. Vεres (Λ) と Vεres (Λ ) と) が U
0
Λ = Λ となることである。
4.3
Frobenius 準同型
e n+1 ) (resp. U := U (sln+1 )) を sl
e n+1 (resp. sln+1 ) の C 上の universal enveloping algebra
e := U (sl
U
¯ i | i ∈ Ie (resp. i ∈ I)}
e (resp. U ) は、以下の基本関係式を満たす、生成元 {¯
とする。すなわち、U
ei , f¯i , h
の associative C-algebra である：任意の i, j ∈ Ie (resp. i, j ∈ I) に対して、
¯ ih
¯j = h
¯j h
¯i, h
¯ i e¯j − e¯j h
¯ i = ai,j e¯j , h
¯ i f¯j − f¯j h
¯ i = −ai,j f¯j , e¯i f¯j − f¯j e¯i = δi,j h
¯ i,
h
Ã
!
Ã
!
1−ai,j
1−ai,j
X
X
1 − ai,j
1 − ai,j
1−ai,j −m
1−a −m
e¯m
e
¯
e
¯
f¯im f¯j f¯i i,j
(−1)m
=
(−1)m
=0
i j i
m
m
m=0
m=0
i 6= j.
この時、以下のような準同型を得る（[CP97] §1, [CP94b] §9.3C, §11.2 B 等参照）。
eε : U
eεres −→ U
e が
Proposition 4.3 ([L93] §Chapter 35). 以下のような全射の C-algebra 準同型 Fr
e m ∈ N に対して、
存在する：任意の i ∈ I,
e ε (e(m) )
Fr
i


=
e ε (ki ) = 1,
Fr
m/l
e¯i
(m/l)!
0
if l divides m
otherwise
,
e ε (f (m) )
Fr
i


=
m/l
f¯i
(m/l)!
0
if l divides m
otherwise
,
¯ i . e ε ([ki ; l]) = h
Fr
∗
e 表現 V に対し、Fr
e ε を用いて V を U
e res 表現とみなしたものを、Fr
e (V ) と書くことにす
任意の U
ε
ε
e ε |U res : Uεres −→ U を用いて、V を Uεres 表現とみな
る。同様に、任意の U 表現 V に対し、Frε := Fr
ε
したものを、Fr∗ε (V ) と書くことにする。
6
4.4
制限型 quantum algebra と small quantum algebra の有限次元既約表現
の分類
e res , or U
e fin とし、V を U 表現とする。また、σ : Q −→ {±1} を
Definition 4.4. U = Uεres , Uεfin , U
ε
ε
群準同型とする。任意の i ∈ I, v ∈ V に対して、kil v = σ(i)v となる時、V を type σ の U 表現と呼
ぶ。特に、任意の i ∈ I に対し、σ(i) = 1 である時、V を type 1 の U 表現と呼ぶ。
Remark 4.5. 一般に、任意の群準同型 σ : Q −→ {±1} に対し、type σ の有限次元 U 表現全体の
category と、type 1 の有限次元 U 表現全体の category とは、本質的に同じものであることが知られ
ている（[CP94b] §10.1A 及び §11.2A 参照）。そのため、今後は type 1 の表現のみ扱うこととする。
ここで、以下の記号を定義する：
C0 [t] := {P (t) ∈ C[t] | P (t) is monic and P (0) 6= 0}.
(0)
n
(0)
今、任意の λ = (λi )i∈I ∈ Zn
= (λi )i∈I ∈ Znl (resp.
+ (resp. P = (Pi (t))i∈I ∈ C0 [t] ) に対し、λ
(0)
(1)
(1)
p(0) = (pi )i∈I ∈ Znl ) と λ(1) = (λi )i∈I ∈ Zn+ (resp. p(1) = (pi )i∈I ∈ Zn+ ) とを、以下の条件を満
たすものとする：
(0)
λi = λi
(1)
+ lλi
(resp.
