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平成26年11月14日版
回路理論II
２．ラプラス変換
千葉大学工学部
電気電子工学科
橋本研也
[email protected]
http://www.te.chiba-u.jp/~ken
1
ラプラス変換
t0で定義された関数e(t)に対して

E ( s )  L[e(t )]   e(t ) exp( st )dt
0
によりラプラス変換E(s)を定義すると、
1   j
e(t )  L [ E ( s )] 
E ( s ) exp( st )ds

2j   j
が成立し、これをラプラス逆変換と言う。: 定数
-1
線形性
L[a1e1 (t )  a2 e2 (t )]  a1L[e1 (t )]  a2L[e2 (t )]
2
0
t 0

e(t )  
a exp(t ) t  0
e(t)
0
t
t=0
L e (t )  


0
a exp{  ( s   )t}dt

a
 a exp{  ( s   )t} 
 


s 
0 s  

aの時  ステップ関数 u(t) ⇒ L[u(t)]s
0 t  0
u(t )  
1 t  0
u(t)
0
t=0
t
3
0
t 0

e(t )  
a exp(t ) t  0
e(t)
0
t
t=0
L e (t )  

sa
a=, の時  デルタ関数(t) ⇒ L[(t)]
0 t  0
 (t )  
 t  0
e(t)
0
t=0



 (t )dt  1
t
4

 
L t exp(  at ) 
m

0
t m exp{  ( s  a )t}dt

 t exp{  ( s  a )t} 
m
 
 
sa

0 s  a
m

L t m 1 exp(  at )
sa
m




0
t m 1 exp{  ( s  a )t}dt


m!
L t exp(  at ) 
( s  a ) m 1
m
または

Lt
m 1

( m  1)!
exp(  at ) 
(s  a)m
5
 exp( j t )  exp(  j t ) 
L sin(  t )   L 

j
2


1  1
1 



 2


2 j  s  j s  j  s   2
 exp( j t )  exp(  j t ) 
L cos(  t )   L 

2


s
1 1
1 
 

 2

2  s  j s  j  s   2
6
 exp{  (  j )t}  exp{  (  j )t} 
L exp(  t ) sin(  t )   L 

j
2



1 
1
1






2 j  s    j s    j  ( s   ) 2   2
 exp{  (  j )t}  exp{  (  j )t} 
L exp(  t ) cos(  t )   L 

2


s 
1
1
1
 



2  s    j s    j  ( s   ) 2   2
7
コーシー・リーマンの定理
区間[a,b]の範囲にわ
たって関数F(s)を積分
することを考える。この
時、関数値もしくはその
一階微分が不連続な
点を超えない限り、積
分経路をどの様に変更
しても、積分の結果は
変わらない。
Im(s)
b
C3
C1
r
C2
Corg
Re(s)
a
関数値が不連続な点(極): f(x)=1/(x+a)でのx=-a
一階微分が不連続な点(分岐): f(x)=(x+a)0.5でのx=-a8
  j
|s|→∞であるC-上で
1
F ( s )ds の計算

2j   j
exp(  st )
F (s) 
sa
|s|→∞であるC1, C5上で
F(s)=0 (t<0の時)
Im(s)
C5
  j
F ( s )ds  0


 j
F(s)=0 (t>0の時)
C4
同じ範囲を往復する
ので，C2とC4に沿う
積分の和は零
C2
C1
C3
a
Re(s)
Corg
C-
9
参考
s=a+rexp(j)とおけば、ds=jrexp(j)dであるから
F ( s ) ds  j exp(  at ) exp( rt exp( j )) d 
 j exp(  t ) d 
( r  0)
従って、t>0の時
  j
1
1
F ( s ) ds 
F ( s )ds


