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［構造力学］
演習
はじめに
馬鹿のひとつ覚えのように繰り返せば、誰でも大抵のことはできるよう
になる！
構造力学が苦手というデザイン系の学生は多いですが、1 回読んで分か
らなくても、2 回、3 回と解きながら読めば必ずわかってきますし、覚
えてきます。「数げいこ」とは基本動作を数多く行って体に覚えさせる
けいこで、武道でよく行われています。学問は頭を使うので、体で覚え
るスポーツとは違うと言う人もいますが、私が思うにまったく一緒です。
本書は構造力学の基本演習書ですが建築士の過去問題をベースとしてい
ます。建築の学生なら 2 級建築士や 1 級建築士はそのうち受けるだろう
し、過去問なら将来の受験時に役立つだろうというモチベーションにも
つながります。難易度は、「やさしい」が 2 級建築士程度、「普通」「難
しい」は 1 級建築士程度の問題です。実際に出題された過去問をアレン
ジしていますが、適宜、基本問題も追加しています。
たわみとたわみ角、不静定ラーメンの曲げモーメント、座屈、全塑性モ
ーメント、崩壊荷重などの学生から難しいとよく言われるところには、
頁を多く割いて、イラストを多く使って説明しています。公式は適宜、
繰り返し表示しています。巻末に構造力学の重要な公式を集め、暗記し
やすいようにレイアウトしてあります。
1 級を受ける人も、やさしい→普通と順々に解いてください。そして必
ず紙の上で鉛筆と消しゴムを使って解いてください。数式は読んで難し
いと感じても、紙の上でゆっくりと自分で書くと、案外簡単に理解でき
るものです。面倒がらずに紙の上に書くことをおすすめします。
演習問題の解法の説明では、理屈の部分をなるべく絵にするように努力
しました。多くのイラストで構造力学を感覚的に理解できるようにして
います。POINT の囲みで問題の解き方の要点を、スーパー記憶術で公
式の暗記の仕方を随時書いておきました。退屈を和らげるように、ゼロ
からはじめるシリーズ共通の漫画を付けました。高ピーなツッコミ役の
肉食系女子ミキと、自信なげなボケ役の草食系男子アキラのふたりです。
ふざけていると御批判もたまに受けますが、漫画的なデフォルメとして
お許しください。
装丁＝早瀬芳文
装画＝内山良治
本文フォーマットデザイン＝鈴木陽子
そもそもゼロからはじめるシリーズは、筆者が教えている学生たちに漫
画付きの解説をブログ（http://plaza.rakuten.co.jp/haraguti/）に毎日
アップしたのが始まりです。漫画でも付けないと、学生たちは読んでく
れません。ブログ読者から、あの記事は間違いではないかとか、そうで
◇
3
はなくてこうではないかとのご指摘も何度かいただきました。またイラ
ストがよく描けているとの励ましも何度もいただきました。そんなブロ
グ記事を集めて加筆修正して本にすることを繰り返していたら、本書で
シリーズ 10 冊目となりました。
も　く　じ　CONTENTS
多くの拙著が中国、台湾、韓国で翻訳されています。イラスト、漫画を
全頁に付けているのがアジア圏で受けているのかもしれません。ただイ
ラスト、漫画を大量に起こす作業は大変で、根気のいる作業です。読者
の方や学生たち、ブログ読者や編集さんからのプレッシャーがなければ、
とっくの昔にやめていたと思います。
偶力…10　分布荷重…12　モーメントのつり合い…14　x、y、M のつ
り合い…16
構造力学の基本について、各頁で繰り返し解説していますが、ベクトル、
モーメント、応力、応力度がまるでわからないという方は、拙著『マン
ガでわかる構造力学』を併読することを強くおすすめします。また構造
一般のことはゼロからわかるシリーズ既刊『建築の［構造］入門』を、
構造力学の公式の導入や微積分、微分方程式の意味など、一歩進んだ内
容については『構造力学スーパー解法術』を、各構造や構法については
『［木造建築］入門』
『［RC 造建築］入門』
『［S 造建築］入門』をぜひご
参照ください。次回予定の「［RC 造＋ S 造］構造演習」もお楽しみに。
本書を書くにあたって、ご助言をいただいた多くの専門家の方々、ブロ
グ読者の方々、参考にさせていただいた専門書の著者の方々、また素朴
な質問を数多くぶつけてくれた学生たち、面倒な編集作業をしてくれた
彰国社編集部の尾関恵氏、企画の段階からご助力いただいた中神和彦氏
に、この場を借りてお礼申し上げます。本当にありがとうございました。
2014 年 7 月
構力は
ミキちゃんに
まかせる！
原口秀昭
はじめに…3
演習をはじめる前に（力と符号）
…8
1　モーメント
2　支点反力
単純梁の反力…20　片持ち梁の反力…26　片持ち柱の反力…28　門形静
定ラーメンの反力…30　３ヒンジラーメンの反力…32
3　トラス
節点法…36　切断法…40
4　単純梁の応力
中央に集中荷重のかかる単純梁の M 図…48　等分布荷重のかかる単純
梁の M 図…50　集中荷重、等分布荷重のかかる単純梁の M 図の比較…
52　非対称荷重のかかる単純梁の M 図…54　中央に集中荷重のかかる
単純梁の Q 図…56　集中荷重のかかる単純梁の M 図と Q 図…58　モー
メント荷重のかかる単純梁の M 図と Q 図…60　等分布荷重のかかる単
純梁の M 図と Q 図…62　等分布荷重と集中荷重が同時にかかる単純梁
の M 図…64　はね出しのある単純梁の M 図…66
5　片持ち梁の応力
集中荷重のかかる片持ち梁の M 図と Q 図…68　等分布荷重のかかる片
持ち梁の M 図と Q 図…70　等変分布荷重のかかる片持ち柱の M 図と
Q 図…72　不整形片持ち柱の M 図…74
6　静定ラーメンの応力
あきらめるな！
アキラ
門形静定ラーメンの Q 図…76　山形静定ラーメンの M 図…80　不整形
片持ち柱の M 図…82　門形静定ラーメンの M 図…86
7　不静定ラーメンの応力
門形不静定ラーメンの M 図…92　上部３角形がトラスの不静定ラーメ
ンの M 図…96　２スパン中央沈下ラーメンの M 図…98　２層不静定ラ
ーメンの M 図…100　T 形不静定ラーメンの M 図…114　8　力と変形
σ＝Eε…116
９　断面
断面１次モーメントと図心…122　断面２次モーメント I…124
◇
4
◇
5
10　応力度
中央集中荷重の曲げ応力度σb…130　中央集中荷重のせん断応力度τ…
132　曲げ応力度≦許容曲げ応力度…134　断面係数 Z…138　柱の垂直
応力度…142　柱のせん断応力度…150　集中荷重のかかる単純梁の曲げ
応力度…152
11　たわみとたわみ角
等分布荷重のかかる単純梁のたわみδとたわみ角θ…154　等分布荷重
のかかる２つの梁のたわみδ その１…156　集中荷重のかかる２つの
梁のたわみδ…158　モーメント荷重のかかる片持ち梁のたわみδ…164　モーメント荷重のかかる片持ち梁のたわみ角θ…166　等分布荷重のか
かる２つの梁のたわみδ その２…170
19　たわみ角法
剛度 K と剛比 k…290　剛比 k によるモーメントの分割…292　十字形
不静定ラーメンの有効剛比 ke…296　L 形不静定ラーメンをたわみ角法
で解く…302　門形不静定ラーメンをたわみ角法で解く…308
20　固定モーメント法
L 形不静定ラーメンを固定モーメント法で解く…316　門形不静定ラー
メンを固定モーメント法で解く…322
21　公式集
公式集…324
12　たわみとたわみ角で解く不静定構造物
単純梁のたわみδで連続梁を解く…172　片持ち梁のたわみδで一端固
定他端移動の梁を解く…174　片持ち梁のたわみδで両端固定＋中間ヒ
ンジ梁を解く…176
13　変位で解く柱の外力
柱の外力 P とたわみδの関係式…178　水平荷重がかかる２本柱の柱脚