(0)
degPi (t) = pi
(1)
+ lpi )
for any i ∈ I.
Definition 4.6. (a) 任意の λ = (λi )i∈I ∈ Zn+ に対して、C-algebra 準同型 Λλ : (Uεres )0 −→ C× を
以下で定義し、Vεres (λ) := Vεres (Λλ ) と定める：
(0)
Λλ (ki ) := ελi ,
(1)
Λλ ([ki ; l]) := λi .
eεres )0 −→ C× を以下で定
(b) 任意の P = (Pi (t))i∈I ∈ C0 [t]n に対して、C-algebra 準同型 ΛP : (U
義し、Veεres (P) := Veεres (ΛP ) と定める：
∞
X
ΛP (pi,m )tm :=
m=0
(0)
ΛP (ki ) := εpi ,
P (t)
,
P (0)
∞
X
ΛP (pi,−m )tm := tdegPi (t) Pi (t−1 ),
m=0
(1)
ΛP ([ki ; l]) := pi .
Theorem 4.7 ([L89], [CP94b] §11.2). (a) 任意の λ ∈ Zn+ に対して、Vεres (λ) は、type 1 の有限次
res
n
元既約 Uεres 表現になる。さらに、λ ∈ Zn
+ に Vε (λ) を対応させる写像は、Z+ と type 1 の有限次元
既約 Uεres 表現全体の集合（の同型類）との間に一対一対応を与える。
(b) 任意の λ = (λi )i∈I ∈ Zn+ に対し、Vεres (λ) と Vεres (λ(0) ) ⊗ Vεres (lλ(1) ) とは、Uεres 表現として、
同型である。
(c) 任意の λ ∈ Zn+ に対し、V (λ) を、U の highest weight λ の有限次元既約表現とする。この時、
Vεres (lλ) と Fr∗ε (V (λ)) とは Uεres 表現として同型である。
(d) 任意の λ ∈ Znl に対して、Vεres (λ) は、Uεfin 表現として既約になる。さらに、λ ∈ Znl に Vεres (λ)
fin
を対応させる写像は、Zn
l と type 1 の有限次元既約 Uε 表現全体の集合（の同型類）との間に一対
一対応を与える。
7
ここで、以下の記号を定義する：
Cl [t] := {P (t) ∈ C0 [t] | 任意の c ∈ C× に対し、P (t) は (t − cl ) で割られない },
C0 [tl ] := {P (t) ∈ C0 [t] | ある C0 [t] の元 R(t) が存在して、P (t) = R(tl )}.
(0)
この時、任意の P = (Pi (t))i∈I ∈ C0 [t]n に対して、以下の条件を満たす P(0) = (Pi (t))i∈I ∈ Cl [t]n
(1)
と P(1) = (Pi (t))i∈I ∈ C0 [tl ]n とが唯一つ存在する：
(1)
(0)
Pi (t) = Pi (t)Pi (t)
for any i ∈ I.