2j   j
2j C3
2
exp( t )

d

2
0
 exp( t )
Im(s)
C3
a
Re(s)
10
留数定理
Fs=N(sD(sとおく。N(sは正則、D(s、D'(sの時
N ( s )
C F ( s ) ds  j D ' ( s )
 j Res F ( s ) 
s  s
はss付近での回転角
Im(s)
C
s=s
Re(s)
反時計回り一回転は+2
時計回り一回転は-2
11
重根の場合
Fs=N(sD(sとおく。N(sは正則、D(s)(n)0nM-1)、
D(s(M)の時
 N ( M 1) ( s ) 
C F (s)ds  jM  D ( M ) (s ) 
Im(s)
はss付近での回転角
反時計回り一回転は+2
C
s=s
時計回り一回転は-2
Re(s)
12
極が沢山あると e(t ) 
  j
1
E(s) exp(st )ds

2j   j
0
(t  0)

  ResE(s) exp(st ) (t  0)
s  sn(  )

n
Im(s) s()
n
C+
C左半面に極が有
れば，e(t)0 (t<0)
Re(s)
13
極が沢山あると
N0
F (s) 
0
(
s

s
n)

n 1
N

(
s

s
n )

N
An

n 1 s  s n
n 1
N0
Am 
0

(
s

s
 n m)
n 1
N (nm)

n 1
( s n  s m )
左半面にある極のみが対象
14
これより
( s  c)
f ( s) 
(s  a)(s  b)
1
1
 lim f (s)(s  a)
 lim f (s)(s  s)
s  a s b
s b
s  a
ca 1
c b 1


ba s  a a b s b
( s  c)
f ( s) 
( s  a) 2



1
d
2
 lim f (s)(s  a)


f
s
s
a
(
)(
)
lim
2
 ds

s
a
(
)
s  a
s  a
ca
1


2
( s  a) s  a
2

 1
 s  a
15
計算例
(s  4)(s  5)
(s  1)(s  2)(s  3)
(4  1)(5  1) 1
(4  2)(5  2) 1
(4  3)(5  3) 1



(2  1)(3  1) s  1 (1  2)(3  2) s  2 (1  3)(2  3) s  3
6
6
1



s 1 s  2 s  3
(s  3)(s  4)
(s 1)2 (s  2)
d (s  3)(s  4) 
(3 1)(4 1) 1
1 (3  2)(4  2) 1


 

2
(2 1) (s 1) ds  (s  2)  s1 s 1
(1 2)2 s  2
6
1
2



2
(s 1) s 1 s  2
16
時間推移
Le(t  T )   e(t  T ) exp(st )dt

0

  e(t ' ) exp{s(t 'T )}dt'
T
t’=tT
 E (s) exp(sT )
単一パルス
1
0 t  0, t  T
e(t )  
1 0  t  T
e(t)
0
0
T
t
L e (t )   L u (t )   L u (t  T )   s 1{1  exp(  sT )}
17
単波交流パルスの波形
f (t )  sin(  t ){u (t )  u (t  T )}
L  f (t )  

s 
2
2
{1  exp(  sT )}
2
振幅, f(t)
1.5
1
f(t)
0.5
0
-0.5
-1
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
時間, t/T
1.5
2.0
18
g (t )  {1  cos(  t )}{ u (t )  u (t  T )}
s
1

L g (t )     2 2 {1  exp(  sT )}
s s  
2
振幅, f(t)
1.5
g(t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
時間, t/T
1.5
2.0
19
積分演算
 t
t


L  e(t ) dt    e(t ' ) dt ' exp(  st ) dt
  
 0  


1


  s  e(t ' ) dt ' exp(  st )  s  e(t ) exp(  st ) dt
  
 0
0
t
1
1
 s E (s)  s
ランプ波
1

0

e(t ' ) dt '
t
t (t )   u(t )dt
0
0 t  0
t (t )  
t t  0
e(t)
0
t=0
L[t(t)]s
t
20
三角パルス
1
e(t)
0
t  0.t  2T
 0

e(t )   t
0t T
2T  t T  t  2T

0 T 2T
t
L e (t )   L t (t )   2L t (t  T )   L t (t  2T ) 
 s  2 1  2 exp(  sT )  exp(  2 sT ) 
21
微分演算
 de(t )   de(t )
L

