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数学 A2 §9 偏微分と全微分 演習問題
演習の進め方：以下の問題を解き, 裏面の解答例を見て答え合わせをすること. 赤ペンなどを用
い, 正解ならば○, 誤りは×をつけたうえで訂正せよ. 解答例を見ても分からない個所や, 質問
があれば⃝
? のマークを付けて, 不明な点をできるだけ明確にすること.
ウォーム・アップ 問題 1. 2 変数関数 z = 3x2 y に対し, 次の第 2 次導関数を求めよ (両者は一致するはずである).
(1) zxy
(2) zyx
課題 問題 2. 2 変数関数 z = e3x+2y について, zx と zy を求めよ.
問題 3. 2 変数関数 z = x2 − xy + 2y 2 の全微分を求めよ.
問題 4. 2 変数関数 z = x4 + 4x2 y 2 − 3y 4 の第 2 次導関数をすべて求めよ.
問題 5. 2 変数関数 z = (2x − y + 1)5 について, zx , zy を求めよ.
√
問題 6. 2 変数関数 z = (x + y 2 ) x2 + y 2 について, zx , zy を求めよ.
問題 7. 2 変数関数 z =
2x + y
について, zx , zy を求めよ.
x − 2y
2y 2 3x
−
の全微分を求めよ.
x
2y
√
問題 9. 2 変数関数 z = x y の全微分を求めよ.
問題 8. 2 変数関数 z =
問題 10. 2 変数関数 z = sin 3x cos 2y の第 2 次導関数をすべて求めよ.
追加課題 提出すれば答案は添削する1.
問題 11. 3.023 × 5.982 の近似値を有効数字 3 桁で求めよ.
2.024
の近似値を有効数字 3 桁で求めよ.
1.973
√
l
問題 13. T = 2π
とする. l, g がそれぞれ ∆l, ∆g 変化するとき, T の変化を ∆T とすると, 近似
g )
(
∆T
1 ∆l ∆g
式
≒
−
が成り立つことを証明せよ.
T
2
l
g
問題 12.
1解答例の公開
(約 2 週間) → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/
解 1.
(1) zx = 3y(x2 )x = 6xy より, zxy = (zx )y = (6xy)y = 6x.
(2) zy = 3x2 (y)y = 3x2 より, zyx = (zy )x = (3x2 )x = 6x.
解 2. u = 3x + 2y とおくと, z = eu , ux = 3, uy = 2 より,
zx = (eu )′ ux = eu · 3 = 3e3x+2y ,
zy = (eu )′ uy = eu · 2 = 2e3x+2y
解 3. zx = 2x − y, zy = −x + 4y より, dz = (2x − y)dx + (−x + 4y)dy.
解 4. zx = 4x3 + 8xy 2 , zy = 8x2 y − 12y 3 より,
zxx = 12x2 + 8y 2 ,
zxy = zyx = 16xy,
zyy = 8x2 − 36y 2
解 5. u = 2x − y + 1 とおくと, z = u5 , ux = 2, uy = −1.
zx = (u5 )′ ux = 5u4 · 2 = 10(2x − y + 1)4 , zy = (u5 )′ uy = 5u4 (−1) = −5(2x − y + 1)4
√
√
1
解 6. まず, x2 + y 2 = u とおくと x2 + y 2 = u = u 2 . ゆえに
√
1
1 1
x
( x2 + y 2 )x = (u 2 )′ ux = u− 2 (2x) = √
2
2
x + y2
√
1
1 1
y
( x2 + y 2 )y = (u 2 )′ uy = u− 2 (2y) = √
2
x2 + y 2
である. ゆえに
√
√
√
(x + y 2 )x
x2 + y 2 + (x + y 2 )( x2 + y 2 )x = x2 + y 2 + √
x2 + y 2
2x2 + xy 2 + y 2
√
=
x2 + y 2
√
√
√
(x + y 2 )y
= (x + y 2 )y x2 + y 2 + (x + y 2 )( x2 + y 2 )y = 2y x2 + y 2 + √
x2 + y 2
y(2x2 + x + 3y 2 )
√
=
x2 + y 2
zx = (x + y 2 )x
zy
解 7.
(
zx =
=
zy =
=
)
2x + y
(2x + y)x (x − 2y) − (2x + y)(x − 2y)x
2(x − 2y) − (2x + y)
=
=
2
x − 2y x
(x − 2y)
(x − 2y)2
5y
−
(x − 2y)2
(
)
2x + y
(2x + y)y (x − 2y) − (2x + y)(x − 2y)y
(x − 2y) + 2(2x + y)
=
=
x − 2y y
(x − 2y)2
(x − 2y)2
5x
(x − 2y)2
3
3
2y 2 3
3
4y 3x
解 8. z = 2x−1 y 2 − xy −1 である. zx = −2x−2 y 2 − y −1 = − 2 − , zy = 4x−1 y+ xy −2 =
+
2 )
2
x
2y
2
x 2y 2
(
)
(
2y 2
3
3x
4y
より dz = − 2 −
+ 2 dy.
dx +
x
2y
x
2y
1
1
解 9. z = xy 2 である. zx = y 2 =
1
x
x
1
√
√
y, zy = xy − 2 = √ より, dz = ydx + √ dy.
2
2 y
2 y
解 10. zx = 3 cos 3x cos 2y, zy = −2 sin 3x sin 2y より,
zxx = −9 sin 3x cos 2y, zxy = zyx = −6 cos 3x sin 2y, zyy = −4 sin 3x cos 2y