の曲げ応力度…188　ラーメンの変位δと水平剛性 K…190
14　固有周期
集中質量柱の固有周期 T…196　門形ラーメンの固有周期 T…200　加
速度応答スペクトル…204
15　座屈
座屈荷重 P k の式…208　座屈荷重 P k の比較…210
16　全塑性モーメント
長方形断面の全塑性モーメント…226　H 形断面の全塑性モーメント…
228　T 形断面の中立軸…236　塑性断面係数 ZP…240　水平荷重のかか
る柱底面の全塑性モーメント…242　全塑性時の N と M…244　水平・
垂直荷重のかかる柱底面の全塑性モーメント…248　RC 梁の終局曲げ
モーメント…252
17　崩壊荷重
崩壊メカニズム…256　梁の崩壊荷重 Pu…258　門形ラーメンの崩壊荷
重 Pu…268　２スパンラーメンの崩壊荷重 Pu…278　２層ラーメンの崩
壊荷重 Pu…282
18　判別式
判別式…286
◇
6
◇
7
Q
check
節点法　その２（片持ち３角形トラス）
▲
★★R015
図のような荷重を受ける静定ト
ラスにおいて、部材 A、B、C に
生じる軸 方 向 力 NA、NB、NC を
求めよ。
3m
3m
A 6kN
A 6kN
9
15
9
12
15D
節点の○を
節点の○を
引っ張っている。
引っ張っている。
引張りは⊕
引張りは⊕
D
難しい
15kN（引張り）
12kN
15kN（引張り）
12kN 節点の○を
節点の○を
∴N
A＝15kN
節点の○を
－9kN引っ張っている。
∴NA＝15kN
引っ張っている。
－9kN 引っ張っている。
（圧縮）
C 6kN
12
B
C 6kN
B
3m
15
15 15
A 6kNA A6kN
引張りは⊕
引張りは⊕
節点の○を
（圧縮）
9
引張りは⊕
6kN
9 9D
3m
D 節点の○を押して
3m3m
D 節点の○を押して
4m
4m
引っ張っている。
4m
4m
いる。
圧縮は⊖
15
15kN（引張り）
節点の○を
（引張り）
15kN
A 6kN
12 9 12 12
引張りは⊕
いる。圧縮は⊖
（引張り）
15kN
12kN
12kN
節点の○を
C 6kN C 6kN
D
3m
B
B
12kN
引っ張っている。
C 6kN
B
3m
3m3m
∴NA＝15kN
∴N
A＝15kN引っ張っている。
5 ∴N
＝15kN
A引張りは⊕
－9kN
5
－9kN
3
（引張り）
15kN
1
5
－9kN
3
12
Σx＝0：HD＋HE＝0（→⊕）
……
（1）
5
引張りは⊕
12kN
（圧縮）
（圧縮）
3
C
6kN
B D＋HE＝0
4 1
節点の数が少ないので、各節点のつり合いで解きます。
（圧縮）
4 3
（→⊕）
……
（1）
3mΣx＝0：H
∴N ＝10kN
∴N
節点の○を押して
3
4 A＝15kN C
節点の○を押して
③部材数の少ない、右下の節点
G
での
4
4m
4m
∴NC＝10kN
節点の○を押して －9kN
4m
（
↑⊕）
Σy＝0：V
3 10kN
D－6－6＝0
4m 4m
4m
6kN
いる。
圧縮は⊖
いる。
圧縮は⊖
10kN
（圧縮）
（↑⊕）
Σy＝0：VD－6－6＝0
5
つり合いを考えます。
節点の○を
節点の○を
HE
6kN いる。圧縮は⊖
?
6×　＝10
節点の○を
①全体のつり合いから、支点反力を求めます。
∴V
＝12kN
（↑）
5
D
3 6×　引っ張っている。
H
節点の○を押して
6kN
?
＝10
EE
下図より、N
（
⊕） 5 6 6引っ張っている。
4m ∴V4m
（↑）
D＝12kN
C ＝ 10kN
3
引っ張っている。
6kN
－8kN
5
E
いる。圧縮は⊖ 5
引張りは⊕
5
53
引張りは⊕
点
D
における
－8kN
節点の○を
1
3
1
3
5
F
引張りは⊕
3
Σx＝0：H
＝0
（
→⊕）
……
（1）
3
D＋H
ED
Σx＝0：H
＋H
（
→⊕）
……
（1）
1
4
D
E＝0
点
における
3
?
Σx＝0：HED×6＋6×4＋6×8＝0
＋HE＝0（→⊕）
……
（1）
F6kN
6×　4 ＝8 4
4
4
引っ張っている。
4
（　⊕）
ΣM＝0：H
G?
3
∴N
＝10kN
C
4
∴N∴N
C＝10kN
4
3
36×　5 ＝8
6kN
C＝10kN
（　⊕）
ΣM＝0：H
E×6＋6×4＋6×8＝0
G
3 33 10kN 引張りは⊕
5 10kN
D
（
↑⊕）
Σy＝0：V
1
D－6－6＝0
（（
↑⊕）
Σy＝0：V
D－6－6＝0
部材と
＝－12kN
（←）
……
（2）
∴H
3
10kN
E
6kN
6kN
ベクトルの和が
Σx＝0：H
＋H
＝0
→⊕）
……
（1）
－6－6＝0
（
↑⊕）
Σy＝0：V
D
E
D
D
節点の○を押して
5
6kN
5
部材と
（←）
……
（2）
∴H
HE
G
E＝－12kN
HEHHDE HD
4
?
4 6×　＝10
ベクトルの和が
6×　＝10
5
? ?
同じ角度
∴V
（↑）
D＝12kN
∴V∴V
＝12kN
ゼロになる
D
6×　＝10節点の○を押して
3 3いる。
G （2）を
圧縮は⊖ ∴NC＝10kN
63 6
6kN
（↑）
（1）
に代入して、
H（↑）
＝12kN
（→）
D＝12kN
同じ角度 6 ゼロになる
E
3
E6kN
3
10kN
（D↑⊕）
Σy＝0：V
いる。
圧縮は⊖
E VD VD6kN
D－6－6＝0
（2）
を
（1）
に代入して、
H
（→）
ようにする －8kN －8kN
D＝12kN
6kN
－8kN
点 D における
点D
5
ようにする
HE F
F F
点における
D における ∴VD＝12kN
?
6×　＝10
4
4
（↑）
?
? ?
6 ＝8
6×　＝86×　4 3
6kN 6kNΣM＝0：H
6kN
（　⊕）
E
E×6＋6×4＋6×8＝0
×6＋6×4＋6×8＝0
（　⊕）
ΣM＝0：H
G
3
E12kN
引張り
G G
6×　＝8
3
6kN
（　⊕）
ΣM＝0：H
－8kN
E×6＋6×4＋6×8＝0
3
片持ちの支持は
引張り
12kN
D
点
D
における
D D片持ちの支持は
部材の反対側
部材と
＝－12kN
（←）
……
（2）
∴H
部材と
F
E
（←）
……
（2）
∴H
E＝－12kN
ベクトルの和が
ベクトルの和が
4
部材と
節点の○を押して
HD
＝－12kN
（←）
……
（2）
∴H
?
節点の○を押して
HD H上が引張りよ！
E
部材の反対側
ベクトルの和が
G
6×　＝8
G6kN
節点の○を押して
D
には、
同じ大きさ、
（　⊕）
ΣM＝0：HE×6＋6×4＋6×8＝0
同じ角度
同じ角度
G
3
G を（1）に代入して、
ゼロになる
上が引張りよ！
ゼロになる
いる。
圧縮は⊖
NA＝15kN 同じ角度
いる。
圧縮は⊖
（2）
HD＝12kN
には、
同じ大きさ、
（2）
を（1）
に代入して、
HD（→）
＝12kN
（→）
VD
ゼロになる
V
いる。
圧縮は⊖
逆向きの力が働く
②、
③で
DD VD
（2）
を（1）
に代入して、
H
＝12kN
（→）
D
＝15kN
N
A
部材と
ようにする
（←）
……
（2）
ようにする
ベクトルの和が 15kN 節点の○を押して
逆向きの力が働く
②、
③でようにする
12kN∴HE＝－12kN
E
HD
6kN
圧縮
求めた力
15kN
G
同じ角度
12kN 12kN
E
6kN
圧縮に代入して、
ゼロになる
求めた力
いる。
（2）
を（1）
H12kN
（→）
D＝12kN
VD
10kN圧縮は⊖
引張り 引張り
12kN
引張り12kN
ようにする
12kN
片持ちの支持は
10kN
?
片持ちの支持は
部材の反対側
片持ちの支持は
ピンの方が重さをもつ
部材の反対側
F?