(4.3)
Theorem 4.8 ([CP97], [FM]). (a) 任意の P ∈ C0 [t]n に対して、Veεres (P) は、type 1 の有限次元既
eεres 表現になる。さらに、P ∈ C0 [t]n に Veεres (P) を対応させる写像は、C0 [t]n と type 1 の有限
約U
eεres 表現全体の集合（の同型類）との間に一対一対応を与える。
次元既約 U
eεres 表現として、同型
(b) 任意の P ∈ C0 [t]n に対し、Veεres (P) と Veεres (P(0) ) ⊗ Veεres (P(1) ) とは、U
である。
e の pseudo-highest weight R の有限次元既
(c) 任意の R = (Ri (t))i∈I ∈ C0 [t]n に対し、Ve (R) を U
e ∗ε (Ve (R)) とは U
eεres 表現として
約表現とし、P := (Ri (tl )) ∈ C0 [tl ]n とする。この時、Veεres (P) と Fr
同型である。
eεfin 表現として既約である。さらに、P ∈ Cl [t]n に
(d) 任意の P ∈ Cl [t]n に対して、Veεres (P) は、U
eεfin 表現全体の集合（の同型類）と
Veεres (P) を対応させる写像は、Cl [t]n と type 1 の有限次元既約 U
の間に一対一対応を与える。
e と U の有限次元既約表現の構造はよく知られている
Remark 4.9. Universal enveloping algebra U
e の有限次元既約表現については、[CP97] の §2 等を参照）。よって、Theorem 4.8 (resp. Theorem
（U
eεres (resp. Uεres ) の表現論は、実質的に、U
eεfin (resp. Uεfin ) の表現論とみなすことがで
4.7) より、U
きる。
eεfin と Uεfin の表現の構造に関しては、有限次元既約表現の具体的な次元などに関して、まだまだ、
U
分からないことがある。
5
Small quantum loop algebra の evaluation 表現
5.1
Evaluation 準同型
X = E, F とし、以下の記号を定める：
Xθ+ := [Xn , [· · · [X2 , X1 ]q · · · ]q ,
Xθ− := [X1 , [· · · [Xn−1 , Xn ]q · · · ]q ∈ Uq .
ただし、任意の u, v ∈ Uq に対し、
[u, v]q := uv − q −1 vu.
また、fundamental weight に対応する、以下の元 KΛ1 , KΛn を生成元として Uq に新たに加えておく：
KΛ1 :=
Y
n−i+1
n+1
Ki
,
KΛn :=
i∈I
Y
i∈I
8
i
Kin+1 .
（表現においては、各 Ki の行き先を決定してしまえば、KΛ1 , KΛn の行き先も一意的に決定してし
まう)。
Proposition 5.1 ([J] §2, [CP94a] Proposition 3.4). 任意の a ∈ C× に対し、以下のような C-algebra
− e
準同型 ev+
a , eva : Uq −→ Uq が存在する：
ev±
a (Ei ) = Ei ,
ev±
a (Fi ) = Fi ,
±1 ∓1 ±
ev±
a (E0 ) = aKΛ1 KΛn Fθ ,
ev±
a (Ki ) = Ki ,
(i ∈ I),
n−1 −1 ±1 ±1 ±
ev±
a KΛ1 KΛn Eθ .
a (F0 ) = (−q)
fin
e
e fin
この準同型 ev±
a を Uq の evaluation 準同型と呼ぶ。この準同型は、以下の Uε から Uε への
±
evaluation 準同型 (evfin
a ) を導く：
+
fin − e fin
Proposition 5.2. 任意の a ∈ C× に対し、以下のような C-algebra 準同型 (evfin
a ) , (eva ) : Uε −→
Uεfin が存在する：
±
(evfin
a ) (ei ) = ei ,
±
(evfin
a ) (fi ) = fi ,
±1 ∓1 ±
±
(evfin
a ) (e0 ) = akΛ1 kΛn fθ ,
±
(evfin
a ) (ki ) = ki ,
(i ∈ I),
±
n−1 −1 ±1 ±1 ±
(evfin
a kΛ1 kΛn eθ .
