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実効増倍率の核データに起因する不確かさの定量化の基礎
千葉豪
平成 26 年 3 月 16 日
実効増倍率の計算値は用いる核データに依存する。核データというものは、真値ではなく、あ
くまで「評価値」であるため、不確かさが伴う。核データが不確かであるならば、それに基づい
て決まる実効増倍率も不確かであり、実効増倍率計算値にも不確かさが伴うことになる。本稿は、
核データの不確かさにより、実効増倍率計算値の不確かさがどの程度の値となるか、定量的に評
価する方法について説明する。
核データの不確かさ、分散、共分散
1
核データには不確かさが伴うことから、評価値を期待値とした確率変数と考えることができる
であろう。そこで、核データ i の評価値を σ
¯i と書くこととする。p(σi ) を、核データ i の真値が σi
である確率と考えると、核データ i の評価値（期待値）は以下のように書ける。
Z
σ
¯i = σi p(σi )dσi
(1)
また、p(σi ) の分布の広がりを示す核データ i の分散 Vσi は以下の式で書ける。
Z
Vσi = (σi − σ
¯i )2 p(σi )dσi
(2)
なお、分散の平方根は標準偏差となる。
確率変数を連続で考えるとイメージがつきにくい場合があるため、次は標本ベースで考えるこ
ととする。
j
核データ i について J 回の測定を行ったとし、j 回目の測定データを σi とする。さて、J 個の
j
測定データ σi があるとき、σi の推定をどのように行うだろうか。おそらく、次のように平均をと
るであろう。
J
X
σij
j=1
=σ
¯i
(3)
J
式に書いてあるように、これがそのまま核データ i の期待値となり、この式は連続型の式 (1) に対
応する。一方、核データ i の分布の広がりはどう書けるであろうか。おそらく次の式を用いるもの
と思う。
J 2
X
σij − σ
¯i
j=1
= Vσ i
(4)
J −1
式に書いてあるように、これがそのまま分散となり、この式は連続型の式 (2) に対応する1 。
分母の J − 1 は自由度に対応する。ここで用いている期待値 σ
¯i は真の期待値ではなく標本から求められたもの（標
本平均）であるため、自由度、すなわち標本 σij のうち自由に動ける変数の数は J − 1 となる。
1
1
さて、次はふたつの異なる核データ i と i0 を同時に考えてみよう。これらの核データについて J
j
j
回の測定を行ったとし、j 回目の測定データのペアを (σi , σi0 ) とする。このデータに対して、以下
のような統計量を定義する。
J X
σij − σ
¯i σij0 − σ
¯i0
j=1
(5)
J −1
核データ i と i0 に強い関係性があるとし、σi が大き目のときは σi0 は大きめ、σi が小さめのとき
j
は σi0 は小さめとなるとする。この場合、上記の統計量はおそらく正の値となるだろう。一方、同
j
j
j
j
じように強い関係性があるとしても、σi が大き目のときは σi0 は小さめ、σi が小さめのときは σi0
は大きめとなるとするとどうだろうか。この場合、上記の統計量は負の値となるだろう。
実は、式 (5) で示した統計量は共分散と呼ばれるものである。なお、i = i0 であれば、核データ
i の分散となる。
j
j
j
前述のように、共分散はふたつのパラメータの不確かさの関係性の強さを示す。I 個の核データを
考えた場合、核データ i と i0 の共分散を cov(σi , σi0 ) と書くこととする（「cov」は共分散 Covariance
の略）。なお、i = i0 の場合は分散となるため、
(6)
cov(σi , σi ) = Vσi
とも書ける。
ここで、すべての核データに対する共分散行列 V を以下のように定義する。


cov(σ1 , σ1 ) cov(σ1 , σ2 ) · · · cov(σ1 , σI )


 cov(σ2 , σ1 ) cov(σ2 , σ2 ) · · · cov(σ2 , σI ) 


V=
..
..
..
..

.
.
.
.


cov(σI , σ1 ) cov(σI , σ2 ) · · · cov(σI , σI )
(7)
この例から明らかなように、核データの共分散行列のサイズは核データの数（ここでは I ）とな
る。考えている核データが核種数 N 、反応数 X 、エネルギー群数 G のものであるとするならば
I = N × X × G となる。
また、ふたつの核データ間の関係性の強さを示す別の指標として、核データ i と i0 の相関係数
を以下のように定義できる。
cov(σi , σi0 )
corr(σi , σi0 ) =
(8)
∆σi ∆σi0
ここで、∆σi は核データ i の標準偏差を示す。なお、同一の核データ i 間の相関係数 corr(σi , σi )
は、
cov(σi , σi )
Vσ
corr(σi , σi ) =
= i =1
(9)
∆σi ∆σi
V σi
となる。
見方を変えれば、共分散は以下のようにパラメータの標準偏差と相関係数から定義できると言
うこともできるであろう。
cov(σi , σi0 ) = ∆σi ∆σi0 corr(σi , σi0 )
(10)
共分散行列 V と同様に、相関行列 C も以下のように定義できる。

corr(σ1 , σ1 ) corr(σ1 , σ2 ) · · · corr(σ1 , σI )

 corr(σ2 , σ1 ) corr(σ2 , σ2 ) · · · corr(σ2 , σI )
C=
..
..
..
..