NC＝10kN
部材の反対側
④節点 F でのつり合いを考えます。
ピンの方が重さをもつ
上が引張りよ！
上が引張りよ！
F
には、
同じ大きさ、
N
＝10kN
C
には、
同じ大きさ、
上が引張りよ！
引張り 12kN
には、
同じ大きさ、
NA＝15kN
NA＝15kN
片持ちの支持は
G
下図より、N
5kN（
⊖）
＝15kN
NA②、
逆向きの力が働く
B ＝−
③で
逆向きの力が働く
②、
③で
部材の反対側
15kN
逆向きの力が働く
②、③で
15kN
G
12kN
E
12kN
6kN
15kN
E
6kN6kN 求めた力
圧縮 圧縮
上が引張りよ！
5
求めた力
F 同じ大きさ、
の○に集まる
12kN
E
には、
圧縮 12kN
求めた力
3
12kN
5
5
F の○に集まる
NA＝15kN
15kN 10kN
4
ベクトルの足し算
10kN
力のベクトルの
3
3
逆向きの力が働く
②、
③で
54 12kN
15kN
4
10kN
5
15kN5kN
10kN
力のベクトルの
? ベクトルの足し算
3
3 4
12kN
が閉じてゼロに
E ? ?
6kN
和がゼロになる
圧縮
5
ピンの方が重さをもつ
4
14
ピンの方が重さをもつ
求めた力
10kN
F
3
FNC＝10kN
5kN
NC＝10kN
ピンの方が重さをもつ
が閉じてゼロに
4
和がゼロになる
F
4 12kN 1
NC＝10kN 5
②少ない部材数の支点 E での
F10kN ように考える
なるのか
6kN
F
なるのか ?G
5
ように考える
5
G
6kN
つり合いを考えます。
12×　＝15
3
5
GNC＝10kN
ピンの方が重さをもつ
412×　F
12×　＝9 3
＝15
12kN
E
－5kN
412×　＝95
B
F の○に集まる
5 45
F の○に集まる
下図と右ページ上図より、
12kN
E
F の○に集まる
－5kN
34 5 4 3
5
B
15kN
15kN
ベクトルの足し算
ベクトルの足し算
力のベクトルの
5 4 34 4
G 5
3
力のベクトルの
3 43 12
15kN
?
ベクトルの足し算
NA ＝ 15kN（
⊕）
力のベクトルの
5
124
10kN
3
3
?
5 10kN5kN
3m
A
トラス
4
?
12kN 12kN
12kNE
12kN
?
?
?
E E
?
E ?
5
4 14
1
3 14
5
3
ベクトルの和が
4
5
5
部材と
12×　＝15
5 1
ベクトルの和が
12×　＝15
3
3 ゼロになる
4 12×　部材と
＝15
4
12×　＝9
3 4
＝9
同じ方向
4
4 12×　12×　＝9
4
4 ゼロになる
同じ方向
ようにする
5
12 3 ようにする
12
＝15
1212×　4
12×　＝9
4
? ?
?
部材と 部材と
部材と
12
ベクトルの和が
ベクトルの和が
ベクトルの和が
ゼロになる
ゼロになる
ゼロになる
?同じ方向同じ方向
同じ方向 ようにする
ようにする
ベクトルの和が
ようにする
部材と
◇
38
同じ方向
ゼロになる
ようにする
が閉じてゼロに
が閉じてゼロに
が閉じてゼロに
なるのかなるのか
ベクトルの足し算
なるのか
が閉じてゼロに
なるのか
4
5
43
4
5 6kN
55
3 4
B5
5kN
和がゼロになる
10kN節点の○を押して
5kN 和がゼロになる
F の○に集まる
和がゼロになる
F 15kN
節点の○を押して
F F ように考える
ように考える
力のベクトルの
いる。
圧縮は⊖
6kN6kN
ように考える
∴
NB＝－5kN
10kN
いる。
圧縮は⊖
5kN
和がゼロになる
∴NB＝－5kN
－5kN
F
B B －5kN
ように考える
－5kN
6kN
－5kN
B
節点の○を押して
節点の○を押して
節点の○を押して
いる。
圧縮は⊖
いる。
圧縮は⊖
いる。
圧縮は⊖
∴NB＝－5kN
∴NB＝－5kN
節点の○を押して∴NB＝－5kN
いる。
圧縮は⊖
∴NB＝－5kN
◇
39
Q
check
等分布荷重のかかる単純梁のＭ図とＱ図
▲
★★R027
図のような等分布荷重 w を受ける
単純梁の、M 図とQ 図を描け。
AA
A
ww
w
A
w
ℓℓ
ℓ
ℓ
ww
④ M は凸側に、Q は
BB
B
B
AA
A ①支点反力は、集中荷重のときと同様に、
B
B
合力W＝w
W＝w
ℓ
合力
ℓℓ
ℓ
w
合力
W＝w
ℓ
対称だから半分ずつ。
合力 W＝wℓ
A
BBB
AAA W
W
WW B
ℓ
AW
B
W
②点 A から距離 x の所をサイコロ状に
22 W
22 W
合力
2
2W＝w
合力
W＝w
ℓℓ
切り出して、M、Q を求めます。
2
2
xx
xx x
AA
BB
◇
＋＋
＋＋
＋
＋＋
＋＋
＋＋＋＋＋
＋＋
＋＋
＋＋
＋＋
＋＋
＋＋
＋＋
＋
＋
＋
＋＋
＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋
＋＋
＋＋＋
＋＋ ＋ ＋
ずれが
ずれが
ずれが
大きい
大きい
ずれが
大きい
＋＋
－－
＋＋
＋
－－
＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋大きい
－－
－
－－
－－
やさしい
＋ ＋ ＋ ＋－－
－
＋ ＋ ＋ － －－ －
＋＋
－
＋ ＋ ＋ ＋ － －－ － －
ずれが
ずれが
湾曲が
湾曲が
時計回りを⊕
下に凸を⊕
大きい
時計回りを⊕
下に凸を⊕
湾曲が
大きい
大きい
時計回りを⊕
下に凸を⊕
大きい
＋＋
＋
湾曲が 2＋
＋＋
＋
－－
＋
大きい
時計回りを⊕
＋
下に凸を⊕
－－
wℓ ＋ ＋＋
＋
2
Q－
図－－
w＋
ℓ
＋ ＋＋ ＋ ＋ ＋大きい
－－
＋
wℓ
＋
＋
Q＋
ℓ
＋＋
－－
＋ずれが
－図
＋
＋
＋
＋w
2
＋ ＋M
M図
図＋＋
＋
＋
w
ℓ
＋
Q図
wℓ
8 8 wℓ2 ＋2 2 wℓ
M図
大きい Q 図
2＋
8
M
図
＋
湾曲が
－
＋
2＋ 時計回りを⊕
＋＋
wℓ
湾曲が ＋ ＋ 8
下に凸を⊕
wℓ
＋ ＋ ＋ ＋ － －－ － －
時計回りを⊕
下に凸を⊕
＋ ＋ ＋ 大きい
－－wℓ
＋＋＋
＋
2
大きい
2
－
w
ℓ
w
w
ℓ
w
ℓ
2
ℓ （　2
2－ wℓ
M＝－wwx2x＋＋wℓ
x　wℓ
Q＝－wx＋ww
⊕）
Q
図
w2⊕）
ℓ⊕）
M＝－
（
x（
wℓ
Q＝－wx＋
（　⊕）
ℓ
Q
図
w
ℓ
2
2
2
＋
2
2
2 （
M＝－2 M
xM
＋
xwℓ
8⊕） ＋ 2 Q＝－wx＋ 2 （　⊕）
図図
w
2
2 湾曲が
2 wℓ
時計回りを⊕
下に凸を⊕
M＝－
x2
＋ 8（
x ⊕） 2
Q＝－wx＋
（　⊕）
大きい
2
2
2
wℓ
wℓ
wℓ
Q図
wℓ2
－－ 2
＋
M
図
/
2
w
ℓ
w
w
ℓ
2
dMw
w
wℓ wℓ
wℓ
8ℓ ⊕）
/
ww
ℓ 2＋
dM
wℓ
wℓ
wℓ
ww ・2x＋
2－
M＝－
x2w
＋
x　Q＝－wx＋
（　⊕）
x ＝－
・1＝－wx＋
⊕）
Q＝
/ ＝－ ・
M＝－
＋
Q＝－wx＋
（　＋（