a ) (f0 ) = (−ε)
±
±
±
fin
ただし、e±
θ := Eθ ⊗ 1, fθ := Fθ ⊗ 1 ∈ Uε であり、kΛ1 := KΛ1 ⊗ 1, kΛn := KΛn ⊗ 1 を生成元と
して、Uεfin に付け加えているものとする。
5.2
Evaluation 表現の Drinfel’d 多項式と同型条件
fin
res
e fin
e res
e fin
任意の P ∈ Cl [t]n (resp. λ ∈ Zn
l ) に対し、Uε 表現 Vε (P) (resp. Uε 表現 Vε (λ)) を Vε (P)
(resp. Vεfin (λ)) と書くことにする。
×
fin
fin ±
fin
±
e fin
今、任意の λ ∈ Zn
l と a ∈ C に対し、Vε (λ) を (eva ) で持ち上げた Uε 表現を Vε (λ)a と書く
fin
fin ±
eεfin に対し、u の Vεfin (λ)±
ことにする。すなわち、任意の u ∈ U
a への作用は、(eva ) (u) の Vε (λ) への
e fin
作用で定義される。この時、Vεfin (λ)±
a は、Uε の type 1 の有限次元既約表現になる。よって、Theorem
4.8 (a) より、ある Drinfel’d 多項式 P± = (P ± (t))i∈I ∈ Cl [t]n が存在し、V fin (λ)± ∼
= Ve fin (P± ) と
a
ε
i,a
a
ε
a
なる。この Drinfel’d 多項式は、以下のように具体的に求めることが出来る。
Theorem 5.3. 任意の i ∈ I に対し、
±
Pi,a
(t) =
λi
Y
(t − aελi −2k+1±λ[i] ),
k=1
ただし、λ[i] :=
Pi−1
k=1
λk −
Pn
k=i+1
±
λk + i であり、λi = 0 の時は Pi,a
(t) = 1 とする。また、a の値
は、λ に応じ、予め適当な値に取っておくものとする。
証明について：証明は、generic な場合と同様である。generic な場合の証明方法は、Chari-Pressley
により、[CP94a] の §3.6 で与えられている。
fin
−
e fin
今、a+ , a− ∈ C× とすると、Vεfin (λ)+
a+ と Vε (λ)a− とは、Uε 表現として同型とは限らないが、
a± や λ の値によっては同型になることもある。具体的には、以下の命題で与えられる：
9
Proposition 5.4. λ = (λi )i∈I ∈ Znl , a+ , a− ∈ C× とする。また、supp(λ) := {i ∈ I | λi 6= 0} と定
義し、i1 , i2 , · · · , im ∈ I を、supp(λ) = {i1 , · · · , im } (i1 < · · · < im ) となるものとする。この時、以
下の条件 (a) から (c) は同値である：
fin
−
e fin
(a) Vεfin (λ)+
a+ と Vε (λ)a− とは、Uε 表現として同型である。
(b) 任意の i ∈ supp(λ) に対して、a+ = a− ε2λ[i] .
(c) 任意の 2 ≤ r ≤ m に対して、
λir ≡ (−1)r (2Cr − λi1 − i1 ) + ir 6≡ 0

a ε2Cm
m は奇数,
−
a+ =
a ε2(λi1 +i1 −Cm ) m は偶数.
(mod l),
−
ただし、
Cr :=
r
X
(−1)k−1 ik
(2 ≤ r ≤ m).
k=1
fin
−
証明について：(a) と (b) とが同値であることは、Vεfin (λ)+
a+ と Vε (λ)a− との Drinfel’d 多項式を
見比べることにより分かる。あとは具体的に計算することにより、(b) と (c) とが同値であるという
ことが得られる。
Remark 5.5. 任意の λ ∈ Zn+ に対して、Vq (λ) を Uq の type 1 の有限次元既約表現とする。また、任
意の a ∈ C× に対し、Vq (λ)±
。この時、Vq (λ)±
a を Vq (λ) の evaluation 表現とする（[CP94a] 参照）
a に
×
関しては、Proposition 5.4 と同様のことは成立しない。具体的には、任意の λ ∈ Zn
+ と a+ , a− ∈ C
−
e
に対して、#supp(λ) が 2 以上の場合、Vq (λ)+
a と Vq (λ)a とが Uq 表現として同型になることはない。
例えば、sl3 の場合に以下のようなことが起こる：
今、a ∈ C× , ν ∈ Zl , µ := (ν, l − 1 − ν) ∈ Z2l とする。この時、もし ν 6= 0, l − 1 なら、Vq (µ)+
aε2ν+4
+
fin
fin
−
e
e fin
と Vq (µ)−
a とは Uq 表現として同型にはならないが、Vε (µ)aε2ν+4 と Vε (µ)a とは Uε 表現として
同型になる。
参考文献
[A] Y. Abe, Inductive Construction of Nilpotent Modules of Quantum Groups at Roots of Unity,
math.QA/0601749.