exp(st )dt

 dt  0 dt
 e(t ) exp(st )  s  e(t ) exp(st )dt


0
0
 sE(s)  e(0)
 d N e(t )   d N e(t )

exp(st )dt
L
N 
N
0
dt
dt



N 1
d
 d e(t )

e(t )

exp(st )  s 
exp(st )dt

1
N 1
N
0
dt
 dt
0
N 1
n 1
N
 d N 1e(t )  d N 1e(t )
d
e(t )
N
n 1
 sL 

 s E ( s)   s
N 1 
N 1
n 1
22
dt
dt
dt
n 1


t 0
t 0
t=0でSW on
計算例
t>0では
di
L  Ri  E
dt
eR  Ri
であるから
I ( s )  L[i (t )], E R ( s )  L[eR (t )]
を定義すれば
注意！
1
LsI ( s )  i (0)   RI ( s )  E
s
E R ( s )  RI ( s )
を得る。
23
これを解くと
1
E  Li (0)
si (0)  E / L E Ri (0)  E
s
R
 
ER (s)  R
Ls  R
s(s  R / L)
s
sR/L
逆変換を行うと、（t>0)において
e R (t )  L1 E R ( s )   E  {Ri (0)  E } exp(  Rt / L )
24
t=0でSW off
t>0では
di
L  Ri  0
dt
eR  Ri
であるから
LsI ( s )  i (0)   RI ( s )  0
E R ( s )  RI ( s )
を得る。
これを解くと
Li (0)
Ri (0)
ER (s)  R

Ls  R s  R / L
逆変換を行うと、（t>0)において
e R (t )  L1 E R ( s )   Ri (0) exp(  Rt / L )
25
t
1
Ri   idt  E
から
C 
t=0でSW on
eR  Ri
注意！
1
1
I ( s )  Q0   E
RI ( s ) 
Cs
s
E R ( s )  RI ( s )
0
となる。ここで
Q0   idt

これを解くと
逆変換を行うと
1
1
E
Q0
E  Q0 / C
s
Cs

ER (s)  R
1
1
R
s
Cs
CR
e R (t )  L1 E R ( s )   ( E  Q0 / C ) exp( t / CR )
26
t
1
Ri   idt  0
C 
t=0でSW off
から
eR  Ri
1
I ( s )  Q0   0
RI ( s ) 
Cs
E R ( s )  RI ( s )
0
となる。ここで
Q0   idt

これを解くと
1

Q0
 Q0 / C
Cs

ER (s)  R
1
1
R
s
Cs
CR
逆変換を行うと
e R (t )  L1 E R ( s )    (Q0 / C ) exp( t / CR )
27
t
di
1
L  Ri   idt  E
dt
C 
から
eR  Ri
t=0でSW on
注意！
1
1
I ( s )  Q0   E
L[ sI ( s )  i (0)]  RI ( s ) 
Cs
s
E R ( s )  RI ( s )
0
となる。ここで
Q0   idt

これを解くと
1
1
1
si (0)  E 
Li (0)  E 
Q0
L
s
Cs
R
ER (s)  R
1
R
2
Ls  R 
s  s
Cs
L
1
Q0
LC
1
LC
28
1
R
 0 の２根  s1   R  R 2  4 L / C
s  s
とすれば
  
L
LC
2L
 s2 
1
1
si (0)  V 
Q0
L
LC
ER ( s)  R
( s  s1 )( s  s2 )
2
1
1
1
1
s 2 i ( 0)  V 
Q0
s1i (0)  V 
Q0
1
1
L
LC
L
LC
R
R
s1  s2
s  s1
s2  s1
s  s2
逆変換を行うと
eR (t )  L1ER (s)
1
1
1
1
s1i(0)  E 
Q0
s2i(0)  E 
Q0
L
LC exp(s t )  R
L
LC exp(s t )
R
1
2
s1  s2
s2  s1
29
重根の時
s1   R / 2 L とすれば
1
1
si (0)  V 
Q0
L
LC
ER ( s)  R
( s  s1 ) 2
1
1
s1i (0)  V 
Q0
i ( 0)
L
LC
R
R
s  s1
( s  s1 ) 2
逆変換を行うと
eR (t )  L1ER (s)
1
1