（　Q＝
dM＝＝
w
ℓx⊕）
wℓ
w⊕）
ℓ（　⊕）
wx2x（
w2 2x＋
2x－
2
2・1＝－wx＋
2 の式を
⑤Q＝
Q＝
M2dM
の傾き（微分）を知っていると、M
dxdx
2 2（　＋2 2 xwℓ＝－
1＝－wx＋
⊕）wℓ
＝
－2 22 2
x2w
/ 2 ・2x＋ 2 ・
w
ℓ
w
dx
2
2 wℓ
2
2
Q＝
＝ 2－ x2
＋
x ＝－
・2x＋
・1＝－wx＋
（　－ ⊕）
微分するだけで
dx
2
2
2
2Q を求めることができます。
2
2
w 2 wℓ
wℓ
M＝－ x ＋
（
x ⊕）
Q＝－wx＋ （　⊕）
2
2
2
dM
wℓ
wℓ / /
wℓ
dM
wℓ
wℓ
wℓ
w w x 2＋
w w ・2x＋
Q＝
＝－
・1＝－wx＋
（　⊕）
⊕）
x x ＝－
（　Q＝
＝＝－－ 2x2＋
・2x＋ 2・1＝－wx＋
の傾きが
dxdx
22
2
2 2MM
2
22
の傾きが
M
の傾きが
なのか
QQ
なのか
M の傾きが
dM
wℓ /
wℓ
wℓ Q なのか
w
w
x ＝－ ・2x＋ ・1＝－wx＋ （　Q
⊕）
Q＝
＝ － x 2＋
なのか
dx
2
2
2
2
2
の傾きが
MM
の傾きが
なのか
QQ
なのか
MM図図
M図
M図
QQ図図
Q図
Q図
M の傾きが
Q なのか
dM
dM
Q
の傾き＝Q）
Q＝Q（M
図図 の傾き＝Q）
dM＝Q（M
dxdx dM
＝Q（M の傾き＝Q）
dx
＝Q（M の傾き＝Q）
dQ dx
Q をさらに微分すると− w が出ます。
dQ
＝－w（Q
の傾き＝－w）
M図
Q
図
dQ
＝－w（Q
dx ＝－w（Qの傾き＝－w）
dxdM
の傾き＝－w）
dQ
dx
dM ＝Q（M
＝－w（Q
の傾き＝－w）
の傾き＝Q）
＝Q（M
の傾き＝Q）
dx
dxdx
スーパー記憶術
MM
図図
無 休で荷を下ろす
M →Q → w
マイナス
dQ
dQ
dM
＝－w（Q
の傾き＝－w）
＝－w（Q
の傾き＝－w）
＝Q（M
の傾き＝Q）
dx
dxdx
dQ
＝－w（Q の傾き＝－w）
dx
◇
63
4
単純梁の応力
2 x2 x
W
合力WW＝w
ℓ
w×x
WW
w×
－x）
w×x
2
x
w×
（（
ℓℓ
－x）
w×x
2
2
w×（ℓ－x）
2
2
2
A
w×x
B
A
w×
B－x）
A（ℓ
B
A
B
wℓ Ax x
W
W
wℓ
wℓB
w
ℓ
x
wℓ
wℓ
2
2 2 wℓ 2x 2
222 wℓ
2
w×x
w×
（－x）
ℓ－x）
2
x x w×x
w×
（
ℓ
2
x2
wxwx BQQ2
wxwx 22 x MM
AA x x
wx B Q
wx
M
2
wxwℓ Q
2
w
ℓ
wℓ M
wx
w×x
wℓ
w×（ℓ－x）
wℓ
2
wℓ
wℓ
2
2
w
ℓ
wℓ x x
A
wℓ
B2
x
22 w
2
x
2 wℓ
x wℓ
wℓ
1
2 ℓ
2 wxwx
wℓ
2×x－wx×
M＝
×x－wx×
wℓ 11x x
ℓ
wx
M＝
2 2wxℓ
wℓQ Q ww
Q＝－wx＋
（　⊕）
wx
2
MM
2Q＝－wx＋
（　ℓ
M＝ 2 2 w
×x－wx×
2（　⊕）
wℓ2 2wℓ
wℓ 22 x 1
2
Q＝－wx＋
2
w
2
wℓ ⊕）
M＝wx2x＋＋
×x－wx×
x
（
x
⊕）
＝－
2
（
x
⊕）
＝－
Q＝－wx＋ （　⊕）
x 2 2 2x2＋ 2wℓ
2 （
wℓ ＝－
xwℓ
2⊕）
2
wℓ
w
ℓ
w
2
x 2 ＝－
（
x ⊕）wℓ wx
x22＋
Q
M
2 2wxx
2
2
2
2
M
は下に凸が
wℓ
1
Mℓは下に凸が
wℓ
w
M＝
×x－wx×1 x
M
は下に凸が
wℓ
M＝
プラスで、
wxx2x 2×x－wx× 2 2x
Q＝－wx＋
（　⊕）
プラスで、
wx
Q＝－wx＋
（　③別の方法として、切断した左側の
wℓ wx x w
M⊕）
は下に凸が
wℓ
wℓ
2 2プラスで、
wℓ
グラフは凸側に
2 2 w x 2＋
（
x　⊕）
⊕）
x 2＋
グラフは凸側に
x ＝－
2 ＝－
（
x
プラスで、
つり合いを考えて、M、Q
を求めます。
wx
2
2 2
グラフは凸側に
2
2
描くのよ
wℓ2 2
1
描くのよ
グラフは凸側に
wℓ
M＝
×x－wx× x
描くのよ
Q＝－wx＋
（　⊕）
2
2
w
ℓ
wℓ
M
は下に凸が
描くのよ
2M
変形がわかり
w
ℓ
は下に凸が
w
変形がわかり
wℓ x x＝－ x2＋
（
x ⊕）
2 2 wℓ
x
変形がわかり
プラスで、
wx
やすいから
2
x
プラスで、
2
wxx
やすいから
2
変形がわかり
やすいから
グラフは凸側に
wℓ
2 x2M
グラフは凸側に
2
wℓ
Σy＝0：
－wx－Q＝0
（
↑⊕） M描くのよ
wxwx MM
やすいから
Σy＝0：
－wx－Q＝0
（
↑⊕）
w
ℓ
は下に凸が
2
描くのよ
wx
Σy＝0：2 －wx－Q＝0
M
wℓ
w（
ℓ↑⊕） プラスで、
2
w
ℓ
wxx
wx
Σy＝0：
－wx－Q＝0
（
↑⊕）
∴Q＝－wx＋
（　⊕）
w
ℓ
∴Q＝－wx＋
ℓ
QQ
w（　ℓ ⊕） 変形がわかり
w
ℓ
2
ww
ℓ
2 2（　∴Q＝－wx＋
⊕） グラフは凸側に
変形がわかり
Q
wℓ2 x x 2
2 wℓ
やすいから
∴Q＝－wx＋
（　⊕）
222 wℓ
Q 切断面における
切断面における
やすいから
描くのよ
2
2
M
切断面における
x
wℓ
x（
wℓ
ℓ
w
2wx M
Σy＝0：
－wx－Q＝0
↑⊕）
ΣM＝0：
×x－wx×
－M＝0
（
⊕）
wℓ wx
ΣM＝0：
×x－wx× （x2↑⊕）
－M＝0（　⊕）
Σy＝0：
－wx－Q＝0
切断面における
wℓ
M、
を仮定
M、
QQ
を仮定
2wℓ－M＝0
ΣM＝0：22 2 ×x－wx×
（変形がわかり
⊕）
2 M、Qx を仮定
w w2ℓ
wℓx －M＝0
2ℓ
2 wℓw
w
∴Q＝－wx＋
（　⊕）⊕）
ΣM＝0：
×x－wx×
（　⊕）
やすいから
Q
2
＋
x⊕）
∴M＝－
x
∴Q＝－wx＋
（　Q
Q を仮定
wℓ M、
（
x 2（
⊕）
∴M＝－
2 w2x ＋
wℓ
22 2wℓ
2
2 xw
M
＋2 （
x ⊕）
∴M＝－
wℓ
22 wℓ
2
Σy＝0：
－wx－Q＝0
（
↑⊕）
2 2 wx
切断面における
x ⊕）
切断面における
2 ∴M＝－ 2 x ＋ 2 （
x
wℓ
wℓ
x（　wℓ
ΣM＝0：
×x－wx×
－M＝0
（
⊕）
∴Q＝－wx＋
⊕）
Q
ΣM＝0：
×x－wx×
－M＝0
（
⊕）
M、
Q
を仮定
wℓM、Q を仮定
22 2
22
wℓ
w 2 wℓ
2
w
x　⊕）
⊕）
∴M＝－ x2＋
x＋ （
切断面における
∴M＝－
x（
22
x2 2
wℓ
ΣM＝0： ×x－wx× －M＝0（　⊕）
M、
Q を仮定
2
2
w 2 wℓ
（
x ⊕）
∴M＝－
x＋
62
2
2
を上側にしてグラフを描きます。
Q
等分布荷重のかかる片持ち梁のＭ図とＱ図
図のような等分布荷重 w を受ける片