[AN05] Y. Abe, T. Nakashima, Nilpotent representations of classical quantum groups at roots of
unity, J. Math. Phys., 46 (2005), no. 12, 113505 1–19.
[AN06] Y. Abe, T. Nakashima, Evaluation representations of quantum affine algebras at roots of
unity, J. Math. Phys., 47 (2006), no. 8, 083514 1–28.
[B94a] J. Beck, Convex bases of PBW type for quantum affine algebras, Comm. Math. Phys. 165
(1994), no. 1, 193–199.
10
[B94b] J. Beck, Braid group action and quantum affine algebras, Comm. Math. Phys., 165 (1994),
no. 3, 555–568.
[BCP] J. Beck, V. Chari, A. Pressley, An algebraic characterization of the affine canonical basis,
Duke Math. J., 99 (1999), no. 3, 455–487.
[BK] J. Beck, V. G. Kac, Finite-dimensional representations of quantum affine algebras at roots
of unity, J. Amer. Math. Soc., 9 (1996), 391–423.
[CP86] V. Chari, A. Pressley, New unitary representations of loop groups, Math. Ann., 275 (1986),
no. 1, 87–104.
[CP91] V. Chari, A. Pressley, Quantum Affine Algebras, Comm. Math. Phys., 142 (1991), 261–
283.
[CP94a] V. Chari, A. Pressley, Small representations of quantum affine algebras, Lett. Math. Phys.,
30 (1994), 131–145.
[CP94b] V. Chari, A. Pressley, A Guide to Quantum Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
[CP95] V. Chari, A. Pressley, Quantum affine algebras and their representations, Amer. Math.
Soc., 16 (1995), 59–78.
[CP97] V. Chari, A. Pressley, Quantum algebras at roots of unity, Represent. Theory., 1 (1997),
280–328.
[DJMM] E. Date, M. Jimbo, K. Miki, T. Miwa, Cyclic Representations of Uq (sl(n + 1, C)) at
q N = 1, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 27 (1991), 366–437.
[DK] C. De Concini, V. G. Kac, Representations of Quantum Groups at Roots of 1, Actes du
Colloque en I’honneur de Jacques Diximier, edited by A. Connes, M. Duflo, A. Joseph and R.
Rentschler (Prog. Math. Birkhauser.), 92 (1990), 471–506.
[D] V. G. Drinfel’d, A new realization of Yangians and quantized affine algebras, Soviet Math.
Dokl., 36 (1988), 212–216.
[FM] E. Frenkel, E. Mukhin, The q-characters at roots of unity, Adv. Math., 171 (2002), no. 1,
139–167.
[G] F. Gavarini, A PBW basis for Lusztig’s form of untwisted affine quantum groups. Comm.
Algebra, 27 (1999), no.2, 903–918.
[J] M. Jimbo, A q-analogue of U (gl(N +1)), Heck algebra and Yang-Baxter equation, Lett. Math.
Phys., 11 (1986), 247–252.
11
[L89] G. Lusztig, Modular representations and quantum groups, Contemp. Math., 82 (1989), 59–
77.
[L90a] G. Lusztig, Finite dimensional Hopf algebras arising from quantized universal enveloping
algebras, J. Amer. Math. Soc., 3 (1990), 257–296.
[L90b] G. Lusztig, Quantum groups at root of 1, Geom. Dedicata, 35 (1990), 89–113.
[L93] G. Lusztig, Introduction to Quantum Groups, Birkh¨auser, Boston, 1993.
[N] T. Nakashima, Irreducible modules of finite dimensional quantum algebras of type A at roots
of unity, J. Math. Phys., 43 (2002), no. 4, 2000–2014.
12