 Ri(0) exp(s1t )  Rs1i(0)  V 
Q0 t exp(s1t )
L
LC 

30
t=0でSW on
別解法
q
di
L  Ri   E
から
C
dt
dq
i
dt
 0 
dx (t )

 Hx (t )  
dt
V / L 
ここで
q
 0
x (t)    H  
i
  1 / LC
xt (t )  x (t )  x ()
dxt (t )
 Hxt (t )
dt
1 

 R / L
 0 
 とすれば
x ()   H 
V / L 
1
31
ラプラス変換は sX t ( s )  xt (0)  HX t ( s )
[H  sI ] X t ( s )   xt (0)
ここで、Iは単位行列
行列Hはその固有値snを対角要素とするベクトルS
と固有ベクトルAにより、H=ASA-1と表現できる。
H  sI  AS  sIA 1 から X t ( s )  AsI  S1 A 1 xt (0)
xt (t )  L X t ( s )  AL
1
1
sI  S A
1
1
xt (0)  AE(t ) A 1 xt (0)
x (t )  xt (t )  x ()  AE(t ) A 1 x (0)  x ()  x ()
ここで、E(t)はexp(snt)を要素とする対角行列
32
 0
H  
  1 / LC
1 

 R / L
固有値sn
 s1   R  R 2  4 L / C
  
2L
 s2 
固有ベクトルA
1
A  
 s1
1

s2 
0  1 1 
 1 1  exp(s1t )



AE(t )A  
exp(s2t )  s1 s2 
 s1 s2  0
exp(s2t )  s2 1
1  exp(s1t )




s2  s1  s1 exp(s1t ) s2 exp(s2t )   s1 1 
1
1
 exp(s1t )  exp(s2t ) 
1  s2 exp(s1t )  s1 exp(s2t )



s2  s1  s1s2{exp(s1t )  exp(s2t )}  s1 exp(s1t )  s2 exp(s332t ) 
1


L
e
(
a
t
)

a
E (s / a)
スケーリング ⇒
単一パルスの例
1
0 t  0, t  aT
e(t )  
1 0  t  aT
e(t)
0
0
aT
t
L e (t )   s 1{1  exp(  asT )}
 a ( as ) 1{1  exp(  asT )}
34
スケール則
Le(at)   e(at) exp(st )dt

0
a
1


0
e(t ' ) exp(a 1sat' )dt'
t’=at
 a 1E (a 1s)
1   j
E (as) exp(st )ds
L E (as) 




j
2j
  j
1 1
1
a
E (s' ) exp(s' a t )ds'



j

2j
-1
s’=as
 a 1e(a 1t )
35
初期値定理
e(0)  lim sE ( s )
s 
sE ( s )  e(t ) exp( st )  

0

0
e ( 0) @ s  
de(t )
exp( st )dt
dt
0 @s
最終値定理
e()  lim sE ( s )
s0
sE ( s )  e(t ) exp( st )  

0
e ( 0) @ s  

0
de(t )
exp( st )dt
dt
e (  )  e ( 0) @ s  0
36
畳み込み積分
Le(t ) f (t )   e(t ) f (t ) exp(st )dt

0

1   j

E (s' ) f (t ) exp{(s  s' )t}dtds'

0
2j   j
1   j

E (s' ) F (s  s' )ds'

2j   j

1   j
L E (s) F (s) 
E (s) f (t ' ) exp(st ' )dt' exp(st )ds

0
2j   j
1


0
 1   j

f (t ' )
E (s) exp{s(t  t ' )}ds dt'

 2j   j


  f (t ' )e(t  t ' )dt'
0
37