持ち梁の、M 図とQ 図を描け。
w
ℓℓ ℓ
B
①反力を仮定して、つり合いの式を立てます。
w
BB B
ℓw
合力は
w× 長さ
力
腕の長さ
70
吊りひもの形で
覚えるのよ！
M 図の形＝吊りひもの形
集中荷重
分布荷重
分布荷重
分布荷重
分布荷重
分布荷重
モーメントは
1
（w× 長さ）×（　× 長さ）
2
力
◇
5
片持ち梁の応力
Σx＝0：HB＝0（→⊕）
Σx＝0：HB＝0（→⊕）
ℓ
B B－wℓ＝0（↑⊕）
Σy＝0：V
wℓ
Σy＝0：VB－wℓ＝0（↑⊕）ℓ
M2B
∴VB＝wℓ
（↑）
Σx＝0：HB＝0（→⊕）
MB ℓ
∴VB＝wℓ
（↑）
Σx＝0：HB＝0
（→⊕）
ℓ
Σx＝0：H
＝0
（
→⊕）
支点
BBℓ
における
＝0
（
↑⊕）
Σy＝0：V
HB2 ℓ wℓ
B－w
支点 BB－
における
wℓ＝0（↑⊕）
Σy＝0：V
ℓ
HB
wℓ
2
B wℓ
＝0
（
↑⊕）
Σy＝0：V
B－wℓ
＋
wℓ×　＝0（ ⊕）
ΣM＝0：
－M
ℓ
B
M
Σx＝0：H
（
→⊕）
∴V
（↑）
B＝0
B ＝w
B 2
MB B
＋
wℓ
ℓ
×　＝0（2 ⊕）
ΣM＝0：
－M
Bw
ℓ
∴V
ℓ
（↑）
B＝
MB
2
∴VBB－
＝ww
ℓ
（↑）
ℓ
＝0
（w
↑⊕）
Σy＝0：V
ℓ2
支点 B における
wℓ 支点
H
VB 2
∴M
B における
wℓB2＝ （ の大きさ）
ℓ
HB B
支点 B－M
における
（
の大きさ）
∴Mℓ
2（↑）
B＝
HB B BVB MB
∴V
＝
w
ℓ
＝0
⊕）
ΣM＝0：
B（
B＋wℓ×　2ℓ
wℓ×　2
＝0
（
⊕）
ΣM＝0：－MB＋
Σx＝0：H
＝0
（＝0
→⊕）
B
wℓB2×　（ ⊕）
ΣM＝0：
B＋2
ℓ
支点－M
B における
2
H
w
ℓ
B
V
ℓ＝0
（↑⊕）
Σy＝0：V
B－ w
ℓ
wℓ2 （
の大きさ）
∴MB＝
wℓ
2
2
VB B
B
w
ℓ
（
の大きさ）
∴MB＝
wℓ
×　＝0（ ⊕）
ΣM＝0：
－M
2B＋
VB
（ B＝
の大きさ）
∴M
MB
2wℓ（↑）
2 B＝ ∴V
2
右側 w の
②支点Bから距離xの所をサイコロ状に切り出して、
M、Qを求めます。
wℓ2
1
右側
w
の
V
支点 B における
B
∴MB＝ （ の大きさ）
HB w×x
（ℓ－x） 合力
1
2 ℓ
B－2x） 合力
wℓ2 w×x 2（ℓ
w
ℓ2w×x w×x
＝0
（x）
⊕）
ΣM＝0：
－MB＋wℓ×　w×（
ℓ－
2
wℓ2
w
ℓ
w×（ℓ－2x）
右側 w の
2
2
2
右側 w の w×（ℓ－x）
1
w
ℓ
2
2
右側 w の
VBx） 合力
∴MB＝ （ の大きさ）
w×x 1 （ℓ－
） 合力w×（ℓ－x） 2
w×x
w×x 2（2ℓ－1x（
wℓ2
w2ℓ
w×（ℓ－x）2
w×x
w×x 2 ℓ－x） 合力 右側
wℓ2
w
ℓ
w×
（
ℓ－x） ℓ－x
2
w
の
2
w×x
x
w×
2 wℓ
M w×
1 （ℓ－x） 2 2 wℓ
x
－ℓ
x － x）
ℓ（
wℓ
2
（
ℓ
－xx）
） 合力
x w×
（
ℓ
－
2 wℓ 2 x Mw×x
2
ℓ
－
x
2 w×（ℓ－x）
2 wℓQ
w×x Q
wℓ
w
ℓ
w×（ℓ－x）
wℓ
力
腕の長さ
腕の長さ
2 M力
Qx2＝w（ℓ－x）＝
ℓ
－x
ℓ－wx＋w
右側
w
の
x
w×
（
ℓ
－
x
）
1
－
x
ℓ
wℓ
1 （ℓ－x） Q＝w（ℓ－xQ
ℓ
－
x）＝－wx＋wℓ
xMM＝ M
ℓ－x
w×
（
ℓx－x1）×
wℓ
（
ℓ
－
x
）
ℓ
－
x
x
合力
wℓ
w×x
Mw＝
（ℓ－x）
×
Q⊕なのでそのまま
ℓ w×
ℓ－2x（ℓ
2－2x）
wℓ ⊕なのでそのまま
w
ℓ2x w
wℓ2 Qx w×x
力
腕の長さ
w×
wℓ
/ x（ℓ－x）
－
力
腕の長さ
w / ℓ
2
Q＝w（ℓ－
x）＝dM
－wx＋wℓ
M
w2wℓ
＝力 （xℓ
－
x
）
（　の大きさ）
腕の長さ
2 ＝
Q
＝
w
（
ℓ
－
x
）
＝
－wx＋w
ℓ （2x－
dM
＝
－
ℓ）2
Q
1
w－wx＋w
ℓ－x
2
2x×
w×（ℓ
）
＝（ℓ
（－
ℓ－
）
（　の大きさ）
Q
Q－
＝xw
（ℓ＝
－xw
）
＝
ℓ
1 （ℓ
－
x
）
dx
M＝ w×
x
）
－
2）
ℓ 2（x－ℓ
M＝ w×（ℓ2－x）× （2ℓ－1x） w
⊕なのでそのまま
dx
（ℓ－腕の長さ
x）
⊕なのでそのまま
M＝ w×（ℓ－x力
w
2）× M＝－
⊖なので、
w
（2x－ℓ）2 dM ⊕なのでそのまま
/ x－ℓ） ℓ
2
（
＝2×
w
Q
＝
w
（
ℓ
－
x
）
＝
－wx＋w
－
w
w
2
x
2 ） Q＝
/2 ）
⊖なので、
（x－
ℓ－x
1ℓ
－
ℓ
＝2×－
＝w （
ℓ－x2 ）
（　M＝－
の大きさ）
－
2）
w （x（
－xℓ
M）
/
2× ℓ（
）dMdx＝＝
＝ （
x）
（　の大きさ）
M
w×（
＝
2ℓ－w
dM
ℓ
w
－ ⊕なのでそのまま
（22
x－ℓ
）2
2ℓ
－ℓ
x－Qx＝
x－xの大きさ）
－
x）
（　2 ＝ （ℓw
2
＝
－
（
x
－
ℓ
）2Q
Q
＝
dx
2
（
x
－
ℓ
）
＝－wx＋w
ℓで Q と一致する
＝－w
w2ℓ
2
w
dx
w xdM
－ℓ）＝－wx＋w
ℓで Q
＝－w（
/ と一致する
w w 力
⊖なので、
M＝－
（（　－ℓ）2 腕の長さ
w
xw
－
ℓ
＝2× w Q（
2xw
＝ （ℓ－
⊖なので、
M＝－
（
－
ℓ）2 の大きさ）
（
ℓ）
－ x）
＝x－wx＋w
2xx）
wℓ
x＝
－
）
＝2× －－Q＝
（
－ℓ）2 ℓ
＝
2（
⊖なので、
2 M＝－
（x－ℓ）
2
12
＝2×
－dx （x－ℓ2）
2
2
（
ℓ
－
x
）
M＝ w×（ℓ－x）×
2⊕なのでそのまま
ℓで Q と一致する
＝－w（x－ℓ）＝－wx＋w
w
w ℓで
）＝－wx＋w
Q）
と一致する
＝－w
⊖なので、
M＝－ （2x－ℓ
）2 （x－ℓ＝2×
（xモーメントは
－ℓ
－
）
＝－wx＋w
ℓで Q と一致する
/
w
2 合力は ＝－w（x－ℓ
dM
2
w
2
2
1
モーメントは
合力は
＝ （ℓ－x）
（　の大きさ）
＝
－
（
x
－ℓ）
Q
＝
（w×
長さ）
× 長さ）
1 ×（　w× 長さ
2
2 ×
x－ℓ）＝－wx＋w
ℓで
Q2と一致する
＝－w（dx
（w×
長さ）
（　× 長さ）
w× 長さ
w
2
w
力
腕の長さ
2
⊖なので、
M＝－
（
x
－
ℓ
）
モーメントは
合力は
＝2× － 力 （x－ℓ） 腕の長さ
モーメントは
2
合力は
1
2
1 × 長さ）
（w×モーメントは
長さ）×（　w× 合力は
長さ
1 ℓで Q と一致する
（w×
長さ）
×（　×
長さ）
w× 長さ
2（　（x－ℓ
）＝－wx＋w
＝－w
（w×
長さ）
×
× 長さ）
w× 長さ
2
力
腕の長さ
モーメントは
2
合力は
力
腕の長さ
1
力
腕の長さ
（w×
長さ）
×（　× 長さ）
w× 長さ