.
.
.
.

corr(σI , σ1 ) corr(σI , σ2 ) · · ·
2
corr(σI , σI )






(11)
前述のように、この行列の対角成分は必ず 1.0 となる。
相関係数は-1 から+1 の範囲の値をとり、0 の場合にはふたつのパラメータ間にまったく関係性
がないことを意味する。また、+1 の場合には強い正の相関、-1 の場合には強い負の相関があると
言える。
Fig. 1 に U-235、U-238、Pu-239 の捕獲断面積の標準偏差と相関係数行列を例として示す（LANL
の Dr.Kawano の資料より抜粋）。
Fig. 1: 捕獲断面積の標準偏差と相関係数行列
2
核データから実効増倍率への不確かさの伝播
次に、核データの不確かさが実効増倍率 k に対してどのように伝播していくかを、文献 [1] を参
考に述べる。
核データを確率変数と見なした場合、核データから決まるある系の実効増倍率 k も同様に確率
¯ と書ける。さて、これまでと同じように、全ての核データについて
変数となり、その期待値は k
j
j
J 回の測定を行い、(σ1 , σ2 , ..., σIj ) というデータが J 個得られたとする。この j 個の核データセッ
¯ は以下のように
トそれぞれについて k が計算されるので、それを k j と書く。この場合、期待値 k
書けるであろう。
J
X
kj
k¯ =
j=1
(12)
J
また、k に対する分散も以下のように書けるであろう。
J
X
Vk =
k j − k¯
j=1
J −1
3
2
(13)
¯ に対する差は、一次近似のもとでは以下のように記述できる。
さて、k j の k
k j − k¯ =
X ∂k i
∂σi
σij − σ
¯i
(14)
これを式 (13) に代入すると、以下の式を得る。