2
ℓ
2
wℓ
平方完成
平方完成
ℓ
平方完成
ww ℓ
w
切断面における
wℓ2
x
w×x
wℓ2
x
wℓ2
x
（ℓ－切断面における
x）
w×
2 w×x
2w×
ΣM＝0：
（wℓ）
×
－（wx
w
ℓx2－
x ）× ＋M＝0（ ⊕）
③別の方法として、切断して片側のつり合いを考えます。
（
ℓ
－
x
）
2
2
ΣM＝0：
（wℓ）
× x－
－（2
wx）× ＋M2＝0（ ⊕）
2w
2wℓ2
切断面における
やさしい
wℓ2
x
2
∴M＝
x2 － w
wℓ2 2
wℓ
ℓ
wℓ2
w
x x＋ 2
2 w×x x
（ℓ－x） 切断面における
w×
2 x －2
切断面における
∴M＝
w
ℓx）
＋
xw×
w
ℓ
x
2 wℓw×x w×x
2
ΣM＝0：
（
w
ℓ
）
×
x
－
－
（
wx
×
＋
M＝0（ ⊕）
（
ℓ
－
x
）
2
22－（
2
x
2
w
ℓ
x
x
2 ⊕）
2
ΣM＝0：
（
w
ℓ
）
×
x
－
wx
）
×
＋
M
＝0
（
（
ℓ
－
x
）
w×
2
w
wℓ （ ⊕）
2
2
2wx
ΣM＝0：
（wℓ）
×
－（
）
×
xwx
M 切断面における
x
2＋＋M＝0
2 x－
2
wℓ
（
xℓ
－
）
22 2ℓ
wxℓ
x wx
w 2w（＝
22
w
2 2
M2
Q
2x）
wℓ wℓ
2＋
2ℓ
ℓ
w×x
2
w
－wxℓ－
x2＋
2 （ℓ－xQ） ∴M＝w ＝
w×
2x w
w（
ℓ22wx）× xwℓ
∴M＝
x（
－w2w
ℓ
x2 ＋xw－ w2ℓ －
2wℓ2 wℓ
2
ΣM＝0：
ℓ
）
×
＋2 M＝0
（ ⊕）
2
∴M＝
x＝－wℓ
2
2
2 2 2
2 xx2＋
x
x
2）
（
－
ℓ
－ℓ
＋
2
wℓ
22 （
w＝ w
2w
22
wx x
x 2
2ℓ
2
M
2
x
－
ℓ
）
－
ℓ
＋
2
w
wℓ
w
ℓ
w
＝
（
x
－
2
ℓ
x
）
＋
wx
2 w
2 Mxx Q
2x
wℓ
2 2ℓx2）＋x2－w
ℓ2w2ℓ
＝
（
－
切断面における
ℓxw
＋
wx
2 x∴M＝
2＋
2w
wℓw2ℓ2 wℓ
xℓx 2 Q M Q
x－
2ℓ2
x）
2
2 ＝ w（＝
2w（
2 2 2
ww×x
ℓ
wℓ
x
（ℓ－x）
w×
x－ℓ
）
（　の大きさ）
wℓ
2 wℓ）
2（wx
w
w
ℓ
2
2－
2
x
2
ΣM＝0：
（
×
x
－
）
＋M＝0
（ ⊕
2
x
2×
2
2
（ℓ
x2－
（　w2ℓ
w2
ℓの大きさ）
w2ℓ
＝w ＝
（xw
－
）
－2）
ℓ
2 wℓ
wx 断面に働く力
2 ＋
M
2
w
ℓ
2
＝
（
x
－
2
ℓ
x
）
＋
＝
（
x
－
ℓ
）
－
ℓ
＋
2 wℓ
2
2
2
2
2
2
w
ℓw
）－2ℓ2 ＋
2 wℓ2
2⊖なので
2 ＝ （ x－
x
断面に働く力Q
2
2
w
ℓ
M＝－
wx＋
wℓ x
2 （2x2－ℓ）
w 2∴M＝
x －w
ℓ
wℓ
2w
x
M＝－
（x－2ℓ
w）
ℓ
＝w （x⊖なので
－ℓ
（　の大きさ）
2
2）
2ℓ2 ＋2 2
＝
（2の大きさ）
＝ （
x－w
ℓ）
（　2 wℓ x
2＝
2x－ℓ）－
x
（
x
－
ℓ
）
（　の大きさ）
2
w
2
2
wℓ
wx
断面に働く力
2
M
左側の
x
2
wℓ
＝ （xw－2ℓx）
＋
断面に働く力
w
ℓ 断面に働く力
2
2
Q ⊖なので
左側の M＝－
w 2w （
－ℓ
2 xw
2） 2
2
⊖なので＝
M＝－
（x－w
ℓ
（　（
x－wx
ℓ）
wℓ
Σy＝0：
ℓ
－
－の大きさ）
Q＝0（
↑⊕）
2）
⊖なので
（（
x－
ℓ）2 wℓ2
2ℓ－
wM＝－
2 －Q＝0
Σy＝0：
w
wx
↑⊕）
2
＝ （∴Q＝－
x－ℓ2）2－ℓ
＋
2
wx
断面に働く力
w＋wℓ
左側の
2
wx
＋
w
ℓ
∴Q＝－
左側の
⊖なので M＝－ （x－2ℓ）2
x
wℓ
左側の
⊕なのでそのまま
2
Σy＝0：
wℓ－
wxw－
Qx－
＝0
（）
↑⊕）
2
⊕なのでそのまま
＝
（＝0
（　の大きさ）
Σy＝0：wℓ－wx－Q
（ℓ
↑⊕）
2 wx
Σy＝0：
wℓ－
－
Qw＝0
（↑⊕）
wx
＋
ℓ
∴Q＝－
左側の
断面に働く力
∴Q＝－wx＋wℓ
wx＋wℓ w（x－ℓ）2
∴Q＝－
湾曲が大きい
ひずみが大きい
⊖なので
Σy＝0：
wℓ－wxM＝－
－Q＝0
（↑⊕）
⊕なのでそのまま
湾曲が大きい
ひずみが大きい
2
⊕なのでそのまま
⊕なのでそのまま
∴Q＝－wx＋wℓ
－－－ － － －
＋ ＋＋＋
－
左側の
＋
－
＋
－－－
＋
－－－
＋＋＋
－ －－－
＋＋＋ ＋
④グラフを描きます。
湾曲が大きい
ひずみが大きい
－－－
＋⊕なのでそのまま
－－
＋＋＋＋＋ ＋＋
湾曲が大きい
ひずみが大きい
－－
Σy＝0：
wℓ－wx－Q＝0（↑⊕）
湾曲が大きい
ひずみが大きい
－
∴Q＝－wx＋wℓ
－－－ － －
＋ ＋＋＋
－
＋
－
－－－ － － －
＋
湾曲が大きい
＋
＋
－
＋ひずみが大きい
－－
＋＋
＋＋＋＋
－－
＋＋
＋＋
－－－
－－
＋＋
－－
＋＋
－－
－－
＋＋
＋＋
－－
－－
＋
＋
⊕なのでそのまま
－－
＋＋＋＋
－－
－－
⊕を上
－－－ － － －
＋ ＋＋＋
－凸側に描く
⊕を上
＋＋＋
－－－
wℓ2
＋＋＋＋
2
－
凸側に描く
wℓ
－－
湾曲が大きい
wℓ
ひずみが大きい
2
wℓ
2
⊕を上
2
－－－
＋ ＋⊕を上
－
凸側に描く
－ － －－
wℓ
＋＋
M図
Q＋図
⊕を上
凸側に描く
＋＋＋＋
－－－ wℓ
wℓ2
2
＋＋
M
図
Q
図
凸側に描く
－
wℓ
2 wℓ
－
2
wℓ
⊕を上
2
2
凸側に描く
wℓ
wℓ QQ
集中荷重
MM
図図M 図
図図Q 図集中荷重
2吊りひもの形で
吊りひもの形で
覚えるのよ！
⊕を上
覚えるのよ！
M 図 凸側に描く
Q図
wℓ2
集中荷重
w
ℓ
集中荷重
吊りひもの形で
2
集中荷重
吊りひもの形で
吊りひもの形で
覚えるのよ！
覚えるのよ！
覚えるのよ！
M図
Q集中荷重
図
吊りひもの形で
分布荷重
スーパー記憶術
分布荷重
覚えるのよ！
平方完成平方完成
B
B
w
平方完成
平方完成
A
check
▲
★★R031
腕の長さ
◇
71
Q
check
断面２次モーメント I　その３
▲
★★R060
断面 A
断面 A
図 のような 断 面 A お
よび断面 B において、
x 軸に関する断面 2 次
モ ー メントIA とIB の
値の差を求めよ。
20
断面 A
x
xx
100
20
断面 A
20
120
100
20
断面 B
120
40
20
60
20
40
120
120
断面 B40
60
120x
x
20
4060
120 120
20 x 120
6040
4040
40
2060 120
120
120x
20
120
120
x
100 20
60
60
断面AA 断面
断面
断面BB 断面
断面
100 A
B
120 120
100
x
2020
120
20
2040
10020
20
100 120
120
120
20
x
120
100
100
100
40 20 40
40 20 40 606040
40 20 40
40 20 40 6060
100
100
100
xx 120 x
x
10020
120
10020
40
mm）
40 20 40
60
40 20（単位は
406060
100
（単位は
mm）
100
100
20
20
120
120
120
120
100
120 100
120
4040
40
40 20 40
40 20 40
（単位は
mm）
2020
2020
20
20
100
100
断面
B 20 40 B になります。
20 404040
20断面
AA
から中央の長方形
C40を除く
と、断面
40402020 404040 20 40
A ①断面
断面 A長方形 C 40
断面 B
（単位は mm）
100
100
長方形 C
断面 A
長方形
120C
100
100
120
断面 B
100
（単位は
mm） mm）
（単位は
mm）
（単位は
C
20長方形
120
20 断面
断面AA 断面 A
断面BB 断面 B
断面
引き算を
長方形C
C
長方形
長方形
C
引き算を
120
20
使うのよ！
使うのよ！
引き算を
12020 120
120
②断 面 A、B、長方形 C の中立軸は同
使うのよ！
引き算を
じです。IA から長方形
C の断面 2 次
20
20
20
使うのよ！
モーメントIC を引いた値が IB です。
引き算を
引き算を
引き算を
使うのよ！
使うのよ！
IA − IC ＝ IB
使うのよ！
∴ IA − IB ＝ IC
よって、IA とIB の差は IC となり
ます。
10
10
3
20×120×120×120
20×（120）
3
20×120×120×120
20×（120）
IC＝
＝
IC＝12
＝ 10 12
③ IC は中心に中立軸があるので、
123
12
3
＝2880000
bh
20×120×120×120
20×（120）
＝2880000
の公式が使えます。
4
4
I
＝
C＝
＝288×10 mm
10 4
4
12
12
12
3 ＝288×10 mm
20×120×120×120
20×（120）
＝2880000
IC＝
＝1010 4
4
10 12
12
33
mm
＝288×10
3
20×120×120×120
20×
（120）
20×120×120×120
20×
（120）
20×120×120×120
20×（120）
＝ ＝2880000
ICI＝
＝
C＝
IC＝
＝
12
12 4mm
12
12
12
12 4
＝288×10
＝2880000
＝2880000
＝2880000
44
mm4 4 4mm4
＝288×10
mm
＝288×10
＝288×10
◇
128
◇
129
やさしい
9
断面
断面 A
100
断面 B
bh3
bh3
が使えない！
bh
12
が使えない！
は高さ h の中心に軸があ
12
12
3
bh
が使えない！
るときにしか使えません。軸
12
から図心が y 離れた面積 A の
bh3
が使えない！
12
長方形では、
33
3
3
bh
bh
bh
bh
2
が使えない！
が使えない！
が使えない！
I ＝
＋ Ay
12
12
12
12
となって、計算が面倒になり
bh3
ます。
bh3
が使える
12
が使える
3B
B
12
bh
B
B
3
❶〜❺は
の式の引き算の
❶
bh
3
H
12
❶
Bh33
3 が使える
H h I＝ BH －BH
Bh12
B
B
h 12
みで計算できる形の例です。
I＝ 12－
3
12
12 bh が使える
❶
H
12
BH 3 Bh3
B
B
h I＝
33
B
－
bh3
B b
12
12 bhbh が使える
が使える
が使える
b
3 3
3
❷ ❶
H
12
3
12
12
BHbh3 Bh 3
BB HB BBH
❷
B h BH
bh
I＝ －BH－
I＝
h
B
I＝ 1212
－ 12
❶
❶
h 12
❶
HH
12
12 3
Hb
BH3 3 3 Bh
Bh3 33 3 Bh
BH
BH
❷
hh I＝
I＝
－
－
h BH
H
bh－
12I＝－
12
12
12
12
12 b
hb I＝
B B
b
123
12
B
h3 3 b 2 3 h3 b 3
BH
33
❸ ❷
H
BH
bh
2
h
h
BH
I＝ I＝ － － ＋
❸
BB HB
I＝
－ 2 12＋ 2
bbH h b hh 12
12
12
12
12
B
❷
❷
12 b 12
33 3
3 33 b
❷
HH
BH
bh
BH
3 bh
H
BH
bh
h333 2 h3
BH
BH
bh33－
❸
I＝
－
－
2 bh＋
I＝
b bhh I＝
I＝
－
BH
＝
h
－
H
12
12
12
12
b
b
12
12
＝ 12－
12
b中心が軸に
b
B B 2 2 h
123 12 12
h312中心が軸に
h3
BH
2 2
B
3
2来るように、
2
I＝3 3 bh
－
＋
BH
❹ ❸
H
3
来るように、
BB HB b b
12
❹
＝
BH
bh
－
bb3 3 3bh
h
3
bbb 3 3 312b
引き算の四角
H
33 －
BH
3 hh 12
12
I＝
hh引き算の四角
BH12
BH
h3
BH
2 2h
B
❸
❸
I＝
❸
3を決めるのか
232 －
22h ＋
12
h 12
2中心が軸に
2
I＝
－
＋
I＝
－
＋
BH
bh
I＝
－
H
H
H
12
12
を決めるのか
b b h 12
12＝ 3 12
来るように、
❹
－
h
h
123 12 12
12
12
12
H b 2 2b
BH 1212
bh
引き算の四角
中心が軸に
B
3 3 － 3 33
h I＝
BH12
bh12 bh3
BH
bh
BH
B
b
b
b
b
を決めるのか
来るように、
＝
b
b
＝
－
－ 3 － 3
❹
H Bb
❺
12 ＝BH
12
12 3 bh中心が軸に
12
中心が軸に
BB
引き算の四角
中心が軸に
B22 H22b 2 2hb 12
❺
I＝3 bh－
BH
3
3
H
12
h I＝ 3 3 －12
来るように、
来るように、
BH
bh
を決めるのか
❹
❹
来るように、
❹
B
3 33－
h12
3
HH
I＝ bh
BH
bh
BH
12
H b
引き算の四角
引き算の四角
引き算の四角
12 － bh
12
❺
I＝
－BH
I＝
－
h
I＝
h
h
H
12 3 12
12
12 3 を決めるのか
12
を決めるのか
を決めるのか
B
h I＝ BH － bh
bb
b b
12
12
❺
3
3 b
H
b
BH
bh
BB
B
h
h
bh3
bb
b I＝ 12 － 12
❺ I＝
❺
h
bh3
❺
は軸が中心にある場合だけ！
HH
H
は軸が中心にある場合だけ！
12I＝
BH3 3 bh
bh3 33 bh3 b
BH
BH
hh I＝
12
h
I＝
－
－
I＝
－
12 12
12
12
12
h