J XX
X
∂k ∂k
Vk = 
σij − σ
¯i σij0 − σ
¯i0  /(J − 1)
0
∂σ
∂σ
i
i
0
j=1 i i


J XX ∂k ∂k X

¯i0  /(J − 1)
σij − σ
¯i σij0 − σ
=
0
∂σ
∂σ
i
i
0
i
=
i
j=1
XX ∂k ∂k
cov (σi , σi0 )
∂σi ∂σi0
0
i
(15)
(16)
i
∂k
は k の σi に対する感度に他ならないため、k の分散は、核データの共分散と感度係数から計
∂σi
算出来ることが分かる。
核データを核種 n、反応 x、エネルギー群 g で記述し、感度係数を S と書くと、Vk は以下の式
で計算されることになる。
Vk =
X X
Sn,x,g Sn0 ,x0 ,g0 cov σn,x,g , σn0 ,x0 ,g0
(17)
n,x,g n0 ,x0 ,g 0
例えば、U-235 と Pu-239 からなる原子炉を考え、核分裂中性子の発生数に対する各々の核種
の寄与は同程度であるとする。U-235 と Pu-239 の核分裂あたりの中性子発生数 ν がそれぞれ
1%の不確かさを持っているとすると、k の不確かさはどの程度になるであろうか？これは、
U-235 と Pu-239 の ν の間の関係性の強さ（相関）に依存する。例えば、この相関が 1.0 であ
るとするならば、U-235 の ν が大きくなるならば Pu-239 の ν も大きくなるはずなので、k の
不確かさは 1%となると考えられる。逆に、相関が-1.0 であれば、U-235 の ν が大きくなるな
らば Pu-239 の ν は小さくなるはずなので、両者が相殺しあい、k の不確かさはゼロとなると
考えられる。この例について、共分散行列と感度係数を実際に作成し、相関が-1、0、+1 の場
合の k の不確かさを式 (17) を用いて評価してみるとよいであろう。
上の例のように、二種類の核データ σ1 、σ2 に不確かさが存在するとして、その不確かさが k に
及ぼす影響を考えよう。式 (17) より、k の分散 Vk は次のように書けるであろう。
Vk =
2 X
2
X
Sn Sn0 cov (σn , σn0 ) = S12 Vσ1 + S22 Vσ2 + 2S1 S2 cov (σ1 , σ2 )
(18)
n=1n0 =1
つまり、Vk は３つの項に分解することが出来ることが分かる。ここで、右辺一項目は σ1 の不確か
さに起因する項であり、二項目は σ2 の不確かさに起因する項である。感度 Sn は二乗されており、
また分散 Vσn は正であるため、これらの項は正の値をとることが分かるであろう。一方、右辺三
項目は σ1 と σ2 の相関項であるが、感度、共分散ともに負の値をとりうるため、この項は場合に
応じて正負の値をとることになる。
4
0
次に、二つの異なる系の実効増倍率
k j 、k j に対する誤差伝播を考える。それぞれの不確かさ
j0 j0 j
j
∆k /k 、 ∆k /k
は式 (17) を用いて計算することが出来るが、この両者に関係性は無いで
0
あろうか？すなわち、k j と k j の共分散はどうなるであろうか？そのような計算を行いたい場合は
次の式を用いる。
0
cov(k j , k j ) =
X X
j0
j
k
Sn,x,g
Snk0 ,x0 ,g0 cov(σn,x,g , σn0 ,x0 ,g0 )
(19)
n,x,g n0 ,x0 ,g 0
j = j 0 の場合、この式は k j に対する分散の式に一致する。
今、考えている系が J ある（J 個の実効増倍率に着目している）とする。この場合、k j に対す
る共分散行列が定義でき、そのサイズは J となる。
U-235 と Pu-239 からなる原子炉 A、B を二つ考え、U-235 の核分裂中性子発生数に対する寄与
がそれぞれ 50%と 20%であるとする（残りは Pu-239 が寄与すると考える）。U-235 と Pu-239
の核分裂あたりの中性子発生数 ν にそれぞれ 1%、2%の不確かさがあるとすると、A、B の実
効増倍率 k A 、k B の不確かさはどの程度となるか。また、k A と k B の不確かさの相関はどの
程度となるか。なお、U-235 と Pu-239 の ν は独立（相関が無いもの）とする。
さて、k に対するパラメータ pi の感度係数を Si と書いた場合、パラメータ pi の不確かさに起因
する k の不確かさは以下のように計算できる。
Vk =
XX
i
Si Si0 cov (pi , pi0 )
(20)
i0
ここで、感度係数ベクトル s を以下のように定義する。
sT = (S1 S2 · · · SI )
(21)
ここで肩添字の T は転置を意味する。これを用いると、式 (20) は次のように書き直せる。
Vk = sT Vp s
(22)
0
また、k j と k j に対する共分散は以下の式で計算できる。
0
T
cov(k j , k j ) = sj Vp sj
0
(23)
ここで、sj は k j に対する感度係数ベクトルである。
さらに感度係数行列 S を以下のように定義する。
S = s1 s2 · · · sJ
(24)
この場合、k j に対する共分散行列 Vk は以下のように得られる。
Vk = ST Vp S
5
(25)
核データに対する共分散の与えられ方
3
中性子輸送方程式に必要となる核データは、評価済み核データファイルと呼ばれる一種のデータ
ベースに収納される。評価済み核データファイルとしては、米国で開発されている ENDF/B（最
新版は Version VII.1）、欧州で開発されている JEFF（最新版は Version 3.1.2）、日本で開発され
ている JENDL（最新版は Version 4.0）が挙げられる。
核データの値に加えて、その不確かさ（共分散）の情報も重要な核種に対しては評価済み核デー
タファイルに与えられているため、核データの不確かさの実効増倍率などの原子炉パラメータへ
の誤差伝播計算はそれらを用いて行うことが出来る。
評価済み核データファイルに与えられている核データは連続エネルギーで与えられており、ま
た断面積の共鳴構造は共鳴パラメータと呼ばれる特殊なパラメータで与えられる。一方、中性子
輸送方程式を数値的に解く場合、核データをエネルギーに対して離散化する必要があるため、評
価済み核データファイルに与えられている核データを中性子輸送計算にそのまま用いることはで
きない。そのため、中性子輸送計算に適した形式（多群形式）に評価済み核データを変換する必要
がある。このような手続きを「核データの処理」と呼んでおり、CBZ では米国ロスアラモス国立
研究所（Los Alamos National Laboratry, LANL）で開発された NJOY-99 コードを用いている。
また、CBZ で用いる多群の断面積セット（評価済み核データファイルを処理したあとのもの）は
CBZLIB と呼んでいる。
核データの共分散についても同じことが言え、数値計算に用いるために処理（多群化）を行う
必要がある。共分散データの処理についても前述の NJOY-99 コードを用いる2 。
参考文献
[1] 山本章夫、「不確かさ評価の基礎」、第 44 回炉物理夏期セミナーテキスト、(2012).
[2] 東京大学教養学部統計学教室編、「基礎統計学 I 統計学入門」、東京大学出版会、(2012).
2
実際には、NJOY-99 が採用している共分散処理モジュール ERRORR は日本で開発された ERRORJ コードが母
体となっており、ERRORJ の NJOY-99 への組み込み作業は千葉が LANL に短期滞在して行った。ただし、ERRORJ
コードは NJOY-99 のモジュールが基になって作成されたものである。
6