bh3
I＝
は軸が中心にある場合だけ！
b
Point
12
h
bh3
I＝
は軸が中心にある場合だけ！
bb
b
12
hh
bh3 3 bh3
bh
h
I＝ I＝
は軸が中心にある場合だけ！
I＝
は軸が中心にある場合だけ！
は軸が中心にある場合だけ！
12
12
12
3
断面 B
断面 B
Q
座屈荷重 Pk の比較　その５
中心圧縮力が作用する図 1 のような正方形断面の長柱の弾性座屈
荷重 PA 、PB 、PC 、PD の大小関係を求めよ。ただし、柱は全長に
わたって等質・等断面とし、柱の長さおよび材端条件は図 2 の A か
らDとする。
柱D
柱A
柱C
柱B
柱D D
P
柱A A
柱C C
柱B B
P
P
P
P柱
DD
柱
D
P
P
P
B
CC
A
柱の断面
柱
柱
柱
柱AA
柱
C
柱BB
柱
D
P
D
P
柱の断面
D
PPAA柱 A PPBB柱 B PPCC柱 C
ℓ
ℓ
ℓ PD
ℓ
a
PA
PC
PB
柱の断面
柱の断面
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
a
柱の断面
a
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
aa
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
a
P
P
P
P
a
B ℓ
A ℓ
D ℓ
C ℓ
図1
aa
PB
PA
PD
PC
図1
一端自由 一端ピン 両端ピン 両端固定
a
他端固定
他端固定
両端ピン
一端ピン
PP
PP一端自由
PP両端固定
PP
BB
AA
DD
CC
図
図11
他端固定
他端固定
P
P
PD
P
B
A
C
図
2
図1
一端自由
両端ピン 両端固定
両端固定
一端自由 一端ピン
一端ピン 両端ピン
2
他端固定
他端固定
他端固定
両端固定
一端自由 他端固定
一端ピン図 両端ピン
2
ちょうちゅう
他端固定 他端固定
π
EI
図222
Pk＝図
①長柱とは座屈で壊れる柱のことで、圧縮で壊れる短柱と区別され
π2ℓ
EI
k
Pk＝ 図2 2
ます。そして力と変形が比例関係にあって、力を除く
と変形がなく
ℓ
22 k
π
EI
断面 2 次
π
EI
P
この範囲で
Pk＝
なる弾性状態で座屈する場合、
2 2 の式が成り立ちます。
k＝
折れ曲がって
ℓ
ヤング係数 断面
モーメント
π
k kEI
2次
ℓ
壊れる
Pk＝ 2
壊れる
σ この範囲で
折れ曲がって
ヤング係数 モーメント
ℓk
壊れる
断面
断面222次
次
壊れる
σ この範囲で
座屈
この範囲で
π EI
折れ曲がって
ヤング係数
モーメント
折れ曲がって
ヤング係数
モーメント
断面
2次
P
＝
k
壊れる
2
2
この範囲で
座屈
壊れる
ℓ
EI
σ
傾き一定 ヤング係数 π
k
壊れる
折れ曲がって
σ 壊れる
Pk＝ モーメント
壊れる E
2
壊れる
ℓ
σ
傾き一定
k
22
座屈
座屈
π
EI
πEI
Eε
座屈長さ
PPk＝
22
k＝
座屈
ℓ
π
傾き一定
k kEI
ε
ℓ
弾性傾き一定
長柱
座屈長さ
Pk＝
E
E
ℓk2
弾性 傾き一定
長柱
ε
ε
E
座屈長さ
座屈長さ
ε
弾性
長柱
弾性
長柱
座屈長さ
弾性
長柱
柱の中心にかかる中心圧縮力の場合のみ、Pk の式は成り立ちま
す。偏心した圧縮力のときは、「圧縮力 × 偏心距離」分のモーメ
ントが発生します。
②設問の場合、柱はすべて 1 辺が a の正方形断面で、断面 2 次モー
3
4
a×a
a
メントI ＝
＝
と同じ値となります。また等質であること
12
12
③柱 A の座屈長さを求めます。
一端自由
他端固定
一端自由
他端固定
一端自由
一端自由
他端固定
他端固定
一端自由
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
2ℓ
2
ℓ
【片思いに
かなり
曲げやすい
かなり
曲げやすい
かなり
かなり
曲げやすい
曲げやすい
かなり
片方固定
【片思いに
片方ピン
2ℓ
2片方固定
ℓ
動かされる
片方ピン
2ℓ 移動
【片思いに
【片思いに
動かされる
片方固定
片方固定
【片思いに
のはバカ】
片方ピン
片方ピン移動
片方固定 倍
動かされる
のはバカ】
動かされる
片方ピン
移動
④柱 B の座屈長さを求めます。 動かされる
移動倍
他端固定
一端ピン
他端固定
一端ピン
他端固定
一端ピン
一端ピン
他端固定
他端固定
一端ピン
他端固定
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
両端ピン
両端ピン
両端ピン
両端ピン
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
曲げやすい
のはバカ】
のはバカ】
移動
倍倍
0.7
ℓ
ちょっと
のはバカ】
曲げにくい
0.7ℓ倍
ちょっと
【女に片思い】
0.7 片方固定 曲げにくい
【女に片思い】
片方ピン
0.7ℓ
ちょっと
ℓ
ちょっと
0.70.7片方固定
片方ピン
曲げにくい
0.7
ℓ 曲げにくい
ちょっと
【女に片思い】
【女に片思い】
0.7
曲げにくい
0.7 片方固定
片方固定
【女に片思い】
片方ピン
0.7 片方ピン
片方固定
片方ピン
⑤柱 C の座屈長さを求めます。
両端ピン
15
ℓ
ℓ
曲げやすい
曲げやすい
ℓ
ℓ
ℓ
曲げやすい
曲げやすい
曲げやすい
⑥柱 D の座屈長さを求めます。
両端固定
両端固定
両端固定
両端固定
両端固定
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
0.5ℓ
【固定】
0.5ℓ
0.5
【固定】
曲げにくい
曲げにくい
【　】
0.5
ℓ
0.5
0.5
ℓ内スーパー記憶術
曲げにくい
曲げにくい
【固定】
【　】
【固定】
0.5内スーパー記憶術
ℓ
0.5
曲げにくい
0.5
【固定】
【　】
内スーパー記憶術
【　】
内スーパー記憶術
0.5
ℓA＞ℓC＞ℓB＞ℓD
【　】
内スーパー記憶術
ℓA＞ℓ2C＞ℓB＞ℓD
2
（分母に
ℓk ）
するので、
k はℓk に反比例
⑦柱PA、B、C、D
のℓ
k を比較して、Pk の大小関係を求めます。
2
Pℓ
は
ℓ
に反比例
（分母に
ℓk2）
するので、
＞
ℓ
＞
ℓ
＞
ℓ
kA
kCC
BB
D
ℓ
＞
ℓ
＞
ℓ
＞
ℓ
A
D
∴PD＞PB＞PC＞PA
ℓA＞
2 2 ℓC＞ℓB＞ℓD
22
＞P
PPk∴P
ℓ
ℓ
するので、
Dk＞P
B＞PC（分母に
A
k k）
は
ℓ
に反比例
（分母に
ℓ
）
するので、
kは
k に反比例
2
Pk はℓk に反比例
（分母にℓk2）
するので、
∴P
＞PBB＞P
＞PCC＞P
＞PAA
∴PDD＞P
∴PD＞PB＞PC＞PA
からヤング係数 E も同じです。よって座屈長さℓk の大小関係を求
めれば、Pk の大小関係がわかることになります。
◇
218
普通
◇
219
座屈
A
check
▲
★